信用风险定价模型综述

信用风险定价模型综述

陈秀花

(南开大学金融系,天津300071)

要】信用风险始终是金融机构承担的主要风险之一,国外的专家学者一直在致力于信用风险的衡量和管理研【摘

究。从20世纪70年代中期开始,对信用风险的定价开始朝着建立数学模型的方向发展,而国内对这方面的研究尚处于空白。文章试图对各种信用风险模型进行一个简单的述评,以弥补国内在这一研究领域的不足,缩短我国在这一领域与国外的差距。

【关键词】信用风险;结构法;约化模型;违约强度过程【中图分类号】F830;F224.0【文献标识码】A【文章编号】1004-2768(2006)03-0276-03近年来,信用风险模型发展成两大类,其一是结构法,又称

为公司价值模型,另一类则是约化模型,又称为违约强度模型。违约强度模型通过约化形式直接着眼于信用风险,因此称为基于强度的约化模型。

其中:d1=

ln

Vr+σ$+%(T-t)$t

σ!d2=d1-σ!N(y)=

1!一、结构法模型(StructureApproachmodel)

结构化模型的出发点是发行债券的公司的资产价值V,假定该价值是随机变化的,通常服从对数正态扩散过程(diffusion

&e

-∞

-u2/2

du(标准正态累积密度函数)

process):

dV=μVdt+σVdW

这里的μ是公司资产价值预期的变动率,σ是公司资产价值变动的方差,dW是一个标准的维纳过程。

在经典的Merton模型中,违约只在到期时发生。Merton定义了一个简单的公司资本结构:假设公司资产价值为为V,所有者权益(公司股票价值)为E,又假设公司只发行一种面值为K,到期日为T的零息债券。这种债务是有风险的,当债务到期

时,公司的所有者会根据公司的资产负债情况决定是否偿还债务。有关债务到期时公司的资产负债情况见表1。

表1债券到期时的支付

资产

不违约违约

债券

股票

VT≥KVT<KKVTVT-K0

根据Black-Scholes期权定价公式,得出信用价差的计算公式:

V(0)ln[N(d1-σ!)+-rTN(d1)]价差CS(T)=-

我们还可以通过解初始的随机微分方程dV(t)=μdt+σdW(t),

-1σ2)t+σW(t)

它有唯一的解:V(t)=V(0)e(μ,从而得到实际违约概率

和风险中性违约概率:

-1σ)Tln(K)-(μP(V(T)K)=N

σ!#

为了估计违约边界K,需要用到企业平衡表的数据。在经

典的Merton模型中K被假定等于公司债务的面值,r可以从无

・・违约风险债券(国库券)得到,尽管也有一些模型如Schonbucher

(2003)用银行同业拆借利率来代替得到的实证结果更好一些,但一般情况下都是用国库券利率来代替。

在最初的Merton模型中,所有的债券都是纯粹的零息债券,Merton模型的最简单的扩展就是把付息债券看作是零息债券的组合,从而可用经典的Merton模型为每一种债券定价。对风险付息债券的更精确的处理是Geske(1977)模型,Geske模型假定,股权持有人拥有对公司价值的复合期权,并且由他们决定是否支付利息。如果股权持有人不付息,则公司违约,因此违约边界在模型中是外生的。Merton模型也被扩展到可赎回债券和可转换债券、变动利率债券以及有不同优先等级的债券。相关文献还有BlackandCox(1976)的首次通过模型,Geske(1977)模型,Kim,RamaswamyandSunderesan(1989)模型,Shimko,TejimaandvanDeventer(1993)模型,Leland(1994)模型,Merrill(1994)模型,LongstaffandSchwartz模型(1995)等。Ammann(1999)总结了关于首次通过模型的各种可能的扩展,这些扩展模型包括:Cox-Ingersoll-Ross(1985)的不同利率的模型、Zhou(1997a)的不同违约边界并且伴随跳跃过程(jump-processes)的模型等。

以上文献都是探讨对Merton模型的扩展,放宽一些不合理的假设,使模型更能贴近于现实,例如对违约发生的描述、加入随机波动的利率模型、考虑偿债顺序、清偿率,甚至考虑公司破产的最适策略,都是想建立更有说服力的公司价值模型。

