(教材)数学思维训练二年级上

二

年 级

杭州文轩教育思维奥数班专用教材

目 录

第1讲 找规律填数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1

第2讲 趣味题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3

第3讲 找规律画图„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4

第4讲 巧填算式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6

第5讲 应用题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 8

第6讲 填图与拆数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 9

第7讲 画图凑数法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12

第8讲 猜猜凑凑„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14

第9讲 列表尝试法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16

第10讲 数数与计数（一）„„„„„„„„„„„„„„„„„18

第11讲 自然数串趣题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20

第12讲 数数与计数（二）„„„„„„„„„„„„„„„„„21

第13讲 数数与计数（三）„„„„„„„„„„„„„„„„„24

第14讲 数字游戏问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25

第15讲 逆序推理法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„27

终结性测试题一„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„29

终结性测试题二„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„31

第1讲 找规律填数

找规律填数时，要从具体题目出发，前后加以比较，仔细观察、分析：先看他们是从小到大排列的，还是从大到小排列的；再看他们每个数之间的变化规律；然后再按照不变的规律推断出所要填的数。

例题1：找出前面几个数的排列规律，并填出括号里的数。 (1) 1，7，13，19，( ), ( ), 37 (2) 18，16，14，12，( ), ( ), 6 (3) 50，55，60，65，( ), ( ), 80

分析与解答：

(1)通过观察比较，我们发现：这是一组从小到大排列的数，后面的一个数都比前面的一个数多6。根据这个规律，19+6=25，25+6=31，括号里应依次填入25，31。

(2)通过观察发现：这是一组从大到小排列的数，后面的一个数总比前面的一个数少2。根据这个规律，12-2=10，10-2=8，括号里应依次填入10，8。

(3)通过观察发现：这是一组从小到大排列的数，后面的一个数都比前面的一个数多5。根据这个规律65+5=70，70+5=75，括号里应依次填入70，75。

随堂练习一：

找出前面几个数的排列规律，并填出括号里的数。

1、90，80，70，( ), ( ), 40 2、29，26，23，( ), ( ), 14 3、5，9，13，( ), ( ), 25

例题2：先找出规律，再在“？”处填上合适的数。

9 8 4 5

5 3 1 6 5 8 3 ？

分析与解答：

通过对前面两个图形的观察与分析，可以发现：圆中的数字等于外边三个数字的和。根据这个规律，第三幅图中的“？”处应该填17，即4+5+8=17；第四幅图中的“？”处应该填6，即3+5+？=14，

？=14－3－5=6。

随堂练习二：

先找出规律，再在“？”处填上合适的数。

27 17 ？ 12

6 4 4 5 4 2 2 6

拓展训练

1、找出前面几个数的排列规律，并填出括号里的数。 (1) 1，1，2，3，5，8，( ) ，21， ( ) (2) 10，30，50， ( ), ( ), (3) 6，11，16，( ), ( ), 31

2、先找出规律，再在“？”处填上合适的数。

7 16 ？ 12

6 4 5 2 6

3、找出前面几个数的排列规律，并填出括号里的数。

(1) 2，9，16， ( ) ，30， ( ) (2) 1，2，4， ( ), 16

第2讲 趣味题

例1：有3只猫同时吃3只老鼠共需3分钟，那么100只猫同时吃100只老鼠，需

要多少分钟？

分析与解答：

如果你的回答是要用100分钟，那就错了。仔细读题，认真思考：3只猫同时吃3只老鼠共需3分钟，说明1只猫吃1只老鼠要用3分钟。现在有100只猫同时吃100只老鼠，说明也是1只猫也是吃一只老鼠。因此，100只猫同时吃100只老鼠，需要3分钟。

随堂练习一：

4个小朋友同吃4只梨，需要用4分钟吃完。那么12个小朋友同时吃12个梨，需要几分钟才能吃完？

例2：红红去北京参加竞赛，参加竞赛的同学为了欢迎她，每人都和她握了一次手，红红记得一共握了49次手。请问有多少名同学参加了这次竞赛？

分析与解答：

如果你的答案是49名，那就错了。红红一共握了49次手，说明她与49人一起参加竞赛，红红也参加了竞赛，所以一共有49+1=50（名）同学参加了这次竞赛。

随堂练习二：

宁宁参加旅游团，结束前他与所有的旅客单独进行合影，一共拍了33张照片。请问这个旅游团一共有多少名旅客？

拓展训练

1、如果每人的步行速度相同，3个人一起从学校走到公园需要2个小时，那么9个人一起从学校走到公园需要几小时?

