函数恒成立问题的答案

函数恒成立的问题

类型1：利用一次函数的单调性 对于一次函数

f (x ) =kx +b , x ∈[m , n ]有：

⎧f (m )

f (x )

⎩f (n )

⎧f (m ) >0

f (x ) >0恒成立⇔⎨,

f (n ) >0⎩

例1． 若不等式2x -1>m (x

2

-1)

对满足-2≤m ≤2的所有m 都

成立，求x 的范围。

解：原不等式化为 (x－1)m －(2x－1)

记f(m)= (x－1)m －(2x－1) (－2≤m ≤2) 根据题意有： 即：

⎧⎪2x ⎨⎪⎩2x

22

2

⎧⎪f(-2)=-2(x-1) -(2x-1)

2

2

+2x -3>0-2x -1

-1+72

1+32

解之：得x 的取值范围为

类型2：利用一元二次函数的判别式

设f (x ) =ax

2

+bx +c (a ≠0) ，

⑴ f (x ) >0在x ∈R 上恒成立 ⇔a >0且∆

例2： 在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x－a)

⊗

(x＋a)

( )

(A)－1

2

2

2

32

解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)]

即x -x-a +a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x-x-a +a+1 则应满足(-1)-4(-a+a+1)

例3：若不等式x -2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

解：设f(x)=x-2mx+2m+1

本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，

求m 的取值范围。

(1)当m

⎧m

解 ⎨

⎩f(0)=2m +1>0

22

2

2

2

2

2

2

2

2

32

,故选择C 。

得 -

2

1

(2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m时取得最小值

⎧0≤m ≤1

解 ⎨ 得 0≤m ≤1 2

f(m)=-m +2m +1>0⎩

(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值

解 ⎧⎨

综合(1)(2)(3) 得 m 例4．若不等式(m -1) x 围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有

判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

m -1≠0时，（2）只需⎨

2

m >1

⎩f(1)=2>0

得 m>1

>-

12

R ，求m 的范

+(m -1) x +2>0的解集是

⎧m -1>0

⎩∆=(m -1) -8(m -1)

2

，所以， m ∈[1, 9) 。

注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。

类型3：利用函数的最值（或值域）

⑴

f (x ) >α对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) min >α

⑵ f (x )

对一切x ∈I 恒成立⇔f (x ) max >α

。

简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由

此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例5

在∆ABC 中，已知

f (B ) =4sin B sin (

2

π

4

+

B 2

) +cos 2B , 且|f (B ) -m |

恒

成立，求实数m 的范围。 解析

由

f (B ) =4sin B sin (

2

π

4

+

B 2

) +cos 2B =2sin B +1, 0

，

f (B ) ∈(1, 3]， |f (B ) -m |

即⎨

⎧m >f (B ) -2⎩m

恒成立，∴m ∈(1, 3]

例4： 求使不等式a >sin 解析：

（1）由于函a >sin

x -cos x =

2sin(x -

x -cos x , x ∈[0, π]恒成立的实数a 的范围。

π

4

), x -π

4

∈[-

π3π

4, 4

]

，

显然函数有最大值

2

，∴a >

2

。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式a >sin 范围。

解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要

x -cos x , x -

π

4

∈(0,

π

2

)

恒成立的实数a 的

在于自变量的取值范围的变化，

这样使得y =sin

x -cos x 的最大值取不到

2

，即a 取

2

也

满足条件，所以a ≥

2

。

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最

值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解

f (x ) >g (x ) 对一切x ∈I 恒成立

f (x ) min >g (x ) max (x ∈I )

⇔f (x ) 的图象在g (x ) 的图象的上方或

例5.

已知a >0, a ≠1, f (x ) =

x -a , 当x ∈(-1, 1) 时, 有f (x )

2

x

12

恒成立

，求实数a

的取值范围。 解析：由

f (x ) =x -a

2

x

12

，得x -

2

12

x

，在同一直角坐标系中做

出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1

2

-

12

x

=a 及(-1) -1x

及y =()

2

2

12

=a

-1

得到a 分别等于2和0.5，并

2

作出函数y =2

的图象，所以，要想使函数x

x

-

12

x

在

区间x ∈(-1, 1) 中恒成立，只须y =2在区间x ∈(-1, 1) 对应的图象在

y =x -

2

12

在区间

x ∈(-1, 1)

对应图象的上面即可。当

12

a >1时, 只有a ≤2才能保证，而0

a ∈[

12

, 1) (1, 2]

