线性代数应用案例

行列式的应用

案例1

大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规

律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。

营养蛋白质脂肪碳水化合物

单位食物所含的营养

食物136052

食物251734

食物3131.174

所需营养

33345

试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。

解：设x 1, x 2, x 3分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组

⎧36x 1+51x 2+13x 3=33⎪

7x 2+1.1x 3=3⎨

⎪52x +34x +74x =45

23⎩1

利用matlab 可以求得

x =

0.[**************].[**************].[1**********]177

案例2

一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，

每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，

问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）

服务者土建师电气师机械师

被服务者

土建师00.10.3

电气师0.200.4

机械师0.30.40

实际收入500700600

解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x 1, x 2, x 3元，根据题意，建立方程

组

⎧x 1-0.2x 2-0.3x 3=500⎪

⎨x 2-0.1x 1-0.4x 3=700⎪x -0.3x -0.4x =600

12⎩3

利用matlab 可以求得

x =

1.0e+003*

1.[**************].[**************].[1**********]787

案例3

医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal

热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，

试求所配菜肴中每种食物的数量。

蔬菜

热量/cal蛋白质/g维生素c/mg

60390

鱼300960

肉松600630

解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为x 1, x 2, x 3百克，根据题意，建立方程组

⎧60x 1+300x 2+600x 3=1200⎪

3x 1+9x 2+6x 3=30⎨

⎪90x +60x +30x =300

123⎩

利用matlab 可以求得

x =

1.[**************].[**************].[1**********]348

矩阵的应用

案例1

矩阵概念的引入

（1）线性方程组

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨⎪ ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n

的系数a i j (i , j =1, 2, , n ), b j (j =1, 2, , n ) 按原来的位置构成一数表

⎡a 11a 12⎢a

⎢21a 22⎢ ⎢

⎣a n 1a n 2

a 1n a 2n a nn b 1⎤b 2⎥⎥ ⎥⎥b n ⎦

该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。

（2）某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线，下图所示表述了四城市间的航

班图，若从A 到B 有航班，则用带箭头的线连接A 和B 。C

为了便于研究，表中√为

1，空白为0，得到下列数表：

(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表

此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的4行4列的矩形数表，

40（kg ）50（kg ）60（kg ）70（kg ）

1.51.61.71.8

6030100

80120152

70150805

209015010

如果只反映1.5米与体重的关系，则可以用（60807020）；如果只反映60kg 与身高的

⎛70⎫

⎪150⎪。关系，则可以用

80⎪ ⎪5⎝⎭

案例5矩阵概念的应用——逻辑判断问题

甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的

厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：

（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；

（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。问四人的阅读顺序是怎样的？

解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D, 则根据题设条件可以列出

初始矩阵

甲乙丙丁

1234

D ⎛⎫

⎪B ⎪ ⎪ ⎪A B C D ⎝⎭

下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二

次读的书不可能是C,D 。又甲第二次读的书是B ，所以丙第二次读的书也不可能是B ，从而丙第二次读的书是A ，同理可依次推出丙第三次读的书是B ，丁第二次读的书是C ，丁第三次读的书是A ，丁第一次读的书是B ，乙第二次读的书是D ，甲第一次读的书是C ，乙第一次读的书是A ，乙第三次读的书是C ，甲第三次读的书是D 。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：

⎛C A D

B D A D C B

⎝A B C B ⎫⎪C ⎪A ⎪⎪D ⎭

案例6矩阵乘法的应用

某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下

单位价格（万元）单位重量（吨）

单位体积（m ）

3

A 1A 2

0.50.4

0.040.06

0.20.4

利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？

解：设矩阵

⎛30001400⎫

⎛0.50.040.2⎫ ⎪

A = 15001300⎪, B = ⎪

0.40.060.4⎝⎭ 2000800⎪

⎝⎭

则矩阵

总价值

总重量

总体积

⎛2060 204 1160⎫美国 ⎪

C =AB = 1270 138 820⎪德国

1320 128 720⎪日本⎝⎭

案例7逆矩阵的应用

一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿0.65元的燃料费，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。而提供一块钱的运输费铁路需支付煤矿0.55元的燃料费，0.10元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？

解：各企业产出一元钱的产品所需费用为

对于一个星期的周期，设x 1表示煤矿的总产值，x 2表示电厂的总产值，x 3表示铁路的总产值。

煤矿的总消耗为0x 1+0.65x 2+0.55x 3电厂的总消耗为0x 1+0.05x 2+0.10x 3铁路的总消耗为0.25x 1+0.05x 2+0x 3则

x 1-(0x 1+0.65x 2+0.55x 3) =50000x 2-(0x 1+0.05x 2+0.10x 3) =25000x 3-(0.25x 1+0.05x 2+0x 3) =0

