11-12下理工科高数A考试题

对离散数学的初步理解

姓名：刘显荣 专业班级：软件1班 学号：10

离散数学的作用：

《离散数学》是以一切离散量为研究对象的一门学科，包括数理逻辑、关系代数、罔论、集合论等多方面内容。这门学科在计算机科学的发展和研究中起着重大的作用，比如在编译原理、数据结构、数据库系统、人工智能、计算机网络等专业课中都大量涉及了离散数学中各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。所以它还有一个专业的名字——组合数学。离散数学是掌握和研究计算机学科的必要理论基础。

有时人们也把离散数学和图论加在一起算成是离散数学。离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的离散数学。离散数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而离散数学的发展则奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了离散算法才使人感到计算机好像是有思维的。 离散数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。

离散数学的发展趋势：

离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的 应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基 础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑 推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发 生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从 理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬

件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散 结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系 建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系 统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能 力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。 离散数学课程的教学目的，不但作为计算机科学与技术及相关专业的理论基础及核心 主干课，对后续课程提供必需的理论支持。更重要的是旨在“通过加强数学推理，组合分析，离散结构，算法构思与设计，构建模型等方面专门与反复的研究、训练 及应用，培养提高学生的数学思维能力和对实际问题的求解能力。”

离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。它是高校计算机及相关专业的重要基础课程之一。 课程内容涉及：

1．集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数

2．图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用

3．代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数

4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理

5．数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理

离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。教学方式以课堂讲授为主, 课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

参考文献：

《考试周刊》2008年