解三角形即正弦定理和余弦定理的运用

正弦定理和余弦定理

1．正弦定理和余弦定理

2. 三角形常用面积公式

1

(1)S＝a ²h a (ha 表示边a 上的高) ；

2

1

(2)S＝absin C＝___________＝___________．

21

(3)S＝r(a＋b ＋c)(r为内切圆半径) ．

2

1．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A＜cos B”的什么条件？

a b

【提示】 在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，∴A

2R 2R

＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件， 易知A ＞B 是cos A ＜cos B 的充要条件．

2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A 为锐角、直角、钝角？ 【提示】 应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A 为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A 为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A 为钝角．

1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c. 若a ＝c ＝62，且A ＝75°，则b ＝( )

A ．2 B ．4＋23 C ．4－3 6－2

2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B＝( )

622622

A. B.．－ D．－3333

3．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )

3A ．43 B．23 C.3 D.2

4．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，

则△ABC

的面积为________

．

△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin

B ＋b cos 2A ＝2a .

b

(1)求

a

(2)若c 2＝b 23a 2，求B .

【思路点拨】 (1)在已知等式中，利用正弦定理消去sin B，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B，进而求出角B.

1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理． 2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且bsin A＝3acos B. (1)求角B 的大小；

(2)若b ＝3，sin C＝2sin A，求a ，c 的值．

已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向

A 7

量m ＝(4，－1) ，n ＝(coscos 2A)，且m ²n ＝.

22

2

(1)求角A 的大小；

(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．

【审题视点】 (1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cos A 的方程求解；

(2)利用余弦定理建立关于b 、c 的方程，结合b ＋c ＝3求解．

判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A 的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状．

2asin A ＝(2b

已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C

3asin C－b －c ＝0. (1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.

【思路点拨】 (1)根据正弦定理边化角，把B 用A 、C 表示，借助三角变换求A 的值；

(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b 、c 的方程组求解．

1．本例(1)中，利用sin B＝sin(A＋C) 进行转化是解题的关键．本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口．

2．选择使用余弦定理和面积公式时，一般选择角确定的一组．

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，sin B 5cos C .

(1)求tan C 的值；

(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．

. 已知cos A ＝2

3，

c

已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．

判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦) 定理实施边、角转换．

从近两年的高考试题看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，常与三角函数，三角恒等变换等交汇命题，题型多样，属中、低档题目．

规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的应用

设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，

且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C. (1)求角A 的大小；

(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．

易错提示：(1)逆用公式意识不强，无法求得cos A.

(2)应用余弦定理时，不会选择公式无法得到a ，b ，c 之间的关系． 防范措施：(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础，平时应加强训练，增强逆用公式的意识．

(2)应用余弦定理时，一般选择角度已知的那一组公式．

1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c. 已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C＝( )

77724A. B ．－ C ．± D. 25252525

12．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B，则b ＝________． 4