但是,公司价值模型始终存在一些无法克服的瓶颈,最明显的如无法有效地控制个别公司参数所造成的估计误差,公司资产价值与报酬率波动无法由市场发现等。各种估计方法不可

【收稿日期】2005-03-11

【作者简介】陈秀花(1972-),女,山东潍坊人,南开大学金融系在读博士研究生,研究方向:信用风险。

γ

’&%

避免地会在过程中作相当程度的简化与假设,一旦无法准确衡量这些误差,模型所产生的评价结果就很可能远远偏离市场交易的合理价格。且现实中公司负债、破产乃至于清算的过程均十分复杂,模型的关键变量资产价值更难以由市场交易中发现其价格,产生相关参数估计的严重误差,成为此类模型最大的缺点与发展瓶颈,因而才有了约化模型的快速发展。

二、基于强度过程的约化模型

以约化模型进行信用风险评价时,完全略过公司财务面的资料,直接利用市场价格或价差等信息。而这类模型在近年来发表的文献中广受重视。

JarrowandTurnbull(1995)首先将强度概念引入信用风险定价方法中,他们假设违约时间τ是由违约强度λ确定的泊松过程,该过程是在很多方面应用很广的离散统计模型,最一般的泊松过程通常和一个具有强度为λ的计数过程(countingprocess){N(t),t≥0}相联系。在任何长度间隔t内的事件发生数服从均值为λt的泊松分布:

至于违约过程的模拟,我们通常关心第一次跳跃,并把它解释为违约,因此,违约时间t服从参数为λ的指数分布,在很短的时间段Δt上,公司发生违约的概率为exp(-λΔt)≈λΔt,强度λ是由市场对公司瞬时信用风险的风险调整灵敏度。

按照对违约概率测度方法的不同,约化模型大体可分为三类:信用等级模型、违约模型和信用价差模型。

1.信用等级模型:该模型通过信用等级在一段时间内的变化来描述违约过程,将违约过程看作是在有限状态空间内的马尔可夫过程,通过信用等级变动的马尔可夫转换矩阵来描述违约过程。这方面的文章主要有Lando(1998),DasandTufano(1996),

Qit(τ

γ

t)e-λt

P{N(s+t)-N(s)=n}=(λn=0,1,…s,t≥0

(Λ┆┆┆t,t+1=%┆

 ̄ ̄ ̄%qk-1,1(t,t+1)qk-1,2(t,t+1)…qk-1,k(t,t+1)(%(

…01&0)

假设风险溢酬调整(riskpremiaadjustments)πi(t)使得鞅概率(martingaleprobability)下的信用等级变动过程对所有的i,j,i≠j,满足:

 ̄(t,t+1)=π(t)qqijiij这里πi(t)是时间的确定性方程,这样就把实际概率(empiricalprobability)转化成了估价中用到的风险中性概率。公司在t时

刻状态为i,定义η=inf{s≥t:ηt=i并且限定τs=K}为第一次违约的时间,则T时刻以后发生违约的概率为:

 ̄q(t,T) ̄q(t,T)=1-T)=,ijik

j≠k

见,假设违约(状态K)为吸收点,所以对i=1,2,…,K-1,有qki=0

和qkk=1。

在已有的完备市场和无套利的假设前提下,等价鞅概率下的从时间t到t+1的转移矩阵为:

 ̄ ̄(t,t+1) ̄(t,t+1)…qq11(t,t+1)q121k$’ ̄ ̄ ̄q21(t,t+1)q22(t,t+1)…q2k(t,t+1)(% ̄

无违约即期利率的期限结构可以用任何合适的模型来描述,Black,DermanandToy(1990),Cox,IngersollandRoss(1985)或Health,JarrowandMorton,因为JLT模型假定了信用等级变化过程的独立性。

该模型的简洁之处也是它的主要缺点来源。在大多数情况下,清偿率为常数的假设与现实是不相符的。对违约强度过程的假设也与现实不符,因为它假定同一信用等级的债券都具的相同的强度过程。①

Lando(1998)做了更一般性的总结,允许违约强度和转移矩阵由Cox过程决定,危险率与无风险短期利率有关。他的模型更具有灵活性,结果取决于利率的不同状态变量,但计算量很大。

