例析非负数相关的问题

例析非负数相关的问题

非负数问题（实数的绝对值是非负数、实数的偶数次幂是非负数、算术平方根是非负数（被开方数也是非负数）、一元二次方程有实数根时根的判别式是非负数、图形中的线段、面积、体积的量数都是非负数、统计中的方差是非负数等）是初中数学竞赛的重点内容．本文从五个方面介绍这类问题的求解．

1．绝对值问题

实数的绝对值是非负数．若a 是实数，则a ≥0．它的几何意义是数轴上数a 到原点的距离．

例1 x +1+x -2+x -3的最小值是 ．

分析：借助数轴可把x 的取值分为四段（如图1），然后转化为－次函数求解． 解：令d =x +1+x -2+x -3． 当x ≤－1时，d =-3x +4≥3＋4=7； 当－13时，d =3x -4>9－4=5． 故d 的最小值是4． 例2 若函数y =

12

(x -100x +196+x -100x +196) ，则当自变量x 取1，2，„，

2

2

100个自然数时，函数值的和是（ ）． （1999，全国初中数学联赛）

（A ）540 （B ）390 （C ）194 （D ）97

解：因x 2-100x +196=(x -2)(x -98) ，

所以，当2≤x ≤98时，x 2-100x +196=-(x 2-100x +196)．

因此，当自变量x 取2，3，„，98时，函数值为0；而当x 取1，99，100时，函数值的和为（1－2）（1－98）＋（99－2）（99－98）＋（100—2）（100—98）=390．

故选（B ）．

2．实数的偶数次幂问题

实数的偶数次幂是非负数．若a 是实数，则a

2n

≥0（n 是正整数）．对于任意的实数a 、

b ，都有(a -b ) 2≥0，即a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，a 2+b 2有最小值2ab ．特

别地，当a >0, b >0时，有a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时，a +b 有最小值2ab ．

例3 实数x , y , z 满足x +y +z =4(x -5+y -4+z -3) ，求x , y , z 的值．

（第10届五羊杯初三数学竞赛）

分析：对于－个三元方程，要求出每－个未知数的值，将方程转化成“0＋0=0”型是一个不错的选择，本例可将方程转化为

（(x -5-2) 2+(y -4-2) 2+(z -3-2) 2=0．故x =9, y =8, z =7． 例4 若实数a , b , c 满足a +b +c =0, abc =2, c >0，则（ ）． （A ）ab 2c

，再由这两个等式的特征易联想到“当a >0，

b >0时，有a +b ≥2ab ，于是，可以利用这一性质求解．

解：易知a +b =-c ．

因abc =2，c >0，所以，a , b 同负，即a +b =a +b =c ，且ab =

2c

．

由a +b ≥2a b ，得c ≥2

2c

，解得c ≥2．

因此，a +b =c ≥2．故选（B ）．

3．算术平方根问题

正数的正平方根和零的平方根统称为算术平方根．二次根式的意义是表示非负数的算术平方根．对于二次根式a ，有a ≥0，a ≥0．

例5 求y =

x +1+

2

(4-x ) +4的最小值．

2

2

分析：从题给函数的形式来看，x +1可以看成是以x 、1为直角边的直角三角形的斜边．于是，此题可归结为求两直角三角形斜边和的最小值．

解：如图2，构造Rt △PAC 、Rt △PBD ，使AC=1，BD=2，CP=x ，PD=4-x ．于是，原问题转化为：在直线l 上求－点P ，使PA ＋PB 的值最小．

因为y = PA＋PB ≥AB ，所以，y = PA＋PB 的最小值为AB ．

过B 作BE ∥l ，交AC 的延长线于点且则

AE=AC＋CE=AC＋BD=3，BE=CD=x ＋4-x = 4． 所以，AB=5．故y 的最小值为5．

例6 设a , b , c , d 为正实数，a ad ．有一个三角形的三边长分别为a +c ，b +d

2

2

2

2

，(b -a ) 2+(d -c ) 2．则此三角形的面积为．

（第12届五羊杯初三数学竞赛）

分析：由a +c 很容易联想到勾股定理，题中三角形的三边是由三个直角三角形的斜边构成的．

解：如图3，作矩形ABCD ，使AB=b -a ，AD=c ，延长DA 至点B ，使DE=d ，延长DC 至点F ，使DF=b ，联结EF 、FB ．则

BF=

EF=b +d a +c ，

2

2

2

2

22

，BE= (b -a ) +(d -c ) ．

22

从而知△BEF 是题设的三角形．于是， S △BEF =S

长方形ABCD

＋S △BCF ＋S △ABE —S △DEF

12

(d -c )(b -a ) -

12db =

12

(bc -ad ) ．

=(b -a ) c +

12

ac +

4． 与方差相关的问题

对于数组x 1, x 2, , x n ，平均数为x ，有 S 注意到S ≥0，因此，

2

2

1n

[(x

2

1

+x + +x

222n

[(x +x + +x n

) -n x ]≥0．

=1

21

22

2

2n

) -n x

2

]．

例7 已知a , b , c , d , e 均为实数，且a +b +c +d +e =4, a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=4．求实数a 的最大值．

