高一数学集合教案 1
第一节 集合的概念和表示
一、引入课题
思考1、新生入学,学校通知全体高一新生在体育馆举行开学典礼,思考通知的对象是什么?是全体高一新生还是个别的学生呢?
思考2、在这个教师里面有老师和学生,思考这里面的对象是什么?
思考3、你的家庭里的成员,这里面的对象是什么?
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(例如:例1中是高一而不是高二)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的总体。
小知识:研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论,它不仅是数学的一个基本分支,在数学中占据一个极其独特的地位,如果把数学比作一座宏伟大厦,那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔,他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
二、课程讲解
1、集合的概念
在小学和初中阶段我们接触过一些集合,例如,实数集(R ),那么究竟集合是什么样的概念呢?接下来我们开始讲解集合的概念。
思考下面两个例题:
例:自然数的集合 0,1,2,3,„„
例:2x-1>3,即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
上面的两个例题就是我们所要学习的集合,一般地,研究对象统称为元素(element ),我们通常用小写的拉丁字母a ,b ,c ,d ,„„表示,这些元素组成的总体叫集合(set ),也简称集,通常用大些的拉丁字母A ,B ,C ,D ,„„表示。
注:集合判定要注意判断集合要注意有三点:范围是否确定;元素是否明确;能不能指出它的属性。 例1:判断下列一组对象是否属于一个集合呢?在题目后面注明‘是’或者‘否’。
(1)小于10的质数
(2)中国的小河流
(3)‘maths ’中的字母
(4)所有的偶数
(5)满足3x-2>x+3的全体实数
2(6)方程x +x +1=0的实数解
2、元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A , 记作 a∈A ,
如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A , 记作 a∉A
例2、在下面的括号内填入‘∈’和‘∉’
(1) 集合A={1, 2,3, 4, 5},那么2( )A 。
(2) 集合B=所有小于10的偶数,那么5( )B。
(3) {}集合C={世界四大洋},那么印度洋( )C 。
3、集合中元素的三个特性
1. 元素的确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素,
2. 元素的互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。比如:book 中的字母构成的集合,
3. 元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。例如:集合
4、数的集简称数集,下面介绍一些常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
有理数集Q
正整数集 N*或 N+
实数集R
整数集Z
5、集合的分类
分类原则:集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素,如A={-2,3}
②无限集 含无限个元素,如自然数集N ,有理数
③空 集 不含任何元素,如方程x +1=0实数解集。专用标记:Φ 2 {1, 2,3, 4, 5}和集合{5,4,3,2,1}是相同的集合。
6、集合常用的表示方法
①列举法——把集合的元素一一列举出来写在大括号内的方法,例如方程(x +1)(x -1) =0的解集可以表示为{-1, 1}。
例:“中国的直辖市”构成的集合,写成{北京, 天津, 上海, 重庆}
由“maths 中的字母” 构成的集合,写成{m,a,t,h,s}
由“book 中的字母” 构成的集合,写成{b,o,k}
注:
(1) 有些集合亦可如下表示:从51到100的所有整数组成的集合:
{51,52,53,„,100}所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,„}
(2) a与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。
比如:∅与 {∅}不同,∅∈{∅}
(3) 集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
2、描述法--用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式:{x∈A| P(x )}
含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合。
例:不等式x +1
“中国的直辖市”构成的集合,写成{x x 为中国的直辖市};
“maths 中的字母” 构成的集合,写成{x x 为maths 中的字母};
“平面直角坐标系中第二象限的点”{(x,y )| x0}
“方程x +5x-6=0的实数解” {x∈R| x+5x-6=0}={-6,1}
注:(1)写清楚该集合代表的元素符号,如,集合{x |x
(2)集合与它的代表元素所采用的字母符号没有关系,只能与代表元素的形式有关,如{x ∈R /x
(3)所描述的所有内容都要写在大括号内,如集合{x ∈Z /x =2k . k ∈Z }不能写成{x ∈Z /x =2k }. k ∈Z 。
(4)集合{x ∈R /x
{x /x
三、课堂练习
1.下列各组对象能确定一个集合吗?
(1(2(3)中国的著名科学家.
(4)1,2,3,4,5,6
2、用‘∈’和‘∉’填空
(1)0 N;(2
;(3)-1.5 R
a
a +b
b 3.设a,b 是非零实数,那么
4.由实数x, -x, |x |, x 2, -x 3所组成的集合,最多含( (A )2个元素 (B )3个元素 (C )4个元素 (D )5个元素
5.下列结论不正确的是( )
A.O ∈N B. 2∉Q C.O∉Q D.-1∈Z
26.下列结论中,不正确的是( ) A. 若a ∈N ,则-a ∉N B.若a ∈Z ,则a ∈Z
C. 若a ∈Q ,则|a |∈Q D.若a ∈R ,则a ∈R
7. 用列举法表示下列给定的集合:
⑴大于1且小于6的整数 ⑵A={x (x -1)(x +2) =0} ⑶B= {x ∈Z -3
8.试选择适当的方法表示下列集合:
⑴.不等式3x ≥4-2x 的解集 ⑵.绝对值不大于3的整数的集合
⑶.所有偶数的集合 ⑷.一次函数y=x+6图象上所有点的集合
四、作业
1. 集合元素的三个性质:_________、_________、________.
2. 用符号“∈”或“∉”填空
-3_N ;π_Q ;14_Q ;13_Z ;-1
2_R ;0_N
Q ;π_R.
3. 下列条件中能构成集合的是 .
A. 世界著名的数学家; B. 在数轴上与原点非常近的点;
C. 所有的等腰三角形; D. 全年级成绩优异的同学;
E.2009年全国经济百强县;
4. 给出下列关系: ①12∈
R Q ;③-3∉
N *;④N . 其中正确的个数为 ( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 下列正确的是 ( )
A. 0∈N * B. π∉R C. 1∉Q D. 0∈Z
6. 集合A 只含有元素a , 则下列格式正确的是 ( )
A. 0∈A B. a ∉A C. a ∈A D. a =A
7. 下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( )
A. {x | x =1} B. {x | x 2=1} C. {1} D. {x| (x-1) 2=0}
8.用合适的方法表示下列集合:
(1) A={(x , y )x +y =6, x ∈N *, y ∈N *}, 用列举法表示(2) m =a
a +b
b (ab ≠0) ,则由数m 组成的集合为.
(3) 二次函数y =2x 2+x -3图像上所有点组成的集合:______________.
(4) 坐标平面内, 两坐标轴上的点的集合:_______________________
9. 集合⎨⎧6
⎩x ∈Z y =x +1, y ∈Z ⎫⎬中的元素有 .
⎭
10.求数集{1,x ,x 2}中的元素x 应满足的条件
11. 已知集合M={0, 2, 4}, 定义集合P={x | x =ab , a ∈M, b ∈M}, 求集合P.
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