2、一只蜗牛沿着9米高的竹竿往上爬 ，白天往上爬2米，夜晚又退回1米。请仔细想一想，这只蜗牛什么时候才能爬到竿顶

3、河里有一排鸭子，2只前面有2只，2只后面有2只，2只中间有2只，共有几只鸭子?

4、小象、小熊、小猪被困在一个孤岛上，为了能回到陆地，它们做了一只小木船。这只木船能载90千克的重量，而他们的体重分别是60千克、50千克、40千克。它们要怎样才能安全回到陆地？

5、小冬骑在牛背上赶甲、乙、丙、丁4头牛过河。甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6. 分钟，如果每次只能赶2头牛过河，那么小冬把这4头牛都赶到对岸，最少要用几分钟？

第3讲 找规律画图

这一讲要求孩子根据给出的图形的排列，寻找图形的变化规律，推算后面应该画

什么图形。观察思考时，需要兼顾图形的形状、颜色、数量等多个角度的变化，训练孩子的观察和分析能力，训练孩子思维的逻辑性和严密性。

例题1：仔细观察图形，第（4）幅图应怎样画？

解答：

讲解这一题时可以制作一个如图（1）的圆形纸片，这题的规律就是把这个圆形纸片[图（1）]，按顺时针方向每次旋转90度，依次可得图（2）、图（3）、图（4）、图（5）。第（4）幅图应该是：

随堂练习：第（4）幅图应怎样画？

例题2：根据下面一串黑白珠子的排列规律，看应该把哪些珠子涂黑？第30个珠

子是什么颜色？

分析解答：

这串珠子有两种颜色，黑白珠子相间排列。分开来看，黑珠子从1颗开始，珠子的颗数按从小到大的顺序依次排列，白珠子从5颗开始，珠子的颗数按从大到小的顺序依次排列，接下来的排列，如下图所示：

我们把每组黑珠子和紧接着后面的一组白珠子看作一大组，可以看出每大组都是黑珠子开头，白珠子结尾，每大组都是六颗珠子，第30颗珠子正好在第五组的最后一颗，是白珠子。

随堂练习：根据下面一串黑白珠子的排列规律，看应该把哪些珠子涂黑？

拓展训练

1、 ○○○○○ □ ○○○○ □ ○○○ □ ______________、_____________ 2、 △ □ △ □ □ △ □ □ □ _______________、_______________ 3、

4、第（4）幅图应怎样画？

5、根据下面一串黑白珠子的排列规律，看应该把哪些珠子涂黑？

第4讲 巧填算式

“合理分组，巧填算式”是一种有趣的数学问题，要求小朋友们在加减运算的基础上，把所给的几个数进行合理分组，填入列好的算式中，使等式成立。小朋友们一定要善于观察，分析所给的数，找出其中的规律，大胆地进行尝试。

