一元一次方程知识点及经典例题

第三章 一元一次方程单元复习与巩固

一、知识网络

二、知识要点梳理

知识点一：一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程． 2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果

，那么

；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）

特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）

化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：

－=1.6。方程的

右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

解一元一次方程的一般步骤 常用步骤 去分母

具体做法

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)

合并同类项 把方程化成ax＝

b(a≠0)的形式

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程 的解x＝

等式基本性质2

计算要仔细，分子分母勿颠倒

合并同类项法则

计算要仔细，不要出差错；

等式基本性质1

移项要变号，不移不变号；

依据

等式基本性质2

注意事项

防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；

去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；

要点诠释：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解；

②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。 知识点三：列一元一次方程解应用题 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。 3、常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

类型

(1)和、差、倍、分问题

(2)等积变形问题

(3)行相遇问题 程问题

追及问题 顺逆流问题 (4)劳力调配问题 (5)工程问题 (6)利润率问题 基本数量关系 ①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×倍量

路程＝速度×时间 顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

工作总量＝工作效率×工作时间

商品利润＝商品售价－商品进价 商品利润率＝

等量关系

抓住关键性词语

变形前后体积相等

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺流的距离＝逆流的距离

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

各部分工作量之和＝1

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

×100％

售价＝进价×(1＋利润率)

(7)数字问题

设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

(8)储蓄问题

利息＝本金×利率×期数

本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)

(9)按比例分配问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)

(10)日历中的问题

日历中每一行上相邻两数，日历中的数a的取值范围是右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大

7

知识点四：方程与整式、等式的区别 （1）从概念来看：

整式：单项式和多项式统称整式。

1≤a≤31，且都是正整数 抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系

等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做

等式，而像－，mn不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

2

方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

三、规律方法指导

1、判断一个式子是否是一元一次方程： （1）首先看是否是方程，

（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看； 2、解一元一次方程常用的技巧有：

(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。 四、经典例题透析

类型一：一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

①2x－5＝1；②8－7

＝1；③x＋y；④x－y＝x；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；

2

⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )

A、5 B、6 C、7 D、8

思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。 解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B

总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。 举一反三：

[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

（1）-2x+3=x （2）3x-1=2y （3）x+

2

=2 （4）2x-1=1-2(2x-x)

22

解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1）（2）（3）不是，（4）是

[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6

＝0是一元一次方程，求a

的值。 解析：分两种情况：

（1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0

且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能

综上，a的值为。

[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B

类型二：一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1．巧凑整数解方程：

2、

思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和

故直接移项凑成整数比先去分母简单。

解：移项，得

合并同类项，得2x＝－1。

。

系数化为1，得x＝－ 举一反三：

。

[变式]解方程： 解：原方程可变形为

＝2x－5

整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5， 去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5

移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2 合并同类项，得－9x＝－21

＝2x－5

系数化为1，得x＝2．．巧去括号解方程：

。

4、

思路点拨：含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。

解：去括号，得

去小括号，得

去分母，得(3x－5)－8＝8

去括号、移项、合并同类项，得3x＝21 两边同除以3，得x＝7 ∴原方程的解为x＝7 举一反三：

[变式]解方程：

解：依次移项、去分母、去大括号，得

依次移项、去分母、去中括号，得

依次移项、去分母、去小括号，得

，∴x＝48

4．运用拆项法解方程：

5

、

思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方程时，

可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。

解：原方程逆用分数加减法法则，得

移项、合并同类项，得。

系数化为1，得5．巧去分母解方程：

。

6

、

思路点拨：当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。

解：原方程化为

去分母，得100x－(13－20x)＝7

去括号、移项、合并同类项，得120x＝20

两边同除以120，得x＝

∴原方程的解为

总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。

举一反三：

[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

的过程，请在前面的括号

解：原方程可变形为

(__________________________)

去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________) 去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）

(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)

合并，得5x=-17. (合并同类项)

（____________________）,得x=. （_________________________）

【答案】解：原方程可变形为

（_______系数化为1____）,得x=

6．巧组合解方程：

7、

思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。

解：移项通分，得

化简，得

去分母，得8x－144＝9x－99。 移项、合并，得x＝－

45。

7．巧解含有绝对值的方程：

8、|x－2|－3＝0 思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x

＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。

解法一：移项，得|x－2|＝3

当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5

当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。 所以方程|x－2|－3＝

0的解有两个：x＝5或x＝－1。 解法二：移项，得|x－2|＝3。

因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。 分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。

举一反三：

【变式1】（2011福建泉州）已知方程 【答案】

；

，那么方程的解是________.

