福州铜盘中学初高中衔接数学校本学案

福州铜盘中学初高中衔接

数学校本学案

目录

第01课时 乘法公式、因式分解…………….. …………2

第02课时 绝对值……………………………………. …5

第03课时 分式、根式……………………….. …………7

第04课时一元二次方程根与系数的关系………………11

第05课时 二次函数的图象与性质 ……………………15

第06课时 二次函数的解析式 ……………….. ………22

初高中衔接内容（1）----乘法公式、因式分解

一、引入新课

1、乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式 ⑵完全平方公式

(a +b )(a -b ) =a 2-b 2； (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；

(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ；

3

3

2

2

3

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： ⑴立方和公式 ⑵立方差公式 ⑶三数和平方公式

⑷两数和完全立方公式 (a +b ) =a +3a b +3ab +b ； ⑸两数差完全立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3 2、因式分解 ⑴分组分解法 二、例题精讲 例1：计算：

⑴、(7+x )(49-7x +x )

2

⑵求根法 ⑶十字相乘法

⑵、(y -3)(y +3y +9)

2

a 2+b 2

-ab 的值。 例2：⑴、已知a (a -2) -(a -2b ) =-4，求代数式

2

2

例3：因式分解： ⑴、a -ab +ac -bc

⑷、x 2-4xy -4y 2

例4：因式分解：

2

⑴、2x -7x +3

2

⑵、6x -7x -5

2

⑵、x 2-y 2+ax +ay

⑶、x +2x -1

2

⑸、x -5x +6

2

⑹、x +4x -12

2

⑶、5x +6xy -8y

22

2

*例5 （双十字相乘法）(1)x 2因式分解：+2xy -8y +2x +14y -3

(2)x 2-3xy -10y 2+x +9y -2⑷、2x 2+xy -y 2-4x +5y -6

(3)4x +2xy -2y +4x +7y -3

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 的因式分解．（求根法）

若关于x 的方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式

2

2

2

ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为a (x -x 1)(x -x 2) .

例6 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）x 2+2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2．

解： （1）令x 2+2x -1=0

，则解得x 1=-1

x 2=-1，

∴x 2+2x -

1=⎡x -(-1⎤⎡x -(-1⎤

⎣⎦⎣

=(x +1x +1．

⎦

（2）令x 2+4xy -4y 2=0

，则解得x 1=(-2+

y ，x 1=(-2-y ， ∴x 2+4xy -

4y 2=[x +2(1y ][x +2(1y ]．

三、练习作业 1、填空： ⑴、

121211

a -b =(b +a ) ) ； 9423

⑵、(4m + ) 2=16m 2+4m +() ； 2、若x +

2

1

mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ） 2

2

（A ）m （B ）

2

1211

m （C ）m 2 （D ）m 2 4316

2

3、不论a ，b 为何实数，a +b -2a -4b +8的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 4、

(1)、在∆A B C 中，已知三边a , b , c 满足a +b +c =ab +bc +ca ，试判断该三角形的形状。

222

(2)、已知x +y +z -2x +4y -6z +14=0，求x +y +z 的值。

2

2

2

33

(3)、已知a -b =3，求a -b -9ab 的值。

5、因式分解： ⑴、ab -ac +b -c

⑷、3m +4mm -n

2

2

⑵、4ab -3ac +8b -6c

⑶、4a +12ab +9b -25

22

⑸、x 2+6xy -91y 2

⑹、-x 2y +6xy -8y

初高中衔接内容(2) 绝对值

一、引入新课

初中学习了数的绝对值，例如：|3|=3, |0|=0, |-3|=3。

对于任意数a ，其绝对值呢？为此，我们先研究绝对值的几何意义。

a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。 由图可知：

当a >0时，点P 到原点的距离就是a ，所以|a |=a ； 当a =0时，点P 到原点的距离就是0，所以|a |=0； 当a

绝对值等于它的相反数的数是________。 ⎧a , a >0,

⎪

即：|a |=⎨0, a =0,

⎪-a , a

两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。 ⎩绝对值的性质：

⑴、|a |≥0 二、例题精讲

⑵、|ab |=|a |⋅|b |

⑶、|

a |a |

|=

b |b |

⑷、|a 2|=|a |2=a 2

例1：⑴、|x -2|=4，求x 。

⑵、|3-x |=x -3，求x 的取值范围。

例2：化简下列函数，并分别画出它们的图象： ⑴、y =|x |

例3：化简： ⑴、|2x -1|

⑵、y =-|2x -3|

⑵、|x -1|+|x -3|

⑶、|x －5|－|2x －13| （x ＞5）

三、课堂练习 1、填空：

⑴、若x =5，则x =_________；若x =-4，则x =_________。

⑵、如果a +b =5，且a =-1，则b ＝________；若-c =2，则c ＝________。 2、已知数轴上的三点A , B , C 分别表示有理数a , 1, -1，那么|a +1|表示( ) A 、A , B 两点的距离

