高三数学复数知识点

1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2=-1.

⑵复数及其相关概念：复数—形如a + b i 的数（其中a ，b ∈R ）； ① 实数—当b = 0时的复数a + bi ，即a ； ② 虚数—当b ≠0时的复数a + b i ；

③ 纯虚数—当a = 0且b ≠0时的复数a + bi ，即b i.

④ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）

⑤ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑥ ⑶两个复数相等的定义：

a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中，a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地a +bi =0⇔a =b =0

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设z 1=a +bi , z 2=c +di (a , b , c , d ∈R ) ，则z 1±z 2=(a ±c ) +(b ±d ) i ；

z 1⋅z 2=(ac -bd ) +(ad +bc ) i ；

z 1ac +bd bc -ad

=2+2i 。 22z 2c +d c +d

加法的几何意义：设OZ 1，OZ 2各与复数z 1，z 2对应，以OZ 1，OZ 2为边的平行四边形的对角线OZ 就与z 1+z2对应。

减法的几何意义：设OZ 1，OZ 2各与复数z 1，z 2对应，则图中向量Z 1Z 2所对应的复数就是z 2-z 1。｜z 1-z 2｜的几何意义是分别与Z 1，Z 2对应的两点间的距离。

3. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则

z =a-bi，（a 、b ∈R ），实数的共轭复数是其本身注：两个共轭复数之

差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ⑴①复数的乘方：i 2=-1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i , i 4n =1

i n +i n +1+i n +2+i n +3=0, (n ∈Z ) (1±i ) 2=±2i ,

若ω是1的立方虚数根，即ω=-1±

i ， 2

322n n +1n +2ω=1, ω=ω, ω=, 1+ω+ω=0, ω+ω+ω=0(n ∈Z ) 则

5. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 时，应注意下述问题：

①当a , b , c ∈R 时，若∆＞0，则有二不等实数根x 1, 2=则有二相等实数根

x 1, 2=

-b ±∆|i

x 1, 2=-

-b ±∆2a

；若∆=0，

；若

∆

＜0，则有二相等复数根

（x 1, 2为共轭复数）.

②当a , b , c 不全为实数时，不能用∆方程根的情况.

③不论a , b , c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立 6. 复数的几何意义：

①复数z =a +bi (a 、b ∈R ) 可用点Z (a ，b ) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。应的有序实数对为(0，0) ，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数. 故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

②复数的模：|z |=|a +bi |=|OZ |=们的模可以比较大小。