100测评网高一数学复习第六节函数与方程及最值问题

第六节 函数与方程及最值问题

【热点聚焦】

函数与方程及最值问题一直是高考的重点内容，在历届的高考试题中均占有一定的比重。特别是函数与方程思想，更是思考问题与解决问题常用的方法，应重点掌握。

【基础知识】

一．函数最大（小）值定义

1．最大值： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M； （2）存在x 0∈I ，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 二．函数与方程

函数零点的概念：对于函数y =f (x )(x ∈D ) ，把使f (x ) =0成立的实数x 叫做函数

y =f (x )(x ∈D ) 的零点．

函数零点的意义：函数y =f (x ) 的零点就是方程f (x ) =0实数根，亦即函数y =f (x ) 的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程f (x ) =0有实数根⇔函数y =f (x ) 的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x ) 有零点．

函数零点的求法：求函数y =f (x ) 的零点：○

1 （代数法）求方程f (x ) =0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f (x ) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

三．二分法及步骤

对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a ) ·f (b )

给定精度ε，用二分法求函数f (x ) 的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[a ，b ]，验证f (a ) ·f (b )

3．计算f (x 1) ：○1 若f (x 1) =0，则x 1

就是函数的零点； ○2 若f (a ) ·f (x 1)

) ·f (b )

即若|a -b |

从“数”的角度看：即是使f (x ) =0的实数；从“形”的角度看：即是函数f (x ) 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数f (x ) 的图象在x =x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点；若函数

f (x ) 的图象在x =x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点．

用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f (a ) ·f (b )

【课前训练】

1．（2003北京春）函数f （x ）=

1

1-x (1-x )

的最大值是（ ）

A. 45

B. 5

4

C. 3

4

D. 43

2．函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大

a

2

，则a 的值为（ ） A ．12 B ．32

C ．132

2或2 D ．2或3

3．（2005年福建卷）f (x ) 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2) =0，则方程f (x ) =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A ．5 B ．4 C ．3

D ．2

4．设函数f (x )在区间[a , b ]上连续，若满足______________，若方程f (x )=0在区间[a , b ]上一定有实根。

5．（1999全国）若正数a ，b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是_____.

【试题精析】

【例1】（2002全国）设a 为实数，函数f （x ）=x 2+|x －a |+1，x ∈R . （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值.

【评述】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助. 因为x ∈R ，f （0）=|a |+1≠0，由此排除f （x ）是奇函数的可能性. 运用偶函数的定义分析可知，当a =0时，f （x ）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想. 【例2】（2000春季北京、安徽文）已知二次函数f （x ）＝（lg a ）x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值.

【评述】本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二次方程的解法的运用能力.

【例3】一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

【例4】（2005年上海卷）对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g 规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ∉D g g(x) 当x ∉D f 且x ∈D g

(1) 若函数f(x)=－2x+3,x≥1; g(x)=x－2,x ∈R, 写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;

(3) 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数, 且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α

的值, 使得h(x)=cos2x,并予以证明.

【例5】（2005年广东卷）设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足f (2-x ) =f (2+x ) ，

f (7-x ) =f (7+x ) ，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0．

（Ⅰ）试判断函数y =f (x ) 的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f (x ) =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

【例6】某电器公司生产A 种瑾的家庭电器。1996年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。2000年平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率。求 （1）2000年每台电脑的生产成本；

（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）。

【点评】这是一个降低成本提高效率的问题。注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%。成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率。在第（2）问中所要解的方程

5000(1-x ) 4

=3200(0

比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想。

【针对训练】

1．求方程f (x )=0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x 10=0. 445达到精度要求。那么所取

误差限ξ是（ ） A ．0.05 B ．0.005 C ．0．005 D ．0.00005

2．若函数f (x )唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下列命题中错误的是（ ） A ．函数f (x )在（1，2）或[2, 3)内有零点 B ．函数f (x )在（3，5）内无零点 C ．函数f (x )在（2，5）内有零点 D ．函数f (x )在（2，4）内不一定有零点. 3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命

题中正确的是

（A ）函数f(x)在区间（0，1）内有零点 （B ）函数f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点 （C ）函数f(x)在区间[2，16) 内无零点 （D ）函数f(x)在区间（1，16）内无零点

4．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）

5．（2006年湖北卷）关于x 的方程(

x 2

-1)

2

-x 2

-+k =0，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （B ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6．用二分法求方程x 3

-2x -5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0=2. 5，那么下一个有根区间是______________。

⎧2x +3, x ≤0

7．（1998上海）函数y ＝⎪

⎨x +3, 0

⎪⎩

-x +5, x >18．函数f (x ) =ln x -x +2的零点个数为9．（2007年山东日照试题）A 、B 两城相距100km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全. 核电站距市距离不得少于10km. 已知供电费用与供电距离的

平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0. 25. 若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.