例题1

把1、2、3、4这四个数分别填入□；（每个数只用一次）使等式成立。 □+□=□+□

分析解答：把所给的数分成两组，使分得的两组数中的两数之和相等，从而组成

等式。

把1、2、3、4四个数分成两组：即1，4；2，3

可这样填：

或

随堂练习：

把4、5、6、7四个数分别填入□，（每个数只用一次），使等式成

立。

□+□=□+□

例题2 5、6、7、8四个数填入□，（每个数只用一次）使等式成立。 □-□=□-□

分析解答：（1）把5、6、7、8四个数分成这样的两组第一组：6，5；第二组：8，7

每组中相差1

（2）还可这样分组。第一组：7，5；第二组：

8，6；每组数中相差2，可组成这样

随堂练习：

把下列四组数分别填入□，（每个数只用一次），使等式成立。 （1）3，4，5，6 （2）4，5，6，7 □－□＝□－□ □－□＝□－□

拓展训练

1、把3、4、5、6四个数分别填入□，（每个数只用一次）使等式成立。。

□＋□－□＝□ □＋□－□＝□ □＋□－□＝□ □＋□－□＝□

2、把3、5、7、9四个数分别填入□，（每个数只用一次）使等式成立。

□＋□－□＝□ □＋□－□＝□

□＋□－□＝□ □＋□－□＝□

3、把3、5、7、9四个数分别填入□，（每个数只用一次）使等式成立。 □+□=□+□

4、（1）1，3，5，7 （2）7，8，9，10 □－□＝□－□ □－□＝□－□

5、把2、3、4、5四个数分别填入□，（每个数只能用一次）使等式成立。

□＋□－□＝□

第5讲 应用题

用数学方法解决人们在生活和工作中的实际问题，就产生了应用题，解应用题时，一要认真读题，弄清题意，找准已知条件和问题；二要找出它们之间的关系，然后寻求解法。

学生初步掌握解答比较容易的两步应用题的方法，就为进一步学习解答稍复杂的应用题打下较好的基础。

例题1：

商店原来有25筐桔子，卖出18筐后，又运进40筐，这时商店有桔子多少筐? 分析解答：

解法一：先求出卖出18筐后还剩多少筐？再求出又运来40筐，这时商店有桔子多少筐。25-18+40=47（筐）

解法二：现在有25筐又运来18筐。现在的又卖出18筐，求还剩多少筐？ 25+40-18=47（筐）

随堂练习：

商店上周运进童车50辆，这周又运进48辆，卖出17辆．现在商店有多少辆童车?

例题2

校园里有8排松树，每排7棵。37棵松树已经浇了水，还有多少棵没浇水? 分析解答：

先求出共有多少棵松树？再减去已经浇了水的，就求出还有多少棵没浇。 8×7-37=19（棵）

随堂练习：

商店有7盒钢笔，每盒8支，卖了28支，还剩多少支？

拓展训练

1、 (1)学校买来54盒粉笔，用去34盒，还剩多少盒?(2)学校买来了30盒白粉笔，24盒彩色粉笔，用去34盒，还剩多少盒?

2、水果店运来一批苹果，上午卖出16筐，下午卖出18筐，还剩12筐．运来多少筐?

3、果园里有4行苹果树，每行8棵，还有12棵梨树，一共有多少棵果树?

4、一辆公共汽车上原有乘客23人，在第一站下去8人，上来1人，现在车上有多少人？

5、水果店运进75箱苹果，第一天卖出去24箱，第二天卖出去18筐，水果店还有多少筐苹果？

6、二年级一班原有女生28人，男生20人，新学年开始了，又转来9名同学。现在二年级一班共有多少人？

第6讲 填数与拆数

填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则填进各类图形. 这不仅可以提高运算能力，而且更能促使你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地发展.

例1： 请你把1、2、3这三个数填在图9.1中的方格中，使每行、每列和每条对角线

上的三个数字之和都相等.

分析解答：

这样想，如果每行的三个数分别是1、2、3，每列的三个数也分别是1、2、3，那么自然满足每行、每列的三个数之和相等这个条件的要求. 试着填填看. 有图9—2、图9—3和图9—4三种不同的填法，检查一下，只有图9—4的填法，满足对角线上的三个数之和与每行、每列三数之和相等这个条件的要求。

图9-2 图9-3 图9-4 （不符合要求） （不符合要求）

随堂练习：

如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填？

例2： 请把1～9九个数字填入图9—5中，要求每行、每列和每条对角线上三个

数的和都要等于15.

