三角函数.数列.不等式精解

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanA +tanB tanA -tanB

tan(A+B) = tan(A-B) =

1-tanAtanB 1+tanAtanB

倍角公式

2tanA

tan2A = Sin2A=2SinA•CosA

1-tan 2A

Cos2A = Cos2A-Sin 2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA 半角公式 sin(tan(

-cos A 1+cos A -cos A A A A )= cos()= tan()=

221+cos A 222

A 1-cos A sin A

)== 2sin A 1+cos A 和差化积

a +b a -b a +b a -b

sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossin

2222a +b a -b a +b a -b

cosa+cosb = 2coscos cosa-cosb = -2sinsin

2222

sin(a +b )

tana+tanb=

cos a cos b

积化和差

11

sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]

2211

sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]

22

诱导公式

ππ

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(-a) = cosa cos(-a) = sina

22

ππ

sin(+a) = cosa cos(+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa

22

sin a

sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =

cos a

万能公式

a a a 2tan 1-(tan) 22tan

cosa= tana= sina=

a a a

1+(tan) 21+(tan) 21-(tan) 2

222

其它公式

a•sina+b•cosa=(a2+b 2) ×sin(a+c) [其中tanc=a•sin(a)-b•cos(a) = sin （

b ] a

a ] b

(a2+b 2) ×cos(a-c) [其中tan(c)=

πππ

+α）= cosα cos （+α）= -sinα tan （+α）= -cotα 222πππ

sin （-α）= cosα cos （-α）= sinα tan （-α）= cotα

2223π3π3πsin （+α）= -cosα cos （+α）= sinα tan （+α）= -cotα

2223π3π3πsin （-α）= -cosα cos （-α）= -sinα tan （-α）= cotα

222

定理14 图象之间的关系：y =sinx 的图象经上下平移得y =sinx +k 的图象；经左右平移得y =sin (x +ϕ) 的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

，得到y =sin ωx (ω>0)

的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变

换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω, 个单位得到y =A s in ωx 的图象。 2、把函数y =sin(2x -

ϕ>0)(|A |叫作振幅) 的图象向右平移

ϕ

ω

π

4

) 的图像向右平移

π

个单位，所得图像所对应的函数是（ ） 8

A 、非奇非偶函数 B 、既是奇函数，又是偶函数 C 、奇函数 D 、偶函数 3、函数y =sin(2x +A 、x =-

5π

) 的图像的一条对称轴方程是（ ） 2

π

2

B 、x =-

π

4

C 、x =

π

8

D 、x =

5π 4

4、函数y =sin(x +A 、[

π

4

) 的单调递增区间是（ ）

π

, π] B 、[0, ] C 、 [-π, 0] [, ] 2442

πππ

6、如果函数f (x ) =sin(πx +θ).(0

π

2

2

B 、T ＝1，θ=π C 、T ＝2，θ=π D 、T ＝1，θ=

π

2

7、函数y =sin (x +

π

) -sin 2(x -) 是（ ）

44

π

A 、周期为π的奇函数 B 、周期为π的偶函数

C 、周期为2π的奇函数 D 、周期为2π的偶函数 9、为了得到函数y =sin(2x -A 、向右平移

π

6

) 的图像，可以将函数y =cos 2x 的图像（ ）

ππ

个单位长度 B 、向右平移个单位长度 63

ππ

个单位长度 D 、向左平移个单位长度 63

π

10. 函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω>0, ϕ

2

C 、向左平移

象如图所示，则函数表达式为 （ ） （A ）y =-4sin(x +

图

ππππ

) （B ）y =4x -)

8484ππππ

（C ）y =-4x -) （D ）y =4x +)

8484

15．给出下列命题：（1）若α≠β，则sin α≠sin β；（2）若sin α≠sin β,则α≠β；（3）若sin α>0，

则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sin α>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

sin 2α-cos 2α1

16、已知+α) =，（1）求tan α的值；（2）求的值.