[变式2] 5|x|-16＝3|x|-4 解：5|x|-3|x|＝16-4 2|x|＝12 |x|＝6 x＝±6

[变式3]

解：|3x-1|＝8 3x-1＝±8 3x＝1±8

3x＝9或3x＝-7

x＝3或

8．利用整体思想解方程：

9

、

”中，所以我们可以将

作为一个整体，

思路点拨：因为含有的项均在“先求出整体的值，进而再求的值。

解：移项通分，得： 化简，得：

移项，系数化1得：

总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

类型三、一元一次方程的常见应用题 1.优化方案问题

10、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

类型

普通 (元/间)

双人房 三人房

140 150

豪华 (元/间) 300 400

解：设安排普通双人房x间，则可住2x人，费用为140×50％·x元，此时安排普通三人

房间，

可住(78－2x)人，费用为150×50％×元。

由题意，得140×50％×x＋150×50％×20。

即安排三人房20间，双人房9间即可。

举一反三：

＝2130。解得x＝9，＝

【变式】某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车

250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？ 解：设租用45座客车x辆，则根据春游学生人数不变，列方程： 45x+15=60x-60 解得： x=5

若租用45座客车，则需用5辆，需花费：250×5=1250元 若租用60座客车，则需用4辆，需花费300*4=1200元 因为：1250>1200，因此租用60座客车比较合算。 答：租用60座客车更合算 ，租用4辆车。

2.行程中的追及相遇问题

11、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？

思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：

甲 乙

相遇前

速度

时间 3 3

路程 3 3+90

速度

1 相遇后 时间

路程 3+90 3

相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程； 相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.

解：设甲行驶的速度为千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3千米，

乙行驶的路程为（3+90）千米，乙行驶的速度为千米/时，由题意，得

.

解这个方程，得=15.

检验：=15适合方程，且符合题意.

将=15代入，得==45.

答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.

总结升华：理解相遇前后的等量关系，相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。

举一反三：

[变式] 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车

从乙地开往甲地，速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲

地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？ 思路点拨：本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是：速度×时间＝路程。虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程＋摩托车所行的路程＝甲、乙两地的距离，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出

x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：

其中摩托车先行的路程为千米；摩托车后来所行的路程为千

米。

解：设汽车开出x小时与摩托车相遇，则

36x＋36×＝240，解得x＝3

答：汽车开出3小时后遇到摩托车。

3．日历中的方程

12、（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是＿＿＿。

（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。

①图中框出的这16个数的和是＿＿＿。

②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明

理由；若有可能，请求出该长方形框出的

16个数中的最小数和最大数。

思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大7；(2)①经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数10与最后一个数34的和为44，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，„„，它们的和都是44；②设最小的数为a，由图（2）及（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是2a＋37+3=2a＋24。

解：(1)a－7，a，a＋7

(2)①352 ②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的矩形方框如下图所示。

则这16个数之和为16a＋192，当16a＋192＝2000时，a＝113，当16a＋192＝2006时，

a＝113.375。因为a是自然数，所以a＝113.375不符合题意， 即框出的16个数的和不可能是2006。

由方形阵列的排法可知，a只可能在1,2，3,4列，即a被7除的余数只可能是1,2，3,4。

因为113＝16×7＋1，即113被7除余1,113在第一列中，所以这16个数的和是2000是可能的，

这时，方框中最小的数是113，最大的数是113＋24＝137。 总结升华：

(1)日历中的数量关系

①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。

②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。

③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。 ④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。 (2)用一个正方形任意圈出9个数的规律