图9-5

分析解答：

从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10. 所以5应当填在中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中. 上面图9—6就是一个符合要求的解答，把5填在中心空格后，尝试几次是不难得出这种答案的。

随堂练习：

如右图所示。把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件：

（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；

（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9； （3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。

拓展训练

1．如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。

2．如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。

3．如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上3个圈中的数相加都是10。

4．如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆圈，使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和①都等于15，②都等于16。

5．如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都等于10。

6．如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都是15。

第7讲 画图凑数法

例1 一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡

和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？

分析与解答：

这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图15－1（1）、（2）、（3）． ①先画10个头：

②每个头下画上两条腿：

数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．

③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．

每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔．这样 就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．

随堂练习：

一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？

例2: 一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三

轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？

分析与解答：

发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图15－2（1）、（2）、（3）． ①先画10个车身：

②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：

③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．

最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．

注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．

随堂练习：

笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？

拓展训练

1、 今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？

2、一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？

3、笼中有兔又有鸡，数数腿28，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？

4、商店有两种包装的蛋糕，妈妈买了8盒，聪聪数了数，正好60块，圆盒子和方 盒子的各有几盒？

5、有五元的和十元的两种车票，共10张，总钱数是七十五元．问每种各几张？

第8讲 猜猜凑凑

有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来．

数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的。猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验。

例1 ：

分析与解答：

猜——由△+□=3可猜△=1，□=2； 又由△+○=4可猜△=1，○=3； 检验：□+○=2+3=5，对了！ 所以△=1，□=2，○=3． 随堂练习一：

林林心里想到3个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大一。请猜出林林心中想的这三个数各是几？

例2 ：一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨. 问几个老人几个梨？

分析与解答：

猜——可以先从小数猜起，2个老人3个梨。检验：2个老人3个梨符合一人一个梨多一梨的条件，但是不是符合另一个条件呢？

先看：若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假设3个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条件．

再猜：若是3个老人4个梨呢？显然这符合第一个条件．再看第二个条件是不是也符合呢？若是一个老人分2个梨，3个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，这样就少6-4=2个梨，对了！

所以最后答案就是3个老人4个梨．

随堂练习二：

一群老人去赶集，买了一大堆梨，一人一梨多一梨，一人两梨少三梨，问几个老头几个梨？

拓展训练

1、算式里的小动物各代表什么数？在这里我们规定：相同的动物代表相同的数字，不同的动物代表不同的数字。

公鸡+鸭子=5 鸭子+母鸡=8 母鸡+公鸡=7

2、游泳池中男孩带蓝帽，女孩带红帽。一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍。”你知道游泳池中有几个男孩，几个女孩吗？

3、如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶，如果在每页贴2片树叶，就会空出6页。问这个小本子共多少页，树叶有多少片？

4、小虎是趣味数学小组的成员，有人问小虎今年几岁，他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷，爸爸和我，三个人的年龄和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸的年龄之和刚好比我大100岁，你猜我今年几岁？”请猜出小虎，爸爸和爷爷各是多少岁？

5、如图所示的方格中，已填好了数字5，请把其余的空格填好。使每行每列的三个数之和都是7。（空格中只能填自然数）

第一行 第二行 第三行

6 、有21个装铅笔的盒子，其中7盒是满的，7盒是半满的，7盒是空的。现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学生，使得每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？

提示：①总数是21个盒，每人应当平分7个盒。

②7盒满的等于14盒半满的铅笔，再加本来就是半满的7盒，合计共有21

个半满盒铅笔，平均分给三人，每人分得的铅笔应折合成7个半满盒。

第9讲 列表尝试法

对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试。

例1：老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32岁，老大的岁数比老二大3岁，而且老大的岁数是老三的2倍，问兄弟三人各几岁？ 分析与解答：

进行列表尝试：如果老三5岁，按题意可推算出老大5×2=10岁，老二10-3=7岁„„

由表可知，老大14岁，老二11岁，老三7岁。 随堂练习一：

甲乙二人岁数之和是99岁，甲比乙大9岁，而且甲的岁数的两个数字互相交换位置后恰是乙的岁数，问甲乙各多少岁？

例2： 一次数学测验共10题，小明都做完了，但只得到29分．因为按规定做对一题得5分，做错一题扣掉2分．你知道小明做错了几道题吗？

分析与解答：

列表尝试，见表十四（2）：

表十四(2)