（Ⅰ）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域； （Ⅱ）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小.

10．我国从

（Ⅰ）根据已知数据，估计我国2003年的国内生产总值； （Ⅱ）据资料可知我国2003年的国内生产总值为116694亿元，你的预测是否准确，若误差较大，能修正你所构造的模型吗？

第六节参考答案

【课前训练】

1．答案：D 解析：首先讨论分母1－x （1－x ）的取值范围：1－x （1－x ）=x 2－x +1=（x －

1

2

）2

+

34≥34. 因此，有0

1-x (1-x ) ≤43

. 所以，f （x ）的最大值为43. 评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力及对代数式的转化能力。 2．. 答案：C 解析：因指数函数y ＝a x 为单调函数，所以有|a 2－a |＝a 32，解得a ＝1

2或a ＝2

. 3．答案：B 4．答案：f (a )f (b )

，整理得 ab －2

ab －3≥0，

（ab －3）（ab +1）≥0，∴ab ≥3，∴ab ≥9. 解析二：由ab =a +b +3，可得：b =

a +3

a -1

（a >0，b >0）， ∴a >1，又ab =a ·

a +3a -1=［（a －1）+1］a +3a -1=（a +3）+a +3

a -1+4a -1=a －1+4+a -1

=（a －1）+

4a -1+5≥2(a -1) 4

a -1

+5=9.等号成立条件为a －1=4a -1，即a =3. 【试题精析】 【例1】（解：（1）当a =0时，函数f （－x ）=（－x ）2+|－x |+1=f （x ），此时f （x ）为偶函数.

当a ≠0时，f （a ）=a 2+1，f （－a ）=a 2+2|a |+1，f （－a ）≠f （a ），f （－a ）≠－f （a ）. 此时函数f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）①当x ≤a 时，函数f （x ）=x 2－x +a +1=（x －

12）2+a +34

. 若a ≤

1

2

，则函数f （x ）在（－∞，a ］上单调递减，从而，函数f （x ）在（－∞，a ］上的最小值为f （a ）=a 2+1.

若a ＞

12，则函数f （x ）在（－∞，a ]上的最小值为f （12）=34+a ，且f （1

2

）≤f （a ）. ②当x ≥a 时，函数f （x ）=x 2+x －a +1=（x +

122）－a +3

4

. 若a ≤－

12，则函数f （x ）在［a ，+∞) 上的最小值为f （－12）=31

4－a ，且f （－2）≤f （a ）. 若a ＞－

1

2

，则函数f （x ）在［a ，+∞）上单调递增，从而，函数f （x ）在［a ，+∞）上的最小值为f （a ）=a 2+1. 综上，当a ≤－

12时，函数f （x ）的最小值是34－a . 当－11

2＜a ≤2

时，函数f （x ）的最小值是a 2+1.当a ＞

12时，函数f （x ）的最小值是a +34

. 【例2】解：原函数式可化成f （x ）＝lg a (x +

1lg a ) 2-1

lg a

+4lg a ．由已知，f （x ）有最大值3，所以lg a ＜0，并且-

1

＋4lg a ＝3，整理得 4（lg a ）2lg a

－3lg a －1＝0，解得 lg a ＝1，lg a ＝-1-14．∵lg a ＜0，故取lg a ＝-14

4．∴a ＝10=10

．

【例3】解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此

(II) 又f (3) =f (0) =0, f (11) =f (13) =f (-7) =f (-9) =0

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解, 从而可知函数y =f (x ) 在[0,2005]上有402个解, x x

⋅10)%，于是得y =150·(55+⋅10)%．当房价为(160-x ) 元时，住房率为(55+ (160-x ) ·2020

由于(55+x

20

⋅10)%≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．

由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是

160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

【例4】解：(1) h (x ) =⎧⎨

(-2x +3)(x -2) x ∈[1,+∞) ⎩x -2

x ∈(-∞,1) (2) 当x≥1时, h(x)= (－2x+3)(x－2)=－2x 2+7x-6=－2(x－

74) 2+18，∴h(x)≤1

8

; 当x

8

(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=

π2，则g(x)=f(x+α)= sin(x+π2)+cos(x+π

2

)=cosx-sinx, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.

〖另解〗令f(x)=1+2sinx, α=π, g(x)=f(x+α)= 1+2sin(x+π)=1－2sinx, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sinx)( 1－2sinx)=cos2x.

