复变函数论文 1

河南城建学院

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—论复变函数在专业中的应用

《复变函数》结课论文

摘 要：1. 复变函数的概况

2. 复变函数的广泛应用

3. 复变函数在本专业中的应用

关键词：1. 复变函数

2.GIS

3.应用、发展

正 文：

论复变函数在专业中的应用

1. 复变函数的概况

在我们已经学过的《高等数学》课程中共，研究的主要对象是复变函数。经过理论的探讨和生产实践的发展，又提出了对复变函数的研究，而研究复变函数之间的相互依赖关系，就是复变函数这门课程的主要任务。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处。但是，复变函数又有与实变函数不同之点。在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点。这样，才能抓住本质，融会贯通。

复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。

2. 复变函数的广泛应用

复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复

杂的计算问题。作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。特别是在解析函数的微分理论（Cauchy-Riemann 方程），积分理论（Cauchy 积分定理雨积分公式），Weierstrass 的级数理论（Taylor 级数和Laurent 级数）等方面的应用。除此之外，在别的领域内的应用也是显而易见的，诸如流体力学、电磁学、热学等领域。比如说，物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

3. 复变函数在地理信息系统中的应用

既然复变函数在其他领域内有那么重要的应用，那么在本专业中是否同样有

着重要的应用呢，是否起着不可或缺的作用呢？下面讨论这个问题。

首先，地理信息系统（Geographic Information System 或 Geo－Information

system ，GIS ）它是一种特定的十分重要的空间信息系统。它是在计算机硬、软件系统支持下，对整个或部分地球表层（包括大气层）空间中的有关地理分布数据进行采集、储存、管理、运算、分析、显示和描述的技术系统。

那么，正是因为GIS 对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的广泛应用同样也渗透到了地理信息系统领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS 上的应用也不可或缺。

GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点、线、面、体这类有三维要素的地理实体。空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位、定性和定量的描述、这是GIS 区别于其它类型信息系统的根本标志，也是其技术难点之所在。而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

函数 f(z) = sqrt(z) 的黎曼曲面

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的

拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

于是乎，黎曼曲面理论成了复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，几何函数论将复变函数应用到了GIS 的空间数据中，从而实现了对其定位，定性和定量的描述。

把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

如果能将你所在州的降雨和你所在县上空的照片联系起来，可以判断出哪块湿地在一年的某些时候会干涸。一个GIS 系统就能够进行这样的分析，它能够将不同来源的信息以不同的形式应用。对于源数据的基本要求是确定变量的位置。位置可能由经度，纬度和海拔的 x、y 、z 坐标来标注，或是由其他地理编码系统比如ZIP 码，又或是高速公路英里标志来表示。任何可以定位存放的变量都能被反馈到GIS 。一些政府机构和非政府组织正在制作能够直接访问GIS 的计算机数据库，可以将地图中不同类型的数据格式输入GIS 。GIS 系统同时能将不是地图形式的数字信息转换成可识别利用的形式。 例如，通过分析由遥感生成的数字卫星图像，可以生成一个与地图类似的有关植被覆盖的数字信息层。 同样, 人口调查或水文表格数据也可在GIS 系统中被转换成作为主题信息层的地图形式。

GIS的技术优势在于它的数据综合、模拟与分析评价能力，可以得到常规方法或普通信息系统难以得到的重要信息，实现地理空间过程演化的模拟和预测。

复变函数也研究多值函数，正是这个特性，使得它在GIS 上广泛使用。黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用黎曼曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。 这就是关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。这里就不再讨论了。

后记：

在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和

整理，让我了解到了复变函数在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺的地位。对于理科的物理专业、工科的空气动力学专业、化工流变学专业以及一切与研究电场有关的专业和研究流体流速场有关的专业，尤其是在信息处理及计算上更是与复变函数紧密结合。所以说它对于我们来说是很基础的一门课程。通过对复变函数的学习，使我掌握复变函数的基本理论和方法，并获得初步应用的能力。地理信息系统作为一门介于信息科学、空间科学、管理科学之间的一门新兴交叉学科，是传统科学与现代技术相结合的产物，而复变函数在其发展中起着不可或缺的推动作用。特别是现在GIS 已经深入到了人们的日常生活中，它被公认为是21世纪的支柱性产业。同时GIS 明显地具有多学科交叉的特征，既要吸取诸多相关学科的精华和营养，并逐步形成独立的边缘学科，又将被多个相关学科所运用，并推动它们的发展。那么我们就要掌握好这门学科的知识，并且应用于实际。

参考书目：[1]复变函数与积分变换[M] 高等教育出版社，2006

[2]测绘与空间地理信息，2010(1)

[3]同济大学学报，2010(4)

[4]地理信息系统原理[M] 黄河水利出版社，2007

[5]多变函数理论基础[M] 高等教育出版社,1996

[6]复变函数及应用[M],机械工业出版社，2006

[7]工程数学· 矢量分析与场论[M]，高等教育出版社，2005

[8]复变函数，高等教育出版社，1996（4）

[9]复变函数，科学出版社，2004