高考文科数学第二轮复习资料

高三文科数学第二轮复习资料

——《应用题》专题

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型， 另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化， 紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.

1．解应用题的一般思路可表示如下

2．解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.

（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.

（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.

（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果. 3．中学数学中常见应用问题与数学模型

（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.

（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. （3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.

（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决

（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决. 练习题

1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，

表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：

t224t100(0t10)

f(t)240(10t20)

7t380(20t40)

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

2．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元／件）之间近似于如图所示的一次函数y＝kx＋b的关系．

（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式； （2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元．

① 试用销售单价x表示毛利润S．

② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

3．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100

万件。为了

获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10 ~ 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

4．为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC的长为xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求 （1）y关于x的函数解析式y=f(x);

（2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最

小值，并求出这个最小值.

5． 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）

的函数，记作y=f(t)，2

河道

经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.

（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.

6．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列

条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．

7．已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角。

分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。

8．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．

2

10．某县与沙漠化进行长期的斗争． 全县面积为 p， 2002 年底绿化率达 ，从 2003 年

5

11

开始，每年绿化原有沙漠面积的 ，但与此同时，原有绿化面积的被沙化． 设

5202002 年底的绿化面积为 a1，经过 n 年后的绿化面积为 an+1 ． (I) 求2003年底的绿化面积 7

(II ) 经过多少年后，绿化率达10

11．某观测站C在城A的南20˚西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，在

C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，

到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？

12．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和

汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?

(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?

(参考数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651)

参考答案

22

1．解：（1）当0t10时，f(t)t24t100(t12)244是增函数，且

144

144

180

f(10)240；当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240.所以，讲

课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.

（2）f(5)195,f(25)205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.

当0t10时，f(t)t224t100180,则t4；当20t40，

（3）令f(t)7t3818,则t28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.

2．分析：（1）本题把一次函数、二次函数及其有关计算问题赋予实际意义，把市场经济引进初中数学．观察图象可知，直线y＝kx＋b经过（600，400）、（700，300）两点，利用待定系数法即可求出其解析式；（2）根据公式“毛利润＝销售总价－成本总价”，得S＝xy－500y．

（2）本题的解答要实现由一次函数向二次函数的转化，即要灵活运用一次函数和二次函数的有关知识，并要考虑题设中对单价的限制，把求得的值代入检验，看是否符合要求．

解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得

2





400600kb



300700kb.

k1

解得 

b1000.

∴ y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800． （2）① S＝xy－500y

＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），

即 S＝－x＋1500x－500000（500≤x≤800）．

② S＝－x＋1500x－500000＝－（x－750）＋62500．

2

2

2

当x＝750时，S最大值＝62500．

此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．

故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．

3．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax＋bx＋c．

2

1

a10c1

3

由关系表，得abc1.5 解得b

54a2bc1.8

c1



∴ 函数的解析式为y＝－

123

x＋x+1． 105

2

（2）根据题意，得S10y(32)xx5x10 （3）Sx5x10(x)

2

5

2

2

65 4

1x3当1x2.5时，S随x的增大而增大.

故当年广告费为10 ~ 25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大

4．解：（1）yfx2x

5000

20x

x0

河道

5000

（0，40] （2）令2x得x50

x5000

20在（0，40]内递减，故y的最小值为因此y2xx

f(40)=225m, x=40m.

5．解：（1）由表中数据，知T=12，ω=由t=0,y=1.5得A+b=1.5.

由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=

2

. T6

1

，

2

∴y=

1

cost1 26

1

cost1>1, cost>0.∴2kπ–

626

(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放.∴



2





6

t2k



2

,即有12k–3

由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t

6．解：(1) 无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}总数为2×10个 ， 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}总数为2×4个。 ∴P=

20

5

(2) 有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}和（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5）总数为2×10+5=25个。

∴P=

25

7．分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。

解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2)且动物P(x,y)在BC的中垂线l上，

∵BC中点M的坐标为(-4,)， kBC=-.

∴ l的方程为y-=

3

(x+4)即：3

y=

3

(x+7).................① 3

又∵ |PB|-|PA|=4(公里)

∴ P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。

x2y2

双曲线方程为=1 (x≥2)...............② 45

由①②消去y得 11x-56x-256=0，解的x1=-2

32

(舍去)， x2=8。 11

∴ P点坐标为(8,53), 于是tg∠xAP=kAP=

53

=3, 83

∴ ∠xAP=60, 故舰A炮击的方位角为北偏东30。

8．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

xy10,

0.3x0.1y1.8,

由题意知

x0,y0.

目标函数z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线l0:x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz,zR, 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且 与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10 和0.3x0.1y1.8的交点.

解方程组

xy10,

得x=4，y=6

0.3x0.1y1.8,

此时z140.567（万元）.

70 当x=4，y=6时z取得最大值.

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.

说明：本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

9．解：设甲到达时间为x，乙到达时间为y，则0

若至少有一艘在停靠泊位时必须等待， 则0

2

必须等待的概率为：12=

2416

211311

10．解：(I ) 已知a1 = p，a2 = a1 (1－ p－a1)= a1p = p，

52054521

∴ 2003p；

2

1131

(II ) an+1 = an (1－ ( p－an)= anp ， (n  N*)

[1**********]n

∴ (an+1－ p)= (an－ p) ∴(an+1p)= (a1－ p) (

545554423 n

∴ an+1 = p－p (

554

423 n713 n

∴ pp ( p   n≥5．

55410447∴ 五年后绿化率达10

11．解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，

∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB中，由余弦定理得：

CD2BD2BC22122023121

cos，

2CDBD221207

43

sincos2．

7

sinsin180CADCDA

sin18060180

sin60sincos60cossin60

在△ACD中，由正弦定理得：

4115． 727214

ADCD2153215sin15． sinAsin6014143

2

此人还得走15千米到达A城．

说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．

12． 解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月 第1月末欠款数 A(1＋r)－a

第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)－a (1＋r)－a

第3月末欠款数 [A(1＋r)－a (1＋r)－a](1＋r)－a 22

＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a

„„

第n月末欠款数 A(1r)na(1r)n1a(1r)n2a(1r)a0 得：aA(1r)nr (1r)n1

对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‟

∴a1000001.0044551440.004455942.37 1.0044551441

0.0050251268.22 1.0050251 对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‟ ∴a1500001.005025180

由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．