。

2

例6. 若当P (m , n ) 为圆x +(y -1) =1上任意一点时，不等式

2

m +n +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）

A. -1-C. c ≤-

2≤c ≤

2-1 B.2-1≤c ≤2+1

2-1 D.c ≥2-1

解析：由m +n +c ≥0，可以看作是点P(m,n)在直线x +y +c =0

的右侧，而点P(m,n)在圆x 于是x

2

2

2

+(y -1) =1上，实质相当

2

+(y -1) =1在直线的右侧并与它相离或相切。

⎧0+1+c >0

⎪

∴⎨|0+1+c |∴c ≥

≥1

⎪22⎩1+1

2-1，故选D 。

例7：

如果对任意实数x ，不等式x +1≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是0 ≤k ≤1

解析：画出y 1=x +1,y 2=kx的图像，由图可看出 0≤k ≤1

例8：已知a>0且a ≠1, 当x ∈(-1，1) 时，不等式x -a

2

x

2

1⎫

恒成立，则a 的取值范围⎡ ⎢, 1⎪ (1, 2]

⎣2

⎭

解析：不等式x -a x-1

2

x

x

2

22

画出y 1= a,y 2= x-1的图像。由图可看出 1≤ax

2

22

类型5

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax (x) （a

例

a ＝

4：已知向量a

=(x

2

,x+1), b

=(1-x,t) 若函数f(x)

t 的取值范围。

·b 在区间(－1，1) 上是增函数，求

解：依题意，

f(x)＝x (1-x)+(x+1)t=-x+x+tx+t 则f ＇(x)=-3x+2x+t

∵f(x)在(－1，1) 上是增函数，则在(－1，1) 上有

2

2

3

2

f ＇(x)≥0

即-3x +2x+t≤0在x ∈(-1，1) 上恒成立

设g(x)=3x-2x

∴t ≥g(-1) 即 t≥5

例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝

15

2

2

[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0(n∈N ) 若对任意n ≥1，n ∈N ，

n n-1n n n **

不等式a n >an-1恒成立，求a 0的取值范围。

解：依题意：

15

1

n-1

[3+(-1)·2]+(-1)·2·a 0>1[3+(-1)·2

n

n-1

n

n

n

n-1

n-2

n-

5

]+(-1)·2·a 0

化简，得 (-1)·3·2·a 0>-2·3+3(-1)·2

n

n-1

n-1

n

n-1

n-1

55

(1)当n=2k-1 k∈N 时 a0

n-1

*

1525

设g 1(n)= 2·(3) +1

n-1

1525

∵g 1(n)在n ∈N 时且n=2k-1,k∈N 时是增函数 ∴g 1(n)的最小值为g 1(1)＝1

3

**

∴a 0

3

(2) 当n=2k k∈N 时 a0>-2·(3) +1

n-1

*

1525

设g 2(n)=- ·() +1

n-1

232

155

∵g 2(n)在n ∈N 且n=2k,k∈N 时是减函数 ∴g 2(n)的最大值为g 2(2)＝0 ∴a 0>0

综上可知0

3

**

例6：函数y ＝f(x)在区间(0, +∞) 内可导，导函数f ' (x)是减函数，且f ' (x)>0。设x 0∈(0, +∞) ，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线方程并设函数g(x)=kx+m

（Ⅰ）用x 0，f(x0) ，f ' (x0) 表示m ； （Ⅱ）证明：当x ∈(0, +∞) 时，g(x)≥f(x) （Ⅲ）若关于x 的不等式x +1≥ax+b≥

2

32

2

x

3

在[0, +∞）上

恒成立，其中a 、b 为实数。求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系。

本题（Ⅲ）应用了此方法。

（Ⅲ）解：0≤b ≤1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x

2

+1≥ax+b 即x -ax+(1-b)≥0对任意x ∈[0, +∞) 成立

2

1

的充要条件是a ≤2(1-b) 2

令Φ(x)=ax+b-32

2

x

3

，于是ax+b≥

32

2

x

3

对任意x ∈[0, +∞)

成立的充要条件是Φ(x)≥0

由Φ(x)=a-x =0得x=a

'

3

-3

-

1

当00,所以，

-3

-3

当x ＝a 时，Φ(x)取最小值。因此，Φ(x)≥0成立的充要条

-3

件是Φ(a ) ≥0。

-3

即a ≥ (2b)

2

-

1

综上，不等式x +1≥ax+b≥

充要条件是

(2b)

-12

2

32

2

x

3

对任意x ∈[0, +∞]成立的

≤a ≤2(1-b)2„„„„„„„„„„„„„„„„„„①

1

显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是： 不

(

-12

等

12

式

1

)

≤2

„„„„„„„„„„„„„„„„② 2b (

有解。

解不等式②得 ③

因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数a 与b 所满足

2-24

≤b ≤

2+24

„„„„„„„„„„„

的关系。

例12：

当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，

则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y 1=(x-1),y 2=loga x, 则y 1的图象为右图所

2

示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。 故log a 2>1,a>1,∴1

例12：已知关于x 的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。

分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。

解：令y 1= x 2+20x=（x+10）2-100,y 2=8x-6a-3,则如图所示，y 1的图象为一个定抛物线，y 2的图象

是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y 1和y 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2)

当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=-

1636

;

当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=-

12

∴a 的范围为[-

1636

，

-

12

）。