B 、A , C 两点的距离

D 、A , C 两点到原点的距离之和

C 、A , B 两点到原点的距离之和

3、下列叙述正确的是 （ ）

A 、若a =b ，则a =b C 、若a

⑴、|2x -9|

⑵、-|4x +5|

⑶、|x -3|+|x +2|

B 、若a >b ，则a >b D 、若a =b ，则a =±b

初高中衔接内容(3) 分式、根式

1．分式的意义

A

形如的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称

B

列性质：

A A

为分式．当M ≠0时，分式具有下B B

A A ⨯M

=； B B ⨯M

A A ÷M =。上述性质被称为分式的基本性质。 B B ÷M

a 2．繁分式：像

c +d

例1：⑴、代数式

，

m +n +p

这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

2m n +p

111+

x +1

有意义，则x 需要满足的条件是_________。

a 2-3a 2 ⑵、化简：

a 2-5a a 2-11a +30

(3)、若f (x ) =

一般地，

a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

3a

2b ，

1-x 1

，求f (x ) +f () 的值。 1+x x

等是无理式，

而2+

x +

1，2

x 2+

y 2

3、分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式

，例如

与

，

与

，

与

，

等等．

一般地，

b

，与b 互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公

=

a ≥0, b ≥0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分

母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

例2：把下列各式分母有理化： ⑴、

例3：化简计算： ⑴、+

5+7

⑵、

4-9a 2+3a

12-3

⑵、

1a +b

-

1a -

例4：试比较下列各组数的大小：

⑴、-7, 7-6 ⑵、n +2-n +1, n +1-n

⎧a , a ≥0, 4、

a =⎨

-a , a

例6：化简：（1）9+4； （2

a ≥0) ；

x

1．填空题：对任意的正整数n ，

111

=(-) ；

n n +2n (n +2)

2．选择题：若

2x -y 2x

=，则＝（ ） x +y 3y

654

（C ） （D ）

545

（A ）１ （B ）

3、⑴、正数x , y 满足x 2-y 2=2xy ，求 ⑵ 计算

4、化简：⑴5+2

x -y

的值。 x +y

1111+++... +。 1⨯22⨯33⨯499⨯100

⑵3-22

⑶、

12-1

初高中衔接内容(4) 一元二次方程

1．根的判别式

2

一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的根的情况可以由b -4ac 来判定，我们把

2

b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) ，有

2

-b ±b 2-4ac ⑴、当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1, 2=；

2a

b

⑵、当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2a

⑶、当Δ＜0时，方程没有实数根。

；

例1：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），若方程有实数根，写出方程的实数根。

⑴ 、x 2－3x ＋3＝0；

2

(2)、x 2－ax ＋(a －1) ＝0；

例2：k 取何值时，方程x -(k -1) x +k +2=0有两个相等的实数根，并求出方程的这两个根。

2．根与系数的关系（韦达定理）：

2

如果ax +bx +c =0(a ≠0) 的两根分别是x 1, x 2，那么x 1+x 2=-

b c ，x 1⋅x 2=。 a a

2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x +px +q =0，若x 1, x 2是其两根，由韦达

2

2

2

定理可知x 1+x 2=-p ，x 1⋅x 2=q ，即p =-(x 1+x 2), q =x 1⋅x 2，所以，方程x +px +q =0可化为x -(x 1+x 2) x +x 1⋅x 2=0 ，由于x 1, x 2是一元二次方程x +px +q =0的两根，所以，x 1, x 2也是一元二次方程x -(x 1+x 2) x +x 1⋅x 2=0的两根。

以两个数x 1, x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x -(x 1+x 2) x +x 1⋅x 2=0。 例3：已知方程5x +kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

2

2

2

例4：求一个一元二次方程，使它的两根为-

例5：设x 1, x 2是方程2x -3x -7=0的两个根，求下列各式的值： ⑴ x 1+x 2 例6：

⑴、若关于x 的方程x -x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围。

⑵、若关于x 的方程x +x +a =0的一根大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围。

222

31

, 。 23

22

⑵、(x 1-3)(x 2-3)