1+cos 2α42

π

17、已知函数f (x ) =2cos x (sinx -cos x ) +1，x ∈R ． （Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢⎥上的最小值和最大值．

8418、函数f (x ) =2sin x ⋅(sinx +cos x ) （1）、求函数f (x ) 的最小正周期和最大值。

（2）、说明函数f (x ) 是由函数y =sin x 的图像经过怎样的伸缩和平移变换得到？

⎡π3π⎤

⎣⎦

数列复习题

3、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)

2n +1n +1n -1n +1

(B) (C) (D) n n n 2n

4、设等差数列的首项为a, 公差为d ，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( )

(A)a＞0,d ＞0 (B)a＞0,d ＜0 (C)a＜0,d ＞0 (D)a＜0,d ＜0

6、设{an }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a4+ a7+……+ a97=50，则a 3+ a6+ a9……+ a99= ( )

(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84

9、数列{an }的通项公式a n =

1n +1+n

，已知它的前n 项和为S n =9，则项数n=

( )

(A)9 (B)10 (C)99 (D)100

12、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 ( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

13、等差数列{an } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 28、数列{an }、{bn }都是等差数列，它们的前n 项的和为项的比为 ( ) (A)

S n 3n +1=，则这两个数列的第5T n 2n -1

493428 (B) (C) (D)以上结论都不对 291719

19、正数a 、b 、c 成等比数列, x为a 、b 的等差中项, y为b 、c 的等差中项, 则________.

20、等比数列{an }中, 已知a 1·a 2·a 3=1,a2+a3+a4=

a c

+的值为x y

7

, 则a 1为________. 4

2、设等差数列{an }的前n 项和为S n . 已知a 3=12, S12＞0,S 13＜0.(Ⅰ) 求公差d 的取值范围； (Ⅱ) 指出S 1,S 2, …,S 12, 中哪一个值最大, 并说明理由.

4、设数列{a n }的前n 项和S n . 已知首项a 1=3,且S n +1+S n =2a n +1, 试求此数列的通项公式a n 及前n 项和S n .

3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 9、 C 10、 C 11、 D 12、 B 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D 19、 D 20、 B 21、 B 22、 A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 C 19、2. 20、 2或-2、解： (Ⅰ) 依题意, 有 S 12=12a 1+

2

3

12⨯(12-1)

∙d >0

2

S 13=13a 1+

⎧2a 1+11d >0(1) 13⨯(13-1)

∙d

2⎩a 1+6d

由a 3=12,得 a 1=12－2d (3)

⎧24+7d >024

将(3)式分别代入(1),(2)式, 得 ⎨，∴-

3+d

(Ⅱ) 由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.

因此, 若在1≤n ≤12中存在自然数n, 使得a n ＞0,a n+1＜0, 则S n 就是S 1,S 2, …,S 12中的最大值. 由于 S 12=6(a6+a7) ＞0, S 13=13a7＜0，即 a 6+a7＞0, a7＜0.

由此得 a 6＞－a 7＞0. 因为a 6＞0, a7＜0, 故在S 1,S 2, …,S 12中S 6的值最大. 4、∵a 1=3, ∴S 1=a1=3.在S n+1＋S n =2an+1中, 设n=1,有S 2＋S 1=2a2. 而S 2=a1＋a 2. 即a 1＋a 2＋a 1=2a2. ∴a 2=6. 由S n+1＋S n =2an+1, ……(1) S n+2＋S n+1=2an+2, ……(2) (2)－(1),得S n+2－S n+1=2an+2－2a n+1，∴a n+1＋a n+2=2an+2－2a n+1 即 a n+2=3an+1

⎧3, 当n =1时,

此数列从第2项开始成等比数列, 公比q=3.an 的通项公式a n =⎨ n -1

2⨯3, 当n ≥2时. ⎩

此数列的前n 项和为S n =3＋2×3＋2×3＋…＋2×3

2

n – 1

2⨯3(3n -1-1) n

=3＋=3.