由表中可见，小明做错了三道题．

随堂练习二：

240元钱平均分给若干人．正在分时，有一个人离开了，因而现在每人多分了1元．问

现在有多少人？

拓展训练

1、如果小方给小明一个玻璃球，两人的玻璃球数相等；如果小明给小方一个玻璃球，则小方的玻璃球数就是小明的两倍．问小明、小方原来各有几个玻璃球？

2、某学校的学生去郊游，中午开饭时，两个学生合用1只饭碗，三个学生合用1只菜碗，四个学生合用1只汤碗，共用了65只碗，问共有多少学生

3、120元钱平均分给若干人．正在分时，有一个人离开了，因而现在每人多分了1元．问现在有多少人？

4、老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是64岁，老大的岁数比老二大6岁，而且老大的岁数是老三的4倍，问兄弟三人各几岁？

5、一次数学测验共20题，小明都做完了，但只得到50分．因为按规定做对一题得5分，做错一题扣掉2分．你知道小明做错了几道题吗？

第10讲 数数与计数（一）

数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如果重复了，要减掉。

例1 45个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第19个；从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人？

分析与解答： 共有45个小朋友，小刚是第19个，那么小刚后面还有45－19=26（人）。从排尾往前数，小莉是第12个，用小刚后面的人数减去12，就可以算出小刚和小莉中间有几个人26－12=14（人）

随堂练习一：

一列车队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是第9辆，从后面数它是第15辆，问一共有多少辆小轿车？

例2 一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？

分析与解答：

画图如下：

由图可见，做花的人：55-3=52（人）。图中阴影部分表示两色花都做的人：

38+39-52=25（人）。

随堂练习二：

一个小组的小学生共有5人，已知他们都做了语文作业或数学作业。又知做完语文作业的有3人，做完数学作业的有4人。问语文和数学作业都做完的有几人？

拓展训练

1、 同学们排成一队，在小进的前面有12人，后面有23人，问这队共有多少人？

2、24辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆？

3、某班有学生45人，订阅《中国少年报》的有29人，订阅《小朋友》的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？

4、一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？

5、在100名学生中统计，有65人会骑自行车，有73人会游泳，有10人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车又会游泳的人有多少？

第11讲 自然数串趣题

[例1]

从1连续地写到100，“0”出现了多少次？

分析与解答：

“0”出现了11次。因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。数一数，这些自然数中共有11个“0”。

随堂练习一：

小明从1写到100，他共写了多少个数字“9”？

[例2]

把1，2，3，4，5„„28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？

分析与解答：

把这个数写出一部分来看看：[1**********]0„„282930 下面，分段计算这个数共包含有多少个数字： 1至9共有9个数字

10—19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是：9+20+20+2=51（个）

随堂练习二：

一个排版工人给一本1—502页的书排页码，如果书的页码的每一个数字都用不同的铅字块，问他一共用了多少铅字块？

拓展训练

1、用1—9这九个数编三个算式，一个加法，一个减法，一个乘法，每个数只许用一次。

2、用1—9这九个数字，写成三个三位数，使它们的和等于1989。

3、把1—16这十六人自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字的和都相等。请你继续把这个幻方完成。

4、小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？

第12讲 数数与计数（二）

本课采用枚举法解决数数与计数的问题。

[例1]

有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手？假设这群人是：

1、2个人 2、三个人 3、四个人 分析与解答：

画图。用点代表人。如果两人握一次手就在这两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。

1、两个人

两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。 2、三个人

三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。 3、四个人

四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。

随堂练习一：

在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？

[例2]

小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a b c 三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？

解：共有6种不同的走法。如下图

随堂练习二：

右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（不准故意绕道走）

解：小英由家到学校共有6种走法，见下图粗黑线所示。

拓展训练

1．有5名同学，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？

2．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？

3、如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A 点沿着棱爬向B 点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？

习题解答

1、解：画图。用点代表人，用两点之间的连线 代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就 是握手的总次数。数一数，共有10条连线，所以共 握手10次。

2．解：共赛15场。见下图。

①方法1：如右图所示这样数：

一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛5场；

二小再和三小、四小、五小、六小共赛4场；

（二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同） 三小再和四小、五小、六小共赛3场； 四小再和五小、六小共赛2场； 五小再和六小共赛1场。

