3 二次函数与根的判别式.韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理
讲点1:公共点问题
【例1】如图,抛物线y =-x 2+4x -3的顶点为M ,直线y =-2x -9与y 轴交于点C ,与直线MO 交于点D ,现将抛物线的顶点在直线OD 上平移,平移后的抛物线与射线CD (含顶点C )只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
【练】如图,已知抛物线y =-x +2x +8与x 轴交于点A,B 两点,与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点,直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线,交直线CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF 总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
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讲点2:距离问题
【例2】如图,抛物线y =a(x-1) 2+4与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线的顶点,已知CD ,在抛物线上共有三个点到直线BC 的距离为m ,求m 的值.
,求a 的值.
讲点3:隐藏判别式
【例3】如图,点P 是直线l :y =-2x -2上的点,过点P 的另一条直线m 交抛物线y =x 2与A,B 两点,试证明:对于直线l 上任意给定的一点P ,在抛物线上都能找到点A ,使得PA =AB 成立.
【练】如图,已知二次函数y =a(x2-6x +8) (a >0)的图象与x 轴分别交于点A,B ,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线的顶点.当点P 在抛物线对称轴上时,设点P 的纵坐标t 是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a ,使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.
【例4】已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m 的图象与函数y =kx +1的图象交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点.
(1)如图1,当k =1,m 取不同值时,猜想AB 的长是否不变?并证明你的猜想;
(2)如图2,当m =0,k 取不同值时,猜想△AOB 的形状,并证明你的猜想.
【例5】如图,抛物线y =x 2-4x +5与y 轴交于点C ,过点N (1,2)作直线l ,交抛物线于点P ,交y 轴于点E ,连接PC ,若PE =PC ,求直线l 的解析式.
抛物线C 2,过点C 作直线l 交抛物线C 1于点M ,交抛物线C 2于点N ,若MN =,求直线l 的解析式.
三、对称问题
【例6】如图,已知抛物线y =x 2-2x -3,直线y =kx -1与抛物线交于P,Q 两点,且y 轴平分线段PQ ,求k 的值.
【练】如图,已知抛物线y =x 2-4x +3,过点D (0,-E ,且点M,N 关于点E 对称,求直线MN 的解析式.
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)的直线与抛物线交于点M,N ,与x 轴交于点2
【例7】如图,抛物线y =x 2-4x +5顶点为M ,平移直线y =x 交抛物线于点H,K ,若S △MHK =3,求平移
后直线的解析式.
1.如图,已知抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C ,将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点,求k 的取值范围.
2.如图,抛物线y =ax 2-6ax +5a 与x 轴交于A,B 两点(A 左,B 右),若抛物线不通过直线y =2x 上方的点,求抛物线顶点纵坐标的取值范围.
3.如图,抛物线y =
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x +x +2与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,将抛物42
线沿直线BC 平移,与射线AC (含点A )仅有一个公共点,求抛物线顶点横坐标的值或取值范围.
两点,与直线l 交于点P ,分别过A,B,P 作x 轴的垂线,垂足依次为A 1、B 1、P 1,若求u 的值.
11u +=,OA 1OB 1OP 1
5.如图1,抛物线C 1:y =x 2+4x +3顶点为M ,抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反,形状相同,顶点为N ,且M,N 关于点P (0,2)对称. (1)求抛物线C 2的解析式;
(2)直线y =m 交抛物线C 1于点A,B ,交抛物线C 2于点C,D ,若AB =2CD ,求m 的值;
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