动点轨迹方程的求法

轨迹方程的求法

一、待定系数法 曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。

例1．已知椭圆5x 2+14y 2=70和直线l :x -y +9=0，在直线l 上任取一点P ，例5．抛物线x 2=4 y 的焦点为F ，过点M (0,-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程。 过P 且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。

例2．已知双曲线C 的两个焦点为F 1, F 2，

直

线L 过点F 2，与线段F 1F 2夹角为α, 且 tan α

，与线段F 1F 2垂直平分的交

点为P ，线段PF PQ =2 QF

2与双曲线的交点为Q ，且2，求双曲线方程。

二、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例3．已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2

+y 2

=1，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

三、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例4．已知抛物线y 2

=x +1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

四、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

例6．若动圆与圆(x +2) 2+y 2=4外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

（A ）y 2-12x +12=0 （B ）y 2+12x -12=0 （C ）y 2+8x =0 （D ）y 2-8x =0

例7．一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）

（A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆

例8．如图所示，直线l 1和l 2相交于M ，l 1⊥l 2, 点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等，若△AMN

为锐角三角形，

AM =AN =3, 且AB =6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

l 2

B

l 1

例9．已知圆C ：(x +1)2

+y 2

=25内一点A （1，0）Q 点为圆C 上任意一点，

线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程。

五、参数法 若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．

例10．设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．

六、交轨法 如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程。“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

例13．已知两点P (-2, 2), Q (0, 2) 以及一条直线l ：y =x ，设长为2的线段AB 在（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且

OP 2OQ

=t t -1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹

是什么图形．

例11．给出定点A (a ,0)(a ＞0) 和直线l :x =-1,B 是直线l 上的动点, ∠BOA 的平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系

例12．已知点P 在直线x =2上移动，直线l 通过原点且和OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 相交于Q ，求点Q 的轨迹方程。

直线λ上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．

例14．设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p >0) 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB 、OM ⊥AB ，求点M 的轨迹，并说明它表示什么曲线。

例15．已知点O 、点B 为二定点，OB =1, 点P 是线段OB 上一点，分别以OP 、OB 为斜边在线段OB 的同一侧作等腰三角形OCP 和ODB 。设PD 、BC 相交于点Q ，当P 在线段OB 上移动时求点Q 的轨迹方程。