椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳

考点一 椭圆的定义

椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F 1, F 2的距离的和等于常数2a (2a >F 1. F 2) 的点的轨迹叫做椭圆.

这两定点F 1, F 2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

c

(0

M 的轨迹叫做椭圆. 这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.

注意：当平面内与两个定点F 1, F 2距离的和等于常数2a (2a =F 1F 2; 1. F 2) 的点的轨迹是线段F

当平面内与两个定点F 1, F 2距离的和等于常数2a (2a

考点二 椭圆的标准方程

一 标准方程

x 2y 2

1焦点在x 轴上 2+2=1（其中b 2=a 2-c 2, a >b >0). 焦点的坐标分别为(-c ,0),(c ,0)

a b y 2x 2222

2焦点在y 轴上 2+2=1（其中b =a -c , a >b >0). 焦点的坐标分别为(0,-c ),(0,c )

a b x 2y 2

+=1的焦点坐标 3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求79

4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为mx +ny =1（其中m >0, n >0）

2

2

例

已知椭圆过两点A

-1), B (-，求椭圆标准方程 42

y 2x 2x 2y 2

5 与2+2=1（a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为2+2=1

a b a +k b +k 6、椭圆的参数方程：

⎧x =a cos θx 2y 2

（1）、椭圆2+2=1参数方程 ⎨ （θ为参数）；（2）椭圆上的点的坐标可记（a cos θ,bsin θ）

y =b sin θa b ⎩

x 2y 2 =0的距离的最小值为___________ +=1上的点到直线l :x +y -9 例 椭圆

169

二 重难点问题探析: 1. 要有用定义的意识

x 2y 2

+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点若F 2A +F 2B =12 例 已知F 1, F 2为椭圆

2591x 2y 2

+=1的离心率为，m = 。 则AB =________。2. 标准方程要注意焦点的定位 例椭圆

24m

练习.1如果方程x 2+ky 2=k 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为x 2y 2

2点P 在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P 的横坐标

259

x 2y 2

+=1的长轴位于轴，短轴长等于；焦点在, 焦1. 椭圆43

点坐标分别是 和 ；离心率e = ；左顶点坐标是 ; 下顶点坐标是 ；椭圆上点的横坐标的范围 是 ，纵坐标的范围是 ；x 0+y 0的取值范围是。

2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍, 则椭圆的离心率 （2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍, 则椭圆的离心率e ∈

（3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形, 则椭圆的离心率e = 。

考点四 点、线与椭圆的位置关系

x 2y 2

一 点p (x 0, y 0) 和椭圆2+2=1(a >b >0) 的位置关系

a b x 02y 02

（1）点p (x 0, y 0) 在椭圆外⇔2+2>1

a b x 02y 02

（3）点p (x 0, y 0) 在椭圆内⇔2+2

a b

二. 直线与椭圆的位置关系：

1 判断 直线与椭圆相交⇔∆>0; 直线与椭圆相切⇔∆=0; 直线与椭圆相离⇔∆

（1）步骤：由椭圆方程与直线l 方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积 （2）弦长公式 直线y ＝kx ＋b(k≠0) 与椭圆相交于A(x 1，y 1) ，B(x 2，y 2) 两点，则

222

①当直线的斜率存在时，弦长公式： l =+k x 1-x 2=(1+k ) ⋅(x 1+x 2) -4x 1x 2

x 02y 02

（2）点p (x 0, y 0) 在椭圆上⇔2+2=1

a b

②当k 存在且不为零时l =+三 常用方法

112

y -y =1+(y +y ) -4y 1y 2。 121222

k k

x 2y 2

+=1的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B ； 1设而不求法 例 经过椭圆43

（I ）求线段AB 的中点的坐标；（II ）求线段AB 的长

2 点差法 例 求椭圆x +2y =1中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.

x 2y 2

【小结】设A (x 1, y 2) ，B (x 2, y 2) 是椭圆2+2=1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0, y 0) 为

a b

2

2

AB 的中点，则两式相减可得

y 1-y 2y 1+y 2b 2

⋅=-2即 ． x 1-x 2x 1+x 2a

x 2y 2

3．中点弦问题：例 若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为

369

4. 综合应用 例1 已知椭圆

x 2a 2

t) (t >0)，过点A(－a, 0) 且以+y 2＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1,

为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．

(1) 求t 表示△ABC的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C 满足条件：△ABC的周长为2＋2. 记

动点C 的轨迹为曲线W. (1)求W 的方程；(2)经过点（2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范 （3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP +OQ 与MN 共线？如

果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.

