定义新运算 1

定义新运算

〖数学广角〗

加、减、乘、除四则运算我们都很熟悉，在许多情况下还可以规定新的运算，如用某种新的符号表示，即成了定义新运算。如规定a∆b=3a+2b,则5∆3=3×5+2×3=21，解答这类问题关键是理解新运算的定义，并严格按照新运算的要求进行计算，也就是“按规定办事”。

解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、Δ、◆、■等来表示的一种运算。新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

〖智慧密码〗

例1：对于任意自然数a，b，规定“∆”的运算为a∆b=(a+2)×(b+1)-1，计算13∆9。

思路点睛：

“∆”

运算之前，先让我们弄清“∆”是怎样一种运算，按规定a∆b的“∆”是用a加2乘b加1的和，求出积之后，再减1

得出的差，

根据“∆”的运算规定，计算得：13∆9=（13+2）×（9+1）-1=149。

例2：规定a★b=5a-3b，其中a、b是自然数，计算

（1） 6★8的值 （2）8★6的值 （3）（3★2）★4 （4）x★7=19 思路点睛：定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。此题规定了一种新运算符号（★），我们要理解它的意思，a★b表示a的5倍减去b的3倍，把表示a、b的数代入等式右边的（5a-3b）中，并算出结果来。

（1）此时，a=6，b=8，那么a★b=6★8=5×6-3×8=6

（2）此时，a=8，b=6，那么a★b=8★6=5×8-3×6=22

（3）在计算（3★2）★4时，运算的顺序是先算括号内的，再算括号外（3★2）★4=（5×3-3×2）★4 =9★4=5×9-3×4=33

（4）x★7=19 即 5x-3×7=19 5x-21=19 5x=40 x=8

例3：定义一种运算◎：a◎b=a×b＋2a＋b，求(3◎2)◎5=？ 思路点睛：这题有不仅有等量代换的概念，还要注意运算顺序，在定义新运算中，我们要注意新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

（1）3◎2=3×2＋2×3＋2

=6 ＋ 6 ＋2

=14

（2）(3 ◎ 2) ◎ 5=(3×2＋2×3＋2) ◎ 5 =(6 ＋ 6 ＋2) ◎ 5 =14 ◎ 5

=14×5 ＋2×14 ＋5 =103

例4：若“+”、“-”、“×”、“÷”、“（）”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，请问下面的4个算式，应该是我们通常的哪4个算式？

（1）8×7=8

（2）7×7×7=6

（3）（7+8+9）×9=39

（4）3×3=3

思路点睛：

第一道算式是指一个数乘以另一个数还得这个数，那么可以肯定其中一个数是0，因为只有0乘以任何数还得0；第二道算式用三个相同的数相乘即可，但要注意结果必须是一位数；第三道算式仔细观察，会发现，结果中的十位上的数是括号里的第三个加数，个位上的数是乘的那个数，关注到这点就能写出算式；第四道算式表示两个相同的数相乘还得到它本身，那么只有1。

解题过程：

（1）0×2=0；

（2）2×2×2=8；

（3）（2+0+1）×5=15；

（4）1×1=1

〖牛刀小试〗

1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。

2.已知a

3.已知a

4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。

b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。 b表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。

5.若A*B=3A-2B

⑴（53 ×45 ）*34 =______

⑵已知X*（4*1）=7 则X=______

狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“▲”表示：羊▲羊=羊，羊▲狼=狼，狼▲羊=狼，狼▲狼=狼。

小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号“★”表示：羊★羊=羊，羊★狼=羊，狼★羊=羊，狼★狼=狼。 对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。 求下列结果:羊▲（狼★羊）★羊▲（羊▲狼）

一张带有数字的卡片在A，B，C，D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9后交给老师，如果一张卡片经过A传递给B记为A→B，那么一张带有18的数字卡片，经过A→B→C→D的传递后交给老师时卡片上的数字是多少?

〖俱乐部〗

甑皮人族的算式

刘老师来到图腾古道观光，看到下面4个甑皮人族的算式：8×8=8,9×9×9=5，9×3=3，（93+8）×7=837，导游告诉刘老师，甑皮人族算术中所用的符号“＋、－、×、÷、（ ）、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然和我们的写法相同，但代表的数却不同。请你按照甑皮人族的算术规则，完成下面算术：89×57=（ ）