比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。

②方法2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5场。因而六个学校所赛的场次是5×6=30场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实际赛的总场次数是30÷2=15（场）。

3．解：蚂蚁沿着棱由A 点爬到B 点有6种不同的走法，见下图粗黑线所示。

第13讲 数数与计数（三）

[例1]

把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ⑴ 如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？ ⑵ 如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？

分析与解答：

画出示意图

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ⑴ 同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ⑵ 同样道理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

随堂练习一：

一根木头锯成4段，要付锯工费1元。如果要把这根木头锯成13段，要付锯工费多少元？

[例2]

钟鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点打12下需要几秒钟？ 分析与解答：

画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。

由图可见：钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟，由此推理：钟打12下时有12－1=11个时间间隔，所以用11秒钟时间。

随堂练习二：

沿着跑道插着11面旗，旗与旗离得一样远。第一面旗插在起点。运动员从起点起跑经过6秒钟到达第6面旗，问运动员到达第11面旗时，需要跑11秒吗？

拓展训练

1、在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？

2、小明与爸爸一同上楼。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2层，爸爸上1层。问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？

3、沿着跑道插着11面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗插在起点。运动员从起点起跑经过6秒钟到达第6面旗，问运动员到达第11面旗时，需要跑11秒钟吗？

4、三点钟时，挂钟打响三下，用了12秒。到六点钟时，挂钟打响六下，要用几秒钟？

第14讲 数字游戏问题

数字游戏问题是数学游戏中的一类。它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号。解决这一类问题的关键是寻找规律，发现规律。

例1

用○，★，△代表三个数，有：○＋○＋○=15， ★＋★＋★=12 △＋△＋△=18 ○＋★＋△=（ ）？填出（ ）中的数。

分析与解答：

上面算式中的○、★、△分别代表三个数。根据三个相同加数的和分别是15、12、18，可知○=5，★=4，△=6，又5＋4＋6=15，所以（ ）内应填15.

随堂练习一：

△ 、○、★分别代表三个不等于0的 数字，并且△×★=○，△＋△＋△=○－△－△，那么★代表的数字是多少？

例2

把2、3、4、6、7、9分别填到下面六个圆圈中，使三个算式成立。

○＋○=10， ○－○=5 ，○＋○=8 分析与解答：

方法1：在2，3，4，6，7 ，9中相加等于8的只有2和6，先把2、6填在第三个算式中，剩下的就可填成3＋7=10，9－4=5。

方法2：在这六个数中9最大，而不能填在第一个或第三个算式中，所以把9填在第二个算式中作被减数，其余的就好填了。3＋7=10，9－4=5，2＋6=8。

随堂练习二：

把1～9九个数字填在○里吗（每个数字只能用一次），组成三道正确算式。 ○＋○=○，○－○=○，○×○=○。

拓展训练

1、把2、3、13、18分别填入下面○里，使等式成立。 ○－○=○＋○

2、△ 、○、★ 、□代表不同的数字，它们组成两个式子，请在（）内填上合适的数字。

△ ○

＋★ □ △＋○＋★＋□=（）

3、在右式空的格处填上合适的数使算式成立。 □ 1 + □ 9 □

□ □ 9 □ － □ □ □ □ 9

4、从左下角的4开始，依次在数字间填上“＋”或”－”, 使最后结果等于10。

第15讲 逆序推理法

逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。简单地说，就是调过头来往回想。

例1

小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西。他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩下3角钱。你知道妈妈给小勇多少钱吗？

分析与解答：

可以这样倒着想：小勇最后剩下3角钱，在买书之前的钱应是：3角+1元5角=1元8角。这个数目是他买玩具后剩下的，买玩具前的钱数应当是：1元8角×2=3元6角。这就是妈妈给他的钱数。

随堂练习一：

有一次小强去买玩具，他买了一架小飞机用去他带去的钱的一半；之后他又用2元钱买了一个小汽车，最后还剩下5角钱。问小强最初带了多少钱？

例2

1包糖，遇见好朋友A ，分给他一半；过一会又遇见好朋友B ，把剩下的糖

的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C ，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C ，这时他自己手里只有一块了。问在没有分给A 以前，小亮那包糖有几块？