①中间一个数字是所有九个数字的平均值。

②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。

举一反三：

[变式]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。 (1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。

x－7 x x＋7

x＋14

解：设这4个数分别为x－7，x

，x＋7，x＋14

(1)由题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＋(x＋14)＝42 x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝42，4x＋14＝42 ∴4x＝28，∴x＝7

x－7＝7－7＝0，x＋7＝7＋7＝14，x＋14＝7＋14＝21 因为日历上没有0号，所以不符合实际，此题无解。 (2)由题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＋(x＋14)＝60 x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝60,4x＋14＝60

∵4x＝46，∴x＝，是一个分数，日历上不可能出现分数，

所以不符合实际情况，此题无解。

4．银行储蓄

13、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？

解：设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元， 这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元 由题意得：x+0.1x-0.02x=1080 ∴x=1000

答：他存入银行的本金为1000元。

举一反三：

【变式】从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，税率为利息的20%，由各银行储蓄点代扣代收．某人在2001年1月存入定期一年的人民币若干元，年利率为2.25%，一年到期后缴纳利息税72元，则他存入的人民币为________元。 答案：16000

解析：设某人存入的人民币为x元，根据题意列方程得： x×2.25%×20%=72， 解得

x=16000．

5．图表信息题

14、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00～22：00）和谷时段（22：00～次日6：00）分别计费，平时段每千瓦时电价为0.61元，谷时段每千瓦时电价为

0.30元。小明将家里2005年

1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。

月用电量（千瓦时）

1 2 3 4

90 92 98 105

电费（元） 51.80 50.85 49.24 48.44

5 根据上述信息，解答下列问题：

（1）计算5月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中； （2）小明家这5个月的平均用电量为________千瓦时；

（3）小明家这5个月每月用电量是________趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费

呈________趋势（选择“上升”或“下降”）；

（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500千瓦时，相应电费将达243元，请你根

据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量． 思路点拨：本题考查了日常生活中的问题，利用数学知识来解决实际问题．（1）根据第一张图可以看出5月份平时段用电量为45千瓦时，谷时段用电量为65千瓦时，故5月份用电量为45+65=110千瓦时．电费为65×0.30+45×0.61=46.95（元）；（2）平均用电量实质上就是求平均数，五个月的用电量的和除以5；（3）由图示可以看出；（4）若设7月份平时段用电量为x千瓦时，则谷时段用电量为(500x)千瓦时，根据平时段用电量的电费+谷时用电量的电费=243．列出方程即可求，得． 解：（1）65+45=110（千瓦时），65×0.30+45×0.61=46.95（元）． （2）99．

（3）上升 下降

（4）设小明家7月份平时段用电量为x千瓦时，则谷时段用电量(500 由题意得0.61x+0.30(500x)=243， 解方程得x=300，所以

．

x)千瓦时，

答：小明家7月份平时段用电量为300千瓦时，谷时段用电量为200千瓦时．

举一反三： 【变式】（2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表： 税 级 1 2 3

现行征税方法 月应纳税额x

税率 5% 10% 15%

速算扣除数 0 25 125

草案征税方法

月应纳税额x

税率 5% 10% 20%

速算扣除数

0 ▲ ▲

x ≤ 500

500

0 5000

00 20000

x ≤ 1500

1500

4 20% 375 9000

25% 975

25% 1375 30% 2725

000 0

注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。 “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。

例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：

方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5% + 1500×10% + 600×15% = 265(元) 方法二：用“月应纳税额×适用税率－速算扣除数”计算，即2600×15% － 125 = 265(元)

(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整； (2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？

(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙

今年3月所缴税款的具体数额为多少元？ 【答案】

解：(1) 75， 525；

(2)设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得 20%x － 375 = 1060 解得x = 7175．

∴甲这个月的应纳税所得额是7175元． 若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175 － 1000)×20% － 525 = 710元．

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答：若按“个税法草案”计算，则他应缴税款710元. (3)设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得： 20%x － 375 = 25%(x － 1000) － 975 解得x = 17000．

∴乙今年3月所缴税款的具体数额为17000×20% － 375 = 3025元． 答：乙今年3月所缴税款的具体数额为3025元