3-1

不等式的证明规律及重要公式总结

证明方法

柯西不等式

222

(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )≤a 1+a 2+ +a n

2

()(b

2

2122+b 2+ +b n

)(a b ∈R , i =1, 2 n )

2

i i

等号当且仅当a 1=a 2= =a n =0或b i =ka i 时成立（k 为常数，i =1, 2 n ）

类型一：利用柯西不等式求最值

例1．求函数解：∵

且

的最大值

， 函数的定义域为

，且

，

即法二：∵

时函数取最大值，最大值为

且

， ∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 【变式1】设

利用柯西不等式得最小值为-10 【变式2】已知 法一：由柯西不等式

，

，求

的最值.

且

，求

的最大值及最小值。

, 故最大值为10，

于是

的最大值为

，最小值为

.

法二：由柯西不等式

于是

的最大值为

，最小值为

.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数 根据柯西不等式

的最大值．

故

。

，

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即

时等号成立，此时，

类型二：利用柯西不等式证明不等式

基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）

（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）

例1．设、、为正数且各不相等，求证：

又、、各不相等，故等号不能成立∴例2．、为非负数，+=1， ∴

，求证：

即

。

例3．若

>>，求证：解

：

，

，

∴

，∴所证结论改为

证

∴

例4．，求证：

左端变形，

∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c 为正数，求证： 同理

，即，

。

． 将上面三个同向不等式相加得，

．

．

【变式2】设a,b,c 为正数，求证

：

于是即

均值不等式应用

1. (1)若a , b ∈R ，则a +b ≥2ab (2)若a , b ∈R ，则ab ≤

2

2

a 2+b 2

2

（当且仅当

a =b

时取“=”）

2. (1)若a , b ∈R ，则

时取“=”）

*

a +b

≥ab 2

2

(2)若a , b ∈R ，则a +b

*

≥2ab

（当且仅当

a =b

⎛a +b ⎫ (当且仅当a =b 时取“=”

(3)若a , b ∈R ，则ab ≤ ） ⎪

⎝2⎭

*

a +b 2a 2+b 2

5. 若a , b ∈R ，则(（当且仅当a =b 时取“=”） ) ≤

22

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋

12x

1

（2）y ＝x ＋ 2

x

解：(1)y＝3x 2＋

≥22x 2

1

1

3x 2· 2 ＝

2x 1

x · ＝2； x

1

6 ∴值域为[6 ，+∞）

1

(2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2

x

1

当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2

x x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1

x · =－2 x

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x

51的最大值。 ，求函数y =4x -2+44x -5

1

不是常数，所以对4x -2要进

4x -5

解：因4x -5

511⎫⎛ x 0，∴y =4x -2+=- 5-4x +⎪+3≤-2+3=1

44x -55-4x ⎭⎝

当且仅当5-4x

=

1

，即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1。

5-4x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当解析：由系数即可。

时，求知，

y =x (8-2x

) 的最大值。

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个

式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x +(8-2x ) =8为定值，故只需将y =x (8-2x ) 凑上一个

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，

y =

x (8-2x ) 的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设0

x

3

，求函数y =4x (3-2x ) 的最大值。 2

2

32x +3-2x ⎫9⎛解：∵00∴y =4x (3-2x ) =2⋅2x (3-2x ) ≤2 ⎪= 222⎝⎭

当且仅当2x

技巧三： 分离

=3-2x , 即x =

3⎛3⎫

∈ 0, ⎪时等号成立。 4⎝2⎭

x 2+7x +10

例3. 求y =(x >-1) 的值域。

x +1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当

, 即

时

,

y ≥5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t -1) 2+7(t -1）+10t 2+5t +44y ===t ++5

t t t

当, 即t=时

, y ≥5=9（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y =mg (x ) +

A

+B (A >0, B >0) ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来

g (x )