【例5】解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y =f (x ) 的对称轴为x =2和x =7, 从而知函数y =f (x ) 不是奇函数,

由⎧⎨

f (2-x ) =f (2+x ) ⎩f (7-x ) =f (7+x ) ⇒⎧⎨f (x ) =f (4-x ) ⎩f (x ) =f (14-x )

⇒f (4-x ) =f (14-x ) ⇒f (x ) =f (x +10) , 从而知函数y =f (x ) 的周期为T =10

又f (3) =f (0) =0, 而f (7) ≠0, 故函数y =f (x ) 是非奇非偶函数;

(II)由⎧⎨f (2-x ) =f (2+x ) ⎧f (x ) =f (4-x )

f (7-x ) =f (7+x ) ⇒⎨⇒f (4-x ) =f (14-x ) ⇒f (x ) =f (x +10)

⎩⎩f (x ) =f (14-x )

在[－2005.0]上有400个解, 所以函数y =f (x ) 在[－2005,2005]上有802个解. 【例6】解：（1）设2000年每台电脑的成本为p 元，根据题意，得 p (1+50%)=5000⨯(1+20%)⨯80%，解得p ＝3200（元）。

（2）设1996年～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x ，根据题意，得

5000(1-x ) 4=3200(0

令f (x )=5000(1-x ) 4-3200，作出x 、f (x )的对应值表，如下表：

观察上表，可知f (0)⋅f (0. 15)

取区间（0，0.15）的中点x 1=0. 075，用计算器可算得f (0. 075)≈460。因为

f (0. 075)⋅f (0. 15)

再取（0.075，0.15）的中点x 2=0. 1125，用计算器可算得f (0. 1125

)≈-98。因为f (0. 075)⋅f (0. 112)5

x 0∈(0. 103125, 0. 1125) ，x 0∈(0. 103125

, 0. 1078125) ，x 0∈(0. 10546875, 0. 1078125) 。 由于|0.1078125-0.10546875|＝0.00234375＜0.01，此时区间（0.10546875，0.1078125）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11。 答：（1）2000年每台电脑的生产成本为3200元；

（2）1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%。

【针对训练】

1．答案：C 2．答案：C 3．答案：C 4．答案：B

5．解选B 。本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令x -1=t (t ≥0) ①，则方程化为t -t +k =0②，作出函数y =x -1的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0

2

22

将x ＝6代入y ＝6197.2x ＋71045中得2003年的国内生产总值为108228.2亿元.

（2）二次函数型：

当方程②有两个不等正根时，即0

4

此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程x 2

-1=t 的解有8个，即原方程的解有8个；当k =114时，方程②有两个相等正根t ＝2

，相

应的原方程的解有4个；故选B 。

6．答案：由计算器可算得f (2)=-1，f (3)=16，f (2. 5)=5. 625，f (2)⋅f (2. 5)

7．答案：4 解析：当x ≤0时，y 的最大值为3；当0＜x ≤1时，y 的最大值为4；当x ＞1时，y 的最大值不存在，但此时y ＜4. 故y 的最大值是4. 8．答案：2个 9．解：（Ⅰ）y =5x 2+

5

2

(100—x ) 2（10≤x ≤90）； 2

（Ⅱ）由y =5x 2+

5

(100—x ) 2＝15x 2－50015⎛ 500002

2x +25000＝

2⎝

x -100⎫

3⎪⎭＋3. 则当x ＝

100

3

米时，y 最小. 故当核电站建在距A 城100

3

米时，才能使供电费用最小.

10．解：（Ⅰ）本小题只要能建立一个正确的数学模型即可给分（例如根据两点得出直线方程等）. 下面利用excel 给出几个模型，供参考： （1）直线型：

将x ＝6代入y ＝328.71x 2＋4224.9x ＋73346中得2003年的国内生产总值为110529亿元. （3）四次函数型：

将x ＝6代入y ＝224.79x 4－3004.1x 3+14231x2－21315x ＋88208中得2003年的国内生产总值为115076.2亿元.

（4）指数函数型：

将x ＝6代入y ＝72492e 0.0692x 中得2003年的国内生产总值为109797亿元.

（5）幂函数型：

0.1658

将x ＝6代入y ＝76113x 中得2003年的国内生产总值为102441.6亿元.

（Ⅱ）从以上的5个模型可以看成，四次函数型最接近2003年的实际国内生产总值，其实从其R 2值也可以看成，因为四次函数型中R 2＝1.

根据自己所建模型予以调整.

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