含参数的一元二次方程的整数根问题复习题

全国初中（初二）数学竞赛辅导

第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题

对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0) 的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．

例1 m 是什么整数时，方程

(m2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0

有两个不相等的正整数根．

解法1 首先，m 2-1≠0，m ≠±1．Δ=36(m-3) 2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得

由于x 1，x 2是正整数，所以

m -1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，

解得m=2．这时x 1=6，x 2=4．

解法2 首先，m 2-1≠0，m ≠±1．设两个不相等的正整数根为x 1，x 2，则由根与系数的关系知

所以m 2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即

m 2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，

只有m 2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．

说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话) ，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是

这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x 的方程

a 2x 2-(3a2-8a)x ＋2a 2-13a ＋15=0

(其中a 是非负整数) 至少有一个整数根，求a 的值．

分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解 因为a ≠0，所以

所以

所以只要a 是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程

mx 2-(m-1)x ＋1＝0

有有理根，求m 的值．

解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

Δ=(m-1) 2-4m ＝n 2，

其中n 是非负整数，于是

m 2-6m+1=n2，

所以 (m-3)2-n2=8，

(m-3＋n)(m-3-n) ＝8．

由于m -3＋n ≥m -3-n ，并且

(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)

是偶数，所以m -3＋n 与m -3-n 同奇偶，所以

说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决． 例4 关于x 的方程

ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值． 解 当a=0时，原方程变成-6x -2=0，无整数解．

当a ≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式

Δ＝4(a-3) 2-4a(a-2) ＝4(9-4a)

为完全平方数，从而9-4a 是完全平方数．令9-4a=n2，则n 是正奇数，

要使x 1为整数，而n 为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x 2为整数，即n -3｜4，n 可取1，5，7，从而a=2，-4，-10． 综上所述，a 的值为2，-4，-10．

说明 本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用． 例5 已知关于x 的方程

x 2＋(a-6)x ＋a=0

的两根都是整数，求a 的值． 解 设两个根为x 1≥x 2，由韦达定理得

从上面两式中消去a 得

x 1x 2+x1+x2＝6，

所以 (x1＋1)(x2+1)=7，

所以a=x1x 2=0或16．

说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x 1，x 2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．

例6 求所有有理数r ，使得方程

rx 2+(r+1)x＋(r-1)=0

的所有根是整数．

分析 首先对r=0和r ≠0进行讨论．r=0时，是关于x 的一次方程；r ≠0时，是关于x 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r 消去．

解 当r=0时，原方程为x -1=0，所以x=1．

当r ≠0时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为x 1，x 2，且x 1≥x 2，则 消去r 得

x 1x 2-x 1-x 2＝2，

所以(x1-1)(x2-1)=3．

例7 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程

ax 2＋2(2a-1)x ＋4(a-3)=0

至少有一个整数根，求a 的值． 解 将原方程变形为

(x＋2) 2a= 2(x＋6) ．

显然x ＋2≠0，于是

由于a 是正整数，所以a ≥1，即

所以 x2+2x-8≤0，

(x＋4)(x-2) ≤0，

所以 -4≤x ≤2(x≠-2) ．

当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a 的值为1，6，10，3

，

说明 从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．

例8 已知方程x 2+bx+c=0与x 2+cx＋b=0各有两个整数根x 1，x 2

(2)求证：b -1≤c ≤b ＋1； (3)求b ，c 的所有可能的值．

解 (1)由x 1x 2＞0知，x 1与x 2同号．若x 1＞0，则x 2＞0，

(2)由(1)知，x 1＜0，x 2＜0，所以x 1≤-1，x 2≤-1．由韦达定理 c -(b-1)=x1x 2＋x 1＋x 2＋1 =(x1＋1)(x2+1)≥0， 所以 c≥b -1． 同理有

所以 c≤b+1， 所以 b-1≤c ≤b+1．

(3)由(2)可知，b 与c 的关系有如下三种情况： (i)c=b＋1．由韦达定理知

x 1x 2=-(x1＋x 2) ＋1，

所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，

解得x 1＋x 2=-5，x 1x 2=6，所以b=5，c=6． (ii)c=b．由韦达定理知

x 1x 2=-(x1＋x 2) ，

所以 (x1+1)(x2＋1)=1， 所以x 1=x2=-2，从而b=4，c=4．

(iii)c=b-1．由韦达定理知

所以

综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6) ，(4，4) ，(6，5) ．

练习二十六

1．填空：

(1)方程x 2+px+1997=0恰有两个正整数根x 1，x 2

，

(2)已知k 为整数，且关于x 的方程

(k2-1)x 2-3(3k-1)x ＋18=0

有两个不相同的正整数根，则k=____．

(3)两个质数a ，b 恰好是关于x 的方程x 2-21x ＋t=0

的两个根，

(4)方程x 2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．

(5)已知方程(a2-1)x 2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a 的值是____．

2．设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程

(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0

有两个整数根，求m 的值及方程的根．

3．已知关于x 的一元二次方程

x 2+(m-17)x+m-2=0

的两个根都是正整数，求整数m 的值．

4．求使关于x 的方程a 2x 2＋ax ＋1-7a 2=0的两根都是整数的所有正数a ．

5．求所有的整数a ，使得关于x 的二次方程

ax 2＋2ax ＋a -9＝0

至少有一个整数根．