例：求函数y =

2的值域。

2

=t (t ≥

2) ，则y =

=1

=t +(t ≥2)

t 11

>0, t ⋅=1，但t =解得t =±1不在区间[2, +∞)，故等号不成立，考虑单调性。

t t 15

因为y =t +在区间[1, +∞)单调递增，所以在其子区间[2, +∞)为单调递增函数，故y ≥。

t 2

因t

所以，所求函数的值域为

⎡5⎫

, +∞⎪。 ⎢⎣2⎭

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （

1

）

x 2+3x +1y =,(x >0)

x

（2）

y =2x +

1

, x >3 x -3

1

, x ∈(0,π) (3)y =2sin x +

sin x

2．已知0

x

1，求函数y =的最大值. ；3．0

2

，求函数y =3

1. 若实数满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是 .

a

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解： 当3

a

⋅3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

3a 和3b 都是正数，3a +3b ≥23a ⋅3b =23a +b =6

=3b 时等号成立，由a +b =2及3a =3b 得a =b =1即当a =b =1时，3a +3b 的最小

值是6．

11变式：若log 4x +log 4y =2，求+的最小值. 并求x,y 的值

x y

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x

19

>0, y >0，且+=1，求x +y 的最小值。

x y

，且

错．解．：

x >0, y >0

19

+=1x y

，

19⎫∴x +y =⎛+x +y ≥=12(

) ⎪

⎝x

y ⎭

故

(x +y )min =12 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在x +

y ≥等号成立条件是x =

y ，在1+9≥x

y

成立条件是

19

=x y

即

y =9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，

列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解： x >0, y

⎛19⎫y 9x 19

+10≥6+10=16 >0, +=1，∴x +y =(x +y ) +⎪=+

x y x y x y ⎝⎭

当且仅当

19y 9x

=1，可得x =4, y =12时，(x +y )min =16 。 =时，上式等号成立，又+x y x y

变式： （1）若

x , y ∈R +且2x +y =1，求1+1的最小值

x

y

(2)已知a , b , x ,

y ∈R +且a +b =1，求x +y 的最小值

x

y

技巧七

已知x ，y 为正实数，且x 2y 2

2

＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤

a 2＋b 2

2

。

同时还应化简1＋y 2 中y 2前面的系数为

12

， x 1＋y 2 ＝x

1＋y 22· ＝

2

2 x ·

12

＋

y 2

2

下面将x ，

12

＋

y 2

2

分别看成两个因式：

x ·

12

＋

y 2

2

x 2＋(

12

≤

y 2

＋ ) 222

x 2＋＝

y 21

＋ 222

＝ 即x

4

3

1＋y 2 ＝2 ·x

12

＋

y 2

2

≤

34

2

技巧八：

已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝

1

的最小值.

ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝

30－2b

， ab ＝

30－2b

·b ＝

－2 b 2＋30b

b ＋1b ＋1b ＋1

由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝

118

－2t 2＋34t －31

＝－2（t ＋

16

）＋34∵t ＋

16≥2

t t t

t ·

16

t

＝8

∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

2 ab ∴ 30－ab ≥22 ≤u ≤3

2

2 ab

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥2令u ＝∴

ab 则u 2＋22 u －30≤0， －5

118

ab ≤32 ，ab ≤18，∴y ≥

点评：①本题考查不等式

a +b

（a , b ∈R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知≥2

不等式ab =a +2b +30（a , b ∈R 此想到不等式围.

+

出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由）

a +b

（a , b ∈R +），这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范≥2

变式：1. 已知a >0，b >0，ab －(a ＋b ) ＝1，求a ＋b 的最小值。

2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝

3x ＋

2y 的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

a ＋b

2

≤

a 2＋b 2

2

，本题很简单

3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x ＋2y ＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋2

∴ W ≤

20 ＝

2

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋(

3x ) 2·(

2y ) 2 ＝10＋(3x ＋2y ) ＝20

5

变式

: 求函数y 解析：注意到2x -

1与5-

2x 的和为定值。

15

22

y 2=2=4+≤4+(2x -1) +(5-

2x ) =8

又

y >0，所以0

=

3

时取等号。 故y max = 2

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a , b , c 为两两不相等的实数，求证：a 2+b 2+c 2>ab +bc +ca