小亮拿着

分析与解答：

采用逆推法——从最后结果往前倒着推算。小亮最后手里只剩下一块糖，这是分给C 一半后所剩的数，则知遇见C 之前小亮有糖：

1×2=2（块）。同理，遇到B 之前有糖：2×2=4（块）。 遇到A 之前有糖：4×2=8（块）。

即小亮未给小朋友前，那包糖应有8块。

随堂练习二：

农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又一个，第二次又卖掉剩下的一半又一个，这时篮中还剩1个。问原来篮中有蛋几个？

例3

文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少12本；这一周售出的本数比所剩的一半多12本；结果还有19本。问这批日记本有多少？

分析与解答：

由题意可见本周未售出时的一半是：19+12=31（本） 本周未售出时的总数是：31＋31=62（本）；

总数的一半是：62-12=50（本）；

总本数是：50＋50=100（本） 列出综合算式：（19+12）×2-12×2=100（本） 答：这批日记本共有100本。

随堂练习三：

现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗。问原来至少有多少颗棋子？

拓展训练

1、妈妈给小华买了一袋糖，小华决定把糖分给大家吃。第一个看见了妹妹，就把糖的一半分给了妹妹；第二个看见了哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时他自己还剩4块糖。请问，妈妈给小华的这袋糖共有多少块？

2、三棵树上共有麻雀60只，如果从第一棵树上飞4只到第二棵树上去，又从第二树上飞5、只到第三棵树上去，那么三棵树上的麻雀都是20只，问原来每棵树上各有几只？

3、甲、乙、丙三人共有750元钱，如果乙向甲借30元，又借给丙50元，结果三人所持有的钱相等。问甲、乙、丙三人原来各有多少钱？

4、小明有几本小人书已记不清楚了，只知道：小芳借走一半加一本；小容又借走剩下的书的一半加2本；再剩下的书，小军借走一半加三本，最后小明还有2本书。请问小明原来有几本小人书？

终结测试题（一）

一、 我与数字（10分）

1、在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，你最喜欢的数字是（ ）。 2、你今年（ ）岁，2008年，你就（ ）岁。

3、8的一半不是4，请你猜出两个数字，这两个数字是（ ）和（ ）。 二、 生活中的数学（10分）

1、 一个星期你在学校上学（ ）天，在家（ ）天。 2、 5只小鸟和4只小白兔共有（ ）只脚。

3、有12个小朋友一起玩“猫捉老鼠”的游戏，已经捉住了7人，还要捉（ ）人？ 4、 教室里的10盏日光灯都亮着，现在关掉2盏日光灯，教室里还剩几盏日光灯？ 三、趣味数学（40分）

1、已知△+=30，=△+△ △= =

2、 长方形有四个角，剪掉一个角，还剩（ ）个角，你能想出（ ）种情况。 3、+△＝26， △+△+＝65，△＝( ) ，＝( ) 。

4、节日里，学校门前的彩灯从左到右按2个红3个黄4个蓝的顺序排列。从左到右看，第12只彩灯是（ ）色，第36只彩灯是（ ）。

5、把一杯水倒入空瓶，连瓶共重140克，如果倒入三杯水，连瓶共重260克。空瓶的重量是（ ）克。

6、李奶奶家现有16个鸡蛋，还养了两只每天下一个蛋的母鸡。如果李奶奶家每天

○○ ○

○○○

都吃4个鸡蛋，她家可以连续吃（ ）天。

7、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5 厘米时要用（ ）天。

8、每3个空瓶可以换一瓶汽水，有人买了27瓶汽水，喝完后又用空瓶换汽水，那么，他最多喝（ ）瓶汽水。

9、小红做计算题时，由于粗心大意，把一个加数个位上的8错误地当作了3，把百位上的6错当成了9，所得的和是138，所得的和是438，正确的和是多少？（写过程）

10、小明做计算题时，把被减数个位上的3写成了5，十位上的6错写成了0，这样得差是189，正确的差是多少？（写出过程）

11、○+○+○=15，○+△+△=19，求△—○=（ ） 12、用两个5和两个0组成一个四位数，当零都不读出来时，这个数是（ ），当只读一个零时，这个数是（ ）。