1

2

x 2y 2

+=1的左、右焦点. 练习：设F 1、F 2分别是椭圆54

（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1⋅PF 2的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C |=|F 2D |？若存在，求直线

l 的方程；若不存在，请说明理由.

考点五 焦点三角形的性质及应用

一 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

设P(x 0, y 0) 为椭圆上一点，|PF1|＝r 1，|PF2|＝r 2，∠F1PF 2＝θ)

1方法 (1) 定义：r ＋r 2＝2a (2) 余弦定理：(2c ) 2=r 12＋r 22－2rr 112cos θ

(3) 面积S ∆pF 1F 2=

11

r 1r 2sin θ=2c y 0 22

x 2y 2

2 性质 已知椭圆方程为2+2=1(a >b >0), 左右两焦点分别为F 1, F 2, 在焦点△PF 1F 2中，则

a b

⑴S ∆F 1PF 2=b tan

2

θ

2

⑵若∠F 1PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点 ⑶cos θ≥1-2e .

2

x 2y 20

例 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的两焦点分别为F 1, F 2, 若椭圆上存在一点P , 使得∠F 1PF 2=120,

a b

求椭圆的离心率e 的取值范围。

练习 已知椭圆的焦点是F 1 (－1，0) 、F 2 (1，0) ，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的

等差中项 ⑴求椭圆的方程； (2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°求tan F 2PF ．

考点六 椭圆标准方程的求法

一 常用方法： 1定义法，

2待定系数法 步骤 ①定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点位置设出相应方程；

③定值：根据题目条件确定相关的系数。

3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为mx 2+ny 2=1(m＞0，n ＞0) ，

二 应用示例 1．定义法

0) (30) ，AB 边上的中线CE 与AC 边上的中线BF 例1 已知△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为(-3，，，交于点G ，且GF +GE =5，求点G 的轨迹方程．

10的点的轨迹方程． 例2求到两定点F 1(-3,0), F 2(3,0)的距离和等于

练习1已知B,C 是两个定点BC 长等于8，且△ABC 的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程

2已知△ABC 三边AB,BC,CA 的长成等差数列，且AB 长大于CA 长，点B,C 的坐标为（-2，0），（2，0），求顶 点A 的轨迹方程，并说明它是什么曲线

x 2y 2

=1(a >5) 的两个焦点为F 1, F 2, ︳且F 1F 2=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2 的周长3 已知椭圆2+

a 25

4 椭圆的两个焦点是(-, 0), (6, 0) ，过点(, 1），求椭圆的方程。

2待定系数法 例

已知椭圆的焦距离为

，求焦点在x 轴上时的标准方程．

3．轨迹法

例△ABC 的顶点A,B 的坐标分别为（-4,0），（4,0）边AC,BC 所在直线的斜率之积等于-

迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；．

三 典型练习

练习1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(-

9

，求顶点C 的轨16

35, ) ； 22

（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A （-3

） 练习2. 已知点P(3, 4)是椭圆

x 2a 2

+y 2b 2

＝1 (a>b>0) 上的一点，F 1, F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求

(1) 椭圆的方程(2) △F 2PF 1的面积．

1x 2y 2

3根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆+=1共准线，且离心率为．(2) 已知P 点在以坐标轴

22420

为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

42和5，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 33

考点七 椭圆定义与性质的应用

一 定义的运用

二 椭圆的几何性质应用

x 2y 2

+=1，求（1）画出草图（2）焦点，焦距（3）顶点，长轴的长，短轴的长，1、基础知识 例 对椭圆

259

（4）离心率，（5）左右准线方程，（6）P 是椭圆上动点，则P 到左焦点的距离最值.

练习 求椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的2倍，经过点（4，0）（2）一个焦点为（2，0），经过点（-3，0）（3）一个焦点为(2,0)，一条准线方程为x =-4（4）长轴在x 轴上，一条准线方程是x =

3，离心率为

2离心率

方法：求椭圆离心率e 时，只要求出a , b , c 的一个齐次方程，再结合a =b +c 就可求得e(0

2

2

2

3

x 2y 21

例 若椭圆+=1的离心率是，则m 等于___

22m

x 2y 2

2 若A 、B 是椭圆2+2=1(a >b >0) 上的两个顶点，F 是右焦点，若AB ⊥BF ，求椭圆的离心率。

a b

x 2y 2

练习1 设已知椭圆2+2=1(a＞b ＞0) 的右焦点为F, 右准线为l . 若过F 且垂直于x 轴的弦长等于点F

a b

到l 的距离, 求此椭圆的离心率.

