新诚信教育20**年高考数学应考复习精品资料

2013年高考数学应考复习精品资料·解题技巧

第一讲 集合的概念与运算

【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.

2．了解空集和全集的意义.

3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.

【例题解析】

题型1． 正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．

解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

yx21,x0,x1,或得yx1.y1,点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 y2.

从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）

A．P B．Q C． D．不知道

思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．

解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．

例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）

A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q

思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．

解：正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．

22例4若A{x|x1}，B{x|x2x30}，则AB= （ ）

A．{3} B．{1} C．

思路D．{－1} 启迪：A{

解：应选D． ，x|x1 ,x

点评：解此类题应先确定已知集合．

题型2．集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

1

例5. 若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－2 (a2－3a－8), a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．

解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．

当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．

当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．

故a=2为所求．

例6. 已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,ac, ac2}．若A=B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0， 1

∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－2．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．

例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．

思路启迪：由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值．

解： ∵ A∪B=A， BA,

∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．

若B=，则令△

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．

点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．

解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，

∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故AB． ①

又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),

∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故BA ②

由①、②知A=B．

点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A . AC B .CA C .AC D . A

[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.

解：由ABBC知，ABB,ABCABC，故选A.

例10．设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是（ ）

A . 1 B .3 C .4 D . 8

[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.

AB{1,2,3}，解：A{1,2}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有24个.故选C. xa0x1≤1xx1例11． 记关于的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．

（I）若a3，求P； （II）若QP，求正数a的取值范围． 思路启迪：先解不等式求得集合P和Q．

x30Px1x3解：（I）由x1，得．

（II）Qxx1≤1x0≤x≤2

Px1xa． 由a0，得，又QP，所以a0，

)． 即a的取值范围是(2，

题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________．

解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．

这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

例13．已知集合

范围是 Axxa≤1，Bxx25x4≥0．若AB，则实数a的取值 ．

思路启迪：先确定已知集合A和B．

解：2Ax|xa≤1xa1x≤a+1,Bxx5x4≥0xx≥4,x1.

3)． a14,a11.2x3.故实数a的取值范围是(2，

例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围

是_________．

思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R=可知该方程只有两个负根或无实数根，从

而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．

解：由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数

根，

2m240,m20,或△=(m＋2)2－4－4．

点评：此题容易发生的错误是由A∩R=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根

之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．

例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B

数p的取值范围是________．

解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．

2p13p3.2p15A，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3． A，则实欲使B

上述解答忽略了

应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1

由Bp≥2． A得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.

p＜2． ②当B=时，即p＋1>2p－1

由①、②得：p≤3．

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

题型5．要注意利用数形结合解集合问题

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例16.设全集U={x|0

思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

解：∵

A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

B={x|x2＋3x>0}={x|x0}． 如图所示，

∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x0}={x|－6≤x＜－3，或0

点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果． 例18.设A={x|－21}，B={x|x2＋ax＋b≤0}

，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1

思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．

解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，

显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1

∴ a=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．

点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．

【专题训练】

一.选择题:

1．设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是（ ）

A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}

2．已知全集U=R，A={x|x-a|

[0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）

3．已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是（ ）

MN B、MN C、M=N D、不确定

4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）

A、11 B、10 C、16 D、15

5．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（ ）

A、15 B、16 C、31 D、32

kkx42,k∈Z},则( ) 246. 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=

A. M=N B. MN C. MN D. M∩N=

7. 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．

8． 命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．

9. 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1

A. －3≤m≤4

2B. －3

A. a-1 B. a1 C. a-1 D.a1

11．满足｛a，b｝UM=｛a，b，c，d｝的所有集合M的个数是（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

12．若命题P：xAB，则P是（ ）

A. xAB B. xA或xB C. xA且xB D. xAB

13．已知集合M=｛a,a｝.P=｛-a,2a-1｝；若card(MP)=3，则MP= ( )

A.｛-1｝ B.｛1｝ C.｛0｝ D.｛3｝

14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=

数是 ( )

A. 3 B. 7 C. 10 D. 12

二．填空题：

15．已知M={m|m4x3ZN}2}，N={x|2，则M∩N=__________. 2a,bap,bQ，则P*Q中元素的个

16．非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则

6-a∈p，则集合p个数是__________.

17．设A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝若用列举法表示，则集合B是 .

b2a,,1a,ab,02007200818．含有三个实数的集合可表示为a，则ab ．

三．解答题：

19．设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围.

20.设A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=，A∩N=A，求p、q的值.

21．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．

22．已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围．

23．已知全集U=R，且

24．已知集合

Axx2x120,Bxx24x50，求CACB. UUAxx22x30,Bxx2axb0,

且

【参考答案】

1． C 2. A 3. C 4. C 5. D

ABR,ABx3x4，ABR,ABx3x4，求a,b的值.

6. C 解析: 对M将k分成两类: k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+4,n∈Z}∪{x|x=n3

π+4,n∈Z},

对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),

53

N={x|x=nπ+2,n∈Z}∪{x|x=nπ+4,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+4,n∈Z}.

3

7．解：设全集U={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥2}．

若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，

则mU3x1x24m0m,2xx2m612

3

因此，{m|m≥2}关于U补集{m|m≤－1}即为所求．

8．解：使命题甲成立的条件是：

1m240,m2.xxm012∴ 集合A={m|m>2}．

使命题乙成立的条件是：△2=16(m－2)2－16

（1）m∈A∩CRB，（2）m∈CRA∩B．

若为（1），则有：A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；

若为（2），则有：B∩CRA={m|1

综合（1）、（2）可知所求m的取值范围是{m|1

9.D 解析: ∵A∪B=A，∴BA,又B≠,

∴m122m17m12m1，即2＜m≤4.

10.C 11.D 12.B 13.D 14.B

二.填空题:

15. ； 16. 7 ； 17. {,{1},{2},{1,2}}； 18.-1.

三.解答题:

19. a≥1或a≤-1，提示：画图.

p8,p20,p14,20．q16,或q10,或q40.

21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化．M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}．∴ M∩N=M={y|y≥1}．

22．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA．

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}．

当B=时，△=m2-8

当B={1}或{2}时，01m20或42m20，m无解．

12m,122.∴ m=3． 当B={1，2}时，

综上所述，m=3或22m22．

23.解:Ax3x4,Bxx1或>5,

CUAxx3或x4,CUBx1x5,(CUA)(CUB)x4x5.

24. 解：

又∵

故

而

Axx1或x3， ∵ABR. ∴, ∴x1x3中元素必是B的元素. ABx3x4x3x4中的元素属于B, . 2Bx1x3或3x4x1x4Bxx2axb0. ∴-1,4是方程xaxb0的两根， ∴a=-3,b=-4.