课堂练习

2

2

1、选择题：

⑴方程x -+3k =0的根的情况是 （ ）

A 、有一个实数根 B 、有两个不相等的实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根

⑵若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1) x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围（ ）

11

B 、m ＞－ 4411

C 、m ＜，且m ≠0 D 、m ＞－，且m ≠0

44

A 、m ＜2、填空：

⑴、若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则

11

+＝。 x 1x 2

⑵ 以－3和1为根的一元二次方程是 。

3、

|b -1|=0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？

4、选择题：

⑴、已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 ⑵、下列四个说法：

①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； ③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为-

7

； 3

④方程3 x2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 ⑶、关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1 5、填空：

⑴、方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． ⑵、方程2x 2－x －4＝0的两根为α、β，则α2＋β2＝ ．

⑶、已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． 6、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数。

初高中衔接内容(5) 二次函数的图象与性质

问题1 函数y ＝ax 与y ＝x 的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x ，y ＝

2

2

2

2

2

12

x ，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图2

2

象与函数y ＝x 的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 与y ＝x 的图象之间所存在的关系．

先画出函数y ＝x ，y ＝2x 的图象． 先列表： 2

2

图2.2-1

到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝图象与函数y ＝x 的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝ax (a ≠0)的图象可以由y ＝x 的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax (a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h ) ＋k 与y ＝ax 的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1) ＋1与y ＝2x 的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1) ＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

12

x ，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数2

图2.2-2

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x ，y ＝－3(x －1) ＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝a (x ＋h ) ＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

2

2

b b b 2b 22

由于y ＝ax ＋bx ＋c ＝a (x ＋x ) ＋c ＝a (x ＋x ＋2) ＋c －

a a 4a 4a

2

2

b 2b 2-4ac

) + =a (x +， 2a 4a

所以，y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) 的图象可以看作是将函数y ＝ax 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

2

2

2

b 4ac -b 2

, ) ，对称（1）当a ＞0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为(-2a 4a

2

轴为直线x ＝－

b b b

；当x ＜-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大2a 2a 2a

b 4ac -b 2

而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝．

2a 4a

b 4ac -b 2

, ) ，（2）当a ＜0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为(-2a 4a

2

对称轴为直线x ＝－

b b b

；当x ＜-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的2a 2a 2a

b 4ac -b 2

增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝．

2a 4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y ＝－3x －6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随

2

图2.2－

x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x －6x ＋1＝－3(x ＋1) ＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4) ；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

2

2

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4)) ，与x 轴交于点

B (

33

,0) 和

C (-,0) ，33

与y 轴的交点为D (0，1) ，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120) ，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有

⎧70=130k +b ,

⎨

⎩50=150k +b ,

解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则

z ＝(－x +200)(x －120) ＝－x 2＋320x －24000

＝－(x －160) ＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600．

2

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数y ＝x ＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数

2

y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

b 2b 2

解法一：y ＝x ＋bx ＋c ＝(x +) +c -，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个

24

2

b b 222

单位，得到y =(x ++4) +c -+2的图像，也就是函数y ＝x 的图像，所以，

24

⎧b

--4=0, ⎪⎪2 ⎨ 解得b ＝－8，c ＝14． 2

⎪c -b +2=0, ⎪4⎩

解法二：把二次函数y ＝x ＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

2

2

2

函数y ＝x 的图像，等价于把二次函数y ＝x 的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x ＋bx ＋c 的图像．

2

2

由于把二次函数y ＝x 的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －

2

2

2

2

4) ＋2的图像，即为y ＝x －8x ＋14的图像，∴函数y ＝x －8x ＋14与函数y ＝x ＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例4 已知函数y ＝x ，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 的图象仅仅对应着一个点(－2，4) ，所以，函数的最大

2

2

值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a ；

（3）当0≤a ＜2时，由图2． 2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

2

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a ；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

2

③

①

②

图2.2－6

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习 1．填空题

（1）二次函数y ＝2x －mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2) ，则m ＝ ，n ＝ ． （2）已知二次函数y ＝x +(m －2) x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝

时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．

（3）函数y ＝－3(x ＋2) ＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标

为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 满足 时，y 随着x 的增大而减小．

2．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．

（1）y ＝x －2x －3； （2）y ＝1＋6 x－x ．

4．已知函数y ＝－x －2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：

（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．

2

2

2

222

一、基础题：

1、函数y =(2x -1) 2的顶点是 （ ）

A 、(1,0) B 、(－1,0) C 、(1,0) 2 D 、(－1,0) 2

22、若a >0，则函数y =2x +ax -5的图形的顶点在 （ ）

A 、第一象限 B 、第二象限

2 C 、第三象限 D 、第四象限 3、抛物线y =2x -4x +c 的顶点在x 轴上，则c 值为 （ ）

A 、0 B 、1

2 C 、2 D 、4 4、求二次函数y =2x -12x +17的图像的顶点坐标和对称轴方程。

二、提高题：

5、求把二次函数y =2x -4x +1的图象经过下列变换后得到的图象所对应的函数解析式：

⑴、向上平移3个单位，向左平移2个单位； ⑵、关于直线y =1。

6、求二次函数y =-3x -6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并指出当x 取何值时，22

y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。

初高中衔接(6) 二次函数的解析式

1．一般式：y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h ) ＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．

当抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有 2222

ax 2＋bx ＋c ＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，

22不难发现，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的

解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b －4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b －4ac 存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0) ，B (x 2，0) ，则x 1，x 2是方程ax ＋bx ＋c ＝0的两根，所以 [1**********]

x 1＋x 2＝

即 b c ，x 1x 2＝， a a b c ＝－(x 1＋x 2) ， ＝x 1x 2． a a

所以，y ＝ax ＋bx ＋c ＝a (x +2

22b c x +) a a = a[x －(x 1＋x 2) x ＋x 1x 2]

＝a (x －x 1) (x －x 2) ．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0) ，B (x 2，0) 两点，则其函数关系式可以2

表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y ＝x ＋1上，

所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为y =a (x -2) 2+1(a

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴-1=a (3-2) 2+1，解得a ＝－2．

∴二次函数的解析式为y =-2(x -2) 2+1，即y ＝－2x ＋8x －7． 2

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

展开，得 y ＝ax ＋2ax －3a ， 2

-12a 2-4a 2

=-4a ， 顶点的纵坐标为 4a

由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，

∴|－4a |＝2，即a ＝±1． 2

12313x +x -，或y ＝－x 2-x +． 2222所以，二次函数的表达式为y ＝

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0) ，或(1，0) ，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴对称轴为直线x ＝－1．

又顶点到x 轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1) ＋2，或y ＝a (x ＋1) －2，

由于函数图象过点(1，0) ，

∴0＝a (1＋1) ＋2，或0＝a (1＋1) －2．

∴a ＝－222211，或a ＝． 22

1122(x ＋1) ＋2，或y ＝(x ＋1) －2． 22所以，所求的二次函数为y ＝－

说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)．

2

由函数图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，可得

⎧-22=a -b +c , ⎪ ⎨-8=c ,

⎪8=4a +2b +c , ⎩

解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．

所以，所求的二次函数为y ＝－2x ＋12x －8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练习

1．填空：

（1）函数y ＝－x ＋x －1图象与x 轴的交点个数是

12 （2）函数y x ＋1) ＋2的顶点坐标是 2

（3）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0) 和(2，0) ，则该二次函数的解析式可设

为y ＝a (a ≠0) ．

（4）二次函数y ＝－x +23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．

2．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2) ，(0，－3) ，(－1，－6) ；

（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11) ；

222

（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0) 和(12，0) ，并与y 轴交于(0，－2) ．

课堂练习

一、基础题：

1、已知二次函数的图像与x 轴的两交点间的距离是8，且顶点为M (1, 5) ，则它的解析式是____________。

2、函数y =-(x -1) 2+4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位后的图象的解析式是_______________；

23、函数y =-2(x +3) -3的图象关于直线x =-1对称的图象对应的解析式为______________；

24、函数y =-2(x +3) -3的图象关于直线x =-1对称的图象对应的解析式为______________。

二、提高题：

25、已知二次函数y =ax +bx +c 的图像经过点(-1, -1) ，其对称轴为x =-2，且在x 轴上截得的线段长为22，求函数的解析式。

6、已知二次函数y =a (x -) +25的最大值为25，且方程a (x -) +25=0两根的立方和为19，求函数表达式。

122122

三、能力题：

7、已知二次函数y =x 2-mx +m -2。

⑴、试判断此函数的图像与x 轴有无交点，并说明理由； ⑵、当函数图像的顶点到x 轴的距离为

25时，求此函数的解析式。 16