(二)DuffieandSingleton模型(1999)

DuffieandSingleton给出了信用风险债券定价的新的方法。和前面的约化模型一样,该模型也假设违约是由风险率决定的不可预测的事件,其特点是把违约损失参数化为违约时债券市场价值缩减的一部分,即可以用与分析无风险债券相同的方法来分析风险债券的定价,而贴现率包括无风险利率加上由危险率和清偿率函数组成的调整系数。

我们假设债券在无违约时,到期日T支付固定的X。在风险中性概率测度下,令ht为t时刻违约的危险率,该危险率是由违约过程决定的外生过程,Lt为t时刻违约时市场价值预期损失的部分,假设在t时刻之前的市场信息都是可得的。可以证明风险债券可以当作无风险债券来定价,方法是通过把通常的短期利率过程r用加上违约调整的短期利率过程R=r+hL来代替,即在各种技术条件下违约债券X的初始市场价值为:

Jarrow,LandoandTurnbull(1997),KijimaandKomoribayas(1998)。

2.违约基础模型:在此类模型中,有违约风险债券的价格,

通过违约率与清偿率,直接与无违约风险的债券价格产生联结,将违约过程看作是一个随机过程。这一类的文章主要包括

JarrowandTurnbull(1995),DuffieandSingleton(1997),DuffieandHuang(1996),CathcardandEl-Jahel(1998)。

3.信用价差模型:直接假定信用价差服从随机过程,这方面的文章主要有RamaswamyandSundaresan(1986),MadanandUnal(1994),LongstaffandSchwartz(1995b),Duffee(1996),Das(1997)。

(一)Jarrow-Lando-Turnbull模型(JLT模型1997)

JLT模型用马尔可夫链来描述债券信用等级的变化过程。假设违约时间的分布是有限状态空间S={1,2,……K}中的时间齐次马尔可夫链,状态空间S代表可能的信用等级,状态1代表最高的信用等级,状态K-1代表最低信用等级,最后的状态K代表违约。有限状态空间中的时间齐次马尔可夫链可以表示为K×K阶的转移概率矩阵:

q11q12…q1k’$

q21q22…q2k(%Λ=%┆┆┆┆(%qk-1,1qk-1,2…qk-1,k(%(

…001)&

其中,对所有的i,j,i≠j,qij≥0且对所有的qii≡1-

V0=EQ0Xe(-

.-/

Rtdt)0

(1)

,q,第(i,j)

ij

j=1

j≠i

个向量qij表示从状态i到状态j的实际的转移概率。为简单起

其中,X是债券的面值,为简便起见,我们通常假定X=1。Rt≈rt+htLtEQ0为0时刻的风险中性条件期望,这是很明显的,因为htLt是违约时的风险中性均值损失率,因此,用调整过的短期利率R折现,既考虑了违约概率和违约时间,又考虑了违约损失。

估价等式(1)的一个主要特点在于,如果给定均值损失过程

①Schmidt(2001)

+*)

是外生的,那么无违约债务的标准的期限结构模型可被直接运用到风险债务中去,通过把参数R代替r。

CossinandPirotte(2001)给出了该利率调整过程的直观的解释并且证明了它一定满足下列等式:

其中,M是对数资产价值的历史低点,则违约概率变为:

1=1(hΔt(1-L)+(1-hΔt))如果令Δt→0并取极限,我们就得到R≈r+hL。在有些连续时间状态的情况下,R的上述表达式是相当精确的。①DuffieandSingleton还在等式(1)中引入了另一个因素并把它定义为流动

在上述并不十性影响,这主要是考虑了违约债券的持有成本。

分严格的假定条件下,等式(1)可以用的“违约和流动性调整”短期利率过程来代替,即:

K)

P[τT]=PM(t)≤ln(

为求出该概率,他运用了M(t)是反高斯过程的事实并得出:

K)22(μ-σ2v)ln(K)(μ-σv)T-ln(+eP[τT]=1-N

σv’2

ln(K)+(μ-σv)TN

σv’Giesecke发展了一种能够运用到各种价差模型中去预测

$%

γ

%

γ

%

R=r+hL+ι

如果不在模型中加入别的信息,要将ht和Lt完全分开是不可能的,也就是说,信用差价等于违约率和损失率的乘积,要将其分解为违约率和清偿率是不容易的。但是,DuffieandSingleton认为对于一些衍生品来说,这完全不会造成任何问题。