2已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率 3(全国卷Ⅲ) 设椭圆的两个焦点分别为F 1, F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____4 已知椭圆x +(m +3)y =m (m >

0)的离心率e =

2

2

m 的值

考点八 常用解题技巧

1取特殊位置

动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是椭圆问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置 例 若动点P 、Q 在椭圆9x 2+16y 2=144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于

2 运用焦半径公式

椭圆问题中常常涉及到椭圆上的点到焦点的距离，能灵活运用相应的焦半径公式 例 设A(x 1, y 1) 是椭圆x 2+2y 2=2上任意一点，过A 作一条斜率为－

距离，r 1, r 2分别为A 到两焦点的距离, 求r 1⋅r 2⋅d 的值.

3巧用平几知识

能根据其图形特征，巧用平面几何知识 (如中位线定理、角平分线定理、平行线分线段成比例定理等) ，

x 1

的直线l . 又设d 为原点到l 的2y 1

x 2y 2

+例椭圆=1焦点为F 、F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的多少倍. 123

4活用椭圆的参数方程

涉及到椭圆上的动点与相关定点（焦点、顶点、中心等）的距离问题时，选用椭圆的参数方程

x 2y 2

例 已知椭圆2+2=1(a＞b ＞0) 上一点P （异于短轴的端点），点P 与短轴的两个端点B 1、B 2的连线分别

a b

交x 轴于M 、N 。那么|OM|·|ON|是否为与点P 的位置无关的定值，并加以证明.

5 对称与变换的思想在椭圆中的应用

x 2y 2

+=1的焦点为焦点作椭圆．则点P 在何处时，例 在直线l ：x －y ＋9＝0上任取一点P ，过点P 以椭圆

123

所求椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程．

考点九 椭圆中的最值问题

常用的方法有以下几种：

（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； （3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；（4）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。 1 PA +

1

PF 的最值 e

5x 2y 2

+=1内有一点A （2，1）例已知椭圆，F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆上动点，求PA +PF 的最小值

32516

2 PA +PF 的最值

x 2y 2

+=1内有一点A （2，1）例 已知椭圆，F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求PA +PF 的最值 2516

3 PA +ed 的最值

3x 2y 2

l 为椭圆的左准线，A + +=1外一点A 例 已知椭圆（5，6），P 为椭圆上动点，点P 到的距离为d ，求P

52516

的最小值。

x 2y 2

+=1上任意一点，则点P 到直线x +y -7=0的距离最大值为 4 三角换元求最值：例已知点P 是椭圆

169

5函数的最值

例 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x

轴上，离心率e =

⎛3⎫

P 0, ⎪到这个椭圆上点的最远距离

2⎝2⎭

P

考点十 易错点

易错一：忽视椭圆定义

纠错训练1 平面内一点M 到两定点F 1 (0,－5) 、F 2 (0,5)的距离之和为10, 则M 点的轨迹为

易错二：忽视焦点的具体位置

纠错训练２ 椭圆经过点Ａ（－３，０），Ｂ（０，22），求椭圆的标准方程．

【小结】：若焦点位置不能确定，要写出焦点在x 轴、y 轴两种情况下的标准方程，不能遗漏．

易错三：忽视隐含条件

x 2y 2

+=1恒有公共点，求实数m 的取值范围． 纠错训练３若直线y =kx +1(k ∈R ) 与椭圆

5m

易错四：缺乏分类意识，以偏概全．

x 2y 2+=

1的离心率e =纠错训练４ 已知椭圆，求m 的值． 5m 【小结】在解椭圆的有关问题时，有时需要进行正确的分类讨论，如当字母的取值范围不能确定时，就需要

分类讨论． 易错五：忽视存在性．

纠错训练５ 已知椭圆3x +4y =12的两个焦点分别为F 1，F 2，试问在该椭圆上是否存在一点Ｐ使

2

2

PF 1⊥PF 2？若存在求三角形PF 1F 2的面积；若不存在，说明理由．