+

1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c ) ≥8abc 例6：已知a 、b 、c ∈R ，且a +b +c =1。求证：

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫-1⎪-1⎪-1⎪≥8 a ⎝⎭⎝b ⎭⎝c ⎭

分析：不等式右边数字8

，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又

11-a b +c ，可由此变形入手。

-1==≥a a a 解： a 、b 、c ∈R ，a +

b +c =1。∴

+

111-a b +

c 。同理-1≥，-1==≥

b a a a a

1

-1≥

c 1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫。当且仅当时取等号。 a =b =c =-1-1-1≥=8 ⎪⎪⎪

3a b c ⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x

19

>0, y >0且+=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。

x y

y =k , x >0, y >0,

解：令x +

19x +y 9x +9y 10y 9x +=1，∴+=1. ∴++=1 x y kx ky k kx ky

∴1-

103

≥2⋅ 。∴k ≥16 ，m ∈(-∞,16] k k

1a +b

(lga +lg b ), R =) ，则P , Q , R 的大小关系22

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

a >b >1, P =lg a ⋅lg b , Q =

是 .

分析：∵a

>b >1 ∴lg a >0, lg b >0

Q =

1

（lg a +lg b ) >a ⋅lg b =p 2

a +b 1R =lg() >lg ab =lg ab =Q ∴R>Q>P。

22

2

一．二次项系数为常数

例1解关于x 的不等式：x +(a -2) x +a >0. 解：x +(a -2) x +a >0 (*)

2

∆=(a -2)-4a ≥0⇔a ≤4-23或a ≥4+2，

2

此时两根为x 1=

(2-a ) +

a -22-4a

2

，x 2=

(2-a ) -

a -22-4a

2

.

（1）当a 0，

(2-a ) -a 2-8a +4(2-a ) +a 2-8a +4

, +∞) ； ) ⋃((*) 解集为(-∞,

22

（2）当a =4-2时，∆=0，(*) 解集为(-∞, -1) ⋃(3-1, +∞) ； （3）当4-2

（4）当a =4+2时，∆=0，(*) 解集为(-∞, --1) ⋃(--1, +∞) ；

（5）当a >4+2时，∆>0，

(2-a ) -a 2-8a +4(2-a ) +a 2-8a +4

, +∞). ) ⋃((*) 解集为(-∞,

22

二．二次项系数含参数

例2解关于x 的不等式：ax -(a +1) x +11.

2

11

)(x -1) >0⇔x 1. a a 1

若a >0，原不等式⇔(x -)(x -1)

a

1

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

a

若a

1

1

（3）当0

a

（2）当a >1时，式(*) ⇔综上所述，当a

1

当a =0时，解集为{x x >1}；当01}；

a

时，解集为{x

11}；当a =1时，解集为φ；当a >1时，解集为{x

定理 (排序不等式或称排序原理)

设a 1≤a 2≤ ≤a n , b 1≤b 2≤ ≤b n 为两组实数, c , c 2, , c n 是b 1, b 2, , b n 的任一排列, 那么a 1b n +a 2b n -1+ +a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+ +a n c n ≤a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n

1

当且仅当a 1=a 2= =a n 或b 1=b 2= =b n 时, 反序和等于顺序和.

例2 设a1,a2, …,an 是n 个互不相等的正整数，求证： 2 12

证明：设b1,b2, …,bn 是a1,a2, …an 的一个排列， 且有 b1

因为b1,b2, …,bn 是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2, …,bn ≥n.

11

又因 1>2>2>... >

23

由排序不等式，得： 3n 22

1 12222

22

a n a a 3111

1+++... +≤a ++2+... +2

23n 23n

1

n 2

a b n a a b b 3

a +++... +≥b ++2+... +2

23n 23n

111111≥1⨯1+2⨯+3⨯+... +n ⨯2=1+++... +

23n 23n

4. 设a 1, a 2,..., a n 为正数，试分别用柯西

222

a n a a 12a 2

++... +-1+n ≥a 1+a 2+... +a n . a 2a 3a n a 1

不等式与排序不等式证明