分析：将题设等式变形为

b +c +d +e =4-a , b

2

+c

2

+d

2

22

+e =4-a ，于是，可将问题转化成方差问题，利

用方差的非负性求解．

解：对于数组b , c , d , e ，有x =

1

b +c +d +e

4

2

=

4-a 4

2

，

4-a 4

2⎤

) ⎥≥0． ⎦

S

2

=

[(b 4

2

+c +d

22

+e ) -4x

2

⎡]=1(4-a ) ⎢4⎣85

-4(

化简得a (5a -8) ≤0．解得0≤a ≤故a 的最大值为

85

，

．

例8 求函数y =

5-2x +

3+2x 的最大值．

分析：注意到5-2x 和3+2x 这两个二次根式的被开方数的和是－个常数8，因此，可借助方差的非负性来求解． 解：由题设知y >0．

注意到5-2x 和3+2x 这两个数的方差是

2

S =

1⎡y 2⎤22

(5-2x ) +(3+2x ) -2() ⎥≥0． ⎢2⎣2⎦

解得16-y 2≥0，即y 2≤16． 因此，y

最大值

= 4．

5．与求根公式中△≥0相关的问题

－元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反之也成立．若－元二次方程

ax

2

2

，则－元二+bx +c (a ≠0) 有两个实数根，则∆=b -4ac ≥0．若∆≥0（a ≠0）

次方程ax 2+bx +c (a ≠0) 有两个实数根．

例9 已知o 、b 是正数，并且抛物线y =x 2+ax +2b 和y =x 2+2bx +a 都与x 轴有公共点．则a 2+b 2的最小值是

（2000，全国初中数学联赛）

分析：抛物线与x 轴有公共点，即隐含着∆≥0．利用它可推出a 4≥64b 2≥64a ，求得b 2≥a ≥4，从而使问题获解．

解：由题设知a 2-8b ≥0，4b -4a ≥0． 于是a ≥64b ≥64a ，即a ≥4． 进而b ≥a ≥4．故a +b ≥20．

又当a =4, b =2时，抛物线y =x +ax +2b 和y =x +2bx +a 都与x 轴有公共点，所以，a +b 的最小值为20．

2

24

2

2

222

22

例10 当a , b 取什么实数时，方程x 2+2(1+a ) x +(3a 2+4ab +4b 2+2) =0有实数根?

（1987，全国初中数学联赛）

分析：先通过计算c 求得 2a 2+4ab +4b 2-2a +1≤0， 再利用完全平方公式将它转化成 (a +2b ) 2+(a -1) 2≤0 即可． 解：当∆≥0时，方程有实数根

22

⇔[2(1+a ) ]-4(3a +4ab +4b +2) ≥0⇔(a +2b ) +(a -1) ≤0．

2

22

又(a +2b ) 2+(a -1) 2≥0，因此，只有(a +2b ) 2+(a -1) 2=0． 故当a =1, b =-

12

时，题设方程有实数根．

例11 已知实数a , b , c 满足a +b +c =2, abc =4． （1）求a , b , c 中最大者的最小值； （2）求a +b +c 的最小值．

（2003，全国初中数学竞赛）

解：（1）不妨设a 是a , b , c 中的最大者，即a ≥b ，a ≥b ． 由题设得a >0，且b +c =2-a , bc =

x -(2-a ) x +

2

4a

，于是b , c 是－元二次方程

2

4a

=0的两个实数根，有∆=[-(2-a ) ]-4⋅

4a

≥0．

2

解得(a +4)(a -4) ≥0，a ≥4．

当a =4, b =c =-1时，a , b , c 中最大的最小值为4． （2）由abc >0，知a , b , c 均大于0或—正二负．

（ⅰ）若a , b , c 均大于0，则由（1）知a , b , c 中最大者的最小值为4，与a +b +c =2矛盾．

（ⅱ）若a , b , c 为－正二负，不妨设a >0, b

当a =4, b =c =-1时，满足题设条件不等式等号成立． 故a +b +c 的最小值为6．

练习题

1．设－1≤x ≤2．则x -2-

12

x +x +2的最大值与最小值之差为 ．

（提示：参照例1．答案：1．）

2．如果a +b -2a -1-4b -2=3c -3-（提示：参照例3．答案：20．）

3．若a , b , c 均为实数，且a +b +c =0, abc =2，那么a +b +c 的最小值可达到． （提示：参照例3．答案：4．）

2

4．已知a , b 都是正数，a +b =3．当a , b 为何值时，a +4+

12

那么a +b +c 的值是 ． c -5，

b +25有最小值，

2

并求出最小值．

（提示：参照例5．答案：最小值为58，a =5．求函数y =

2x +3x +1+

2

67

, b =

157

）．

2

7-2x -3x 的最大值．

（提示：参照例8．答案：最大值为4．）

6．已知方程x 2-6x -4n 2-32n =0的根都是整数．求整数n 的值． （2004，全国初中数学联赛）

（提示：∆=4(4n 2+32n +9) ．因方程的根都是整数，所以4n 2+32n +9是完全平方数．设4n 2+32n +9=m 2（m 是自然数）．则(2n +8+m )(2n +8-m ) =55． 又55=（±1）×（±55）=（±5）×（±11），2n +8+m >2n +8-m ，所以，可组成四组方程组．解得n =18，—8，0，10．）