四、解决问题（40分）

1、小红有一捆铅笔，她先给了弟弟一半又一只，又给了妹妹剩下的一半又一只，最后自己只剩下一只，小红原有铅笔___只。

2、小亮今年10岁，妈妈今年36岁，小亮25岁时妈妈比小亮大岁？

3、5个草莓的重量相当于一个杏的重量，3个杏的重量相当于一个桃的重量，( ) 个草莓的重量是一个桃的重量。

4、一班、二班共有图书100本，如果一班给二班15本两班图书就一样多了，一班原有图书 本，二班原有图书 本？

5、在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两人都相互握了一次手。问：他们共握了 次手？

6、钟鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12 点是打12下需要 秒钟？

7、桔子和苹果共有360个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子有个，苹果有 个？

8、用数字0，1，2，3，4中的任意三个数相加可以得到______个不同的和。

终结测试题（二）

一、填空。

1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（ ）

2、11+12+13+14+15+16+17+18+19=（ ） 3、按规律填数。

（1）1，3，5，7，9，（ ）； （2）1，2，3，5，8，13（ ）； （3）1，4，9，16，（ ），36 ；

（4）10，1，8，3，6，5，4，7，（ ）。

4、 在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 （1）8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 （2）4 4 4 4 4 =16

（3）9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 5、填一填：

（1）2，3，5，8，12，（ ），（ ） （2）1，3，7，15，（ ），63,( )

（3）1，5，2，10，3，15，4，（ ），( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？ （1）○+○+○=18

（2）△+○=14

（3）☆+☆+☆+☆=20

○=（ ） △=（ ） ☆=（ ） （4）△+○=9 △+△+○+○+○=25

△=（ ） ○=（ ）

二、趣味数学

1、1千克梨有8个，1千克苹果比1千克梨的个数多1个，妈妈买了2千克梨和2千克苹果，共有苹果和梨（ ）个。

2、一只蜗牛向前爬25厘米，又朝后退15厘米，在朝前爬10厘米，结果前进了（ ）厘米。

3、小明第一天写5个大字，以后每一天都比前一天多写2个大字，6天后小明一共写了（ ）个大字。

4、一辆公共汽车上有6个空座位。车开到团结站，没有人下车，但上来了9人，空座位还有2个，上车的人中有（ ）人站着。

5、两箱苹果都重40千克，从第一箱中拿出8千克到第二箱后，第二箱比第一箱多（ ）千克。

6、学校校门的右边插了8面彩旗，每两面彩旗之间的距离都是2米，从第1面彩旗到第8面彩旗之间共有（ ）米。

7、一个三位数，十位上的数字是9，正好是个位数字的3倍，三个数位之和是13。这个三位数是（ ）

8、冬冬今年10岁，爸爸今年40岁，冬冬（ ）岁时，爸爸的年龄正好是冬冬的2倍。

9、小明栽树5棵，大强、李卫、大华和冬冬每个人栽的棵数和小明同样多。他们一共栽树（ ）棵。

10、星期天，小刚在家烧水、泡茶。洗茶壶：1分钟，烧开水：15分钟，洗茶杯：1分钟，拿茶叶：2分钟。问：小刚最少要（ ）分钟泡上茶。

11、晚上小华在灯下做作业的时候，突然停电，小华去拉了两下开关。妈妈回来后，到小华房间又拉了三下开关。等来电后，小华房间的灯（ ）（填“亮”或“不亮”）

12、花果山上的桃熟了，小猴忙到树上摘桃。第一次，它摘了树上桃的一半，回家时还随手从树上摘了2个；第二次，它将树上剩下的8个桃全部摘回家。小猴共摘回（ ）个桃。

三、应用题：

1、有35颗糖，按淘气—笑笑—丁丁—冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？

2、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？

3、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？

4、30名学生报名参加美术小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？

30