三、混合模型

最近又出现了一种把结构化模型和约化模型的特点结合起来的混合模型。我们在此只简单介绍由Giesecke(2001)提出的一种混合模型。

结Giesecke(2001)模型,是以经典的结构化模型为基础的。

构化模型主要有两个方面和现实不符:第一,短期信用价差不可能大于零;第二,在这些模型中,债券的价格总是不断地向其面值趋进,尽管在债券违约时的市场价格经常会发生跳跃。Giesecke(2001)提出了一种扩展的模型,该模型通过假设不完备信息而解决了结构化模型所面临的上述困难。

Giesecke(2001)模型允许违约边界和公司资产价值一样具有不确定性。表2总结了关于公司资产价值和违约边界不确定性的不同种类及它们的不同组合,并给出了相应的期限结构和短期信用价差。

表2Giesecke模型的信息

不完备在历史低点在历史高点

未被预期到的违约的约化模型框架。通过该模型框架能够得出在特定条件下的封闭解,并且能通过运用连续补偿子对信用价差进行定价。连续补偿子可以用Doob-Meyer分解定理来解释(Neftci2000)。该分解定理认为一个连续时间过程可以分解为一个鞅和一个漂移过程,在我们的例子中就是连续补偿子,因此,连续补偿子简单地等于指标过程的预期强度。

该模型具有很强的经济意义,因为它反映了现实世界中投资者很难得到公司的完备信息这一事实。模型需要输入的参数

股票价格波动性的预测、报告的负债数和有:股票每天的价格、

利率。这些数据都可从市场上得到,这就使得模型很容易拟合。另外一些变量,如公司资产价值的波动性和初始价值,可以从期权定价公式中的初始参数得出。

此外,周(Zhou,1997,2001)的跳跃———扩散模型提供了更

加灵活的信用风险分析方法。MadanandUnal(2000)进一步将强度模型与结构化模型加以整合,将违约看作是由触发事件引起不可预期的损失,损失率为λ,避免了建立复杂的跳跃的资产价值过程,并且允许价值过程与随机利率相关,得到信用风险债券的封闭解,从而将信用风险定价理论的发展推进了一大步。

[参考文献]

[1]R.Jarrow,DLandoandS.Turnbull,1997,AMarkovModelfortheTermStructureofCreditSpread,ReviewofFinancialStudies,vol10.

[2]R.JarrowandS.Turnbull,1995,PricingDerivativesonFinancialSecuritiesSubjecttoCreditRisk,JournalofFinance,vol50.

[3]Merton,RobertC,1974,OnPricingofCorporateDebt:theRiskStructureofInterestRates,JournalofFinance.

[4]Longstaff.F.andE.Schwartz,1995b,ASimpleApproachtoValuingRiskyFixedandFloatingRateDebt,JournalofFinance.

[5]Gieseke,Kay(2001)CreditRiskModelingandValuation:anIntroduction,WorkingPaper,CornellUniversity.

[6]于研.信用风险的测定与管理[M].上海:上海财经大学出版社.

[7]李大伟,魏明,王琼.基于强度过程的信用风险定价模型研究[J].国际金融研究,2004,(2).

(责任编辑:X校对:Q)

完备

期限结构短期信用价差

资产

资产和违约边界

弓形隆弓形隆下降起形状起形状零

不为零

不为零

弓形隆起形状下降零

不为零

Giesecke(2001)描述了BlackandCox模型并在假定违约边界固定不变K(t)=K的基础上给出了模型的简单的解。

Giesecke定义了一个运动着的最小的对数资产过程M(t),结于t≥0,有:

-1σM(t)=min(μv)s+σvWs

s≤t$%

①CossinandPirotte(2001)

②正式地,为了投资于一个具有价格过程U的债券,该假设从严格意义上来讲,是说投资者必须不断地支付成本ιU。

魏明、王琼:《基于强度过程的信用风险定价模型研究》。③李大伟、

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