[考点]002由累加法与累积法求通项

【考题】（1）已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。

（2）已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 解：（1）由a n +1=a n +2n +1得a n +1-a n =2n +1则

∴a 2-a 1=2⨯1+1

a 3-a 2=2⨯2+1

a 4-a 3=2⨯3+1

a n -a n -1=2(n -1) +1

相加得：a n -a 1=2[1+2+3+(n -1)]+n -1=2

∴a n =n 2-1+a 1=n 2

所以数列{a n }的通项公式为a n =n 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=a n +2n +1转化为a n +1-a n =2n +1，进而利用逐差求和法求得数列{a n }的通项公式。

【专项巩固题】A 组

1． 在数列{a n }中，a 1=2, a n +1=a n +ln(1+n (n -1) +n -1=n 2-1 21) ，则（ ） n

A. 2+ln n B.2+(n -1) ln n C.2+n ln n D.1+n +ln n

2． 已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a n .

3． 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .

4． 已知数列{a n }满足a 1=1, a n =3n -1+a n -1(n ≥2)

（Ⅰ）求a 2, a 3

（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式

5． 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。

【考题】已知a 1=1, a n +1=2n a n ，求数列{a n }的通项公式

【解析】：∵a n +1=2n a n ∴a n +1=2n ，得 a n

a 2=21 a 1

a 3=22 a 2

a 4=23 a 3

……

a n =2n -1 a n -1

上述各式相乘得：a a a 2a 3a 4⋅⋅ ⋅n -1⋅n =21⋅22⋅23 2n -1 a 1a 2a 3a n -2a n -1

n (n -1)

2a 即n =2(1+2+3+ +n -1) =2a 1

【专项巩固题】A 组 又a 1=1，所以a n =2n (n -1) 2

6． 已知a 1=1, a n =n (a n +1-a n ) (n ∈N ) , 求数列{a n }通项公式. *

n －17． 已知a 1＝1，a n ＝a (n ≥2) ；求数列{a n }的通项公式 n n －1

8． 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。

9． 已知数列{a n }满足a 1=1求{a n }的通项公，a n =a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1) a n -1(n ≥2) ，式。