联立三个方程并整理得方程组

⎧x 1-0.65x 2-0.55x 3=50000⎪

0.95x 2-0.10x 3=25000⎨

⎪-0.25x -0.05x +x =0

123⎩

上述方程组可化为AX =b ，其中

-0.65-0.55⎫⎛1⎛x 1⎫⎛50000⎫

⎪ ⎪ ⎪A = 00.95-0.10⎪，X = x 2⎪, b = 25000⎪

-0.25-0.05 x ⎪ 0⎪1⎪⎝⎭⎝3⎭⎝⎭

利用matlab 求解，可知det(A ) =0.798125≠0，所以方程组有唯一解，其解为

⎛x 1⎫⎛80423⎫ ⎪ ⎪X = x 2⎪=A -1b = 28583⎪

x ⎪ 21535⎪⎝3⎭⎝⎭

所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。

案例8求解线性方程组

（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方

案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如

果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？

方案A B C

一居室（套）

889

两居室（套）

743

三居室（套）

345

设公寓的每层采用同一种方案，有x 1层采用方案A ，有x 2层采用方案B ，有x 3解：

层采用方案C ，根据题意，可得

⎧8x 1+8x 2+9x 3=136

⎪

⎨7x 1+4x 2+3x 3=74⎪3x +4x +5x =66

23⎩1

利用matlab 计算方程组的系数矩阵A 、增广矩阵 A =(A b ) 的秩：

) =2

所以方程组有无穷多个解。

利用matlab 将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵：

1⎛⎫

10-2 ⎪2 ⎪

13 A =(A b ) → 0115⎪

⎪8 ⎪0000 ⎪ ⎪⎝⎭

1⎧

x =2+x 31⎪⎪矩阵对应的方程组为⎨，

⎪x =15-3x 23⎪8⎩

取x 3=c (c 为正整数），则方程组的全部解为

1⎧

x =2+c ⎪1

2

⎪

13⎪

x =15-c ⎨2

8⎪

⎪x 3=c ⎪⎩

又由题意可知，x 1, x 2, x 3都为正整数，则方程组有唯一解x 1=6, x 2=2, x 3=8。所以设计方案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A ，2层采用方案B ，8层采用方案C 。

（2）

在一个原始部落中，农田耕作记为F ，农具及工具的制作记为M ，织物的

编织记为C 。人们之间的贸易是实物交易系统（见下图）。由图中可以看出，农夫将每年的收获留下一半，分别拿出四分之一给工匠和织布者；工匠平均分配他们制作的用具给每个组。织布者则留下四份之一的衣物为自己，四分之一给工匠，二分之一给农夫。

随着社会的发展，实物交易形式需要改为货币交易。假设没有资本和负债，那么如何对

M

C

也可以用下表表示：

组名F M C

F

解：令x 1为农作物的价值，x 2为工具的价值，x 3为织物价值。那么从上表第一列，

农夫生产的价值应该等于他们交换到的产品的价值，即

x 1=

111x 1+x 2+x 3232

x 3=

111

x 3+x 1+x 2443

同理可以得到工匠和纺织者产品价值的方程

111

x 2=x 2+x 1+x 3，

344

从而得到下列方程组：

11⎧1x -x -⎪21322x 3=0⎪

21⎪1

⎨-x 1+x 2-x 3=0

⎪13⎪1

-x -x +⎪41324x 3=0⎩

利用matlab 将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，为

5⎤⎡

10-⎢⎢⎥A=⎢01-1⎥⎢000⎥⎢⎥⎣⎦

令x 3=c ，写成方程组，为

5⎧x =c ⎪1

⎨⎪⎩x 2=c

写成向量形式为

⎡5⎤

⎢3⎥⎡x 1⎤

⎢x ⎥=c ⎢1⎥

⎢⎥⎢2⎥

⎢1⎥⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎥⎣⎦

所以当农作物价值、工具价值与织物价值的定价之比为x 1:x 2:x 3=正地体现原有的实物交易系统。

5

:1:1时，才能公3

（3）某药厂生产3种中成药，每件中成药的生产要经过3个车间加工。3个车间

每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问3中中成药每周的产量各是多少？

中成药1

车间1车间2车间3

131

中成药2

121

中成药3

231

车间工时（时/周）

407528

解：设3种中成药每周的产量分别为x 1, x 2, x 3，则由题意得

⎧x 1+x 2+2x 3=40⎪

⎨3x 1+2x 2+3x 3=75⎪x 1+x 2+x 3=28⎩

利用matlab 将方程组的增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵，得

⎡11240⎤⎡1007⎤

⎥→⎢0109⎥(A , b ) =⎢32375⎢⎥⎢⎥

⎢⎣11128⎥⎦⎢⎣00112⎥⎦

由此可以得出

⎧x 1=7

⎪

⎨x 2=9⎪x =12⎩3

所以三种中成药每周的产量分别为7件，9件，12件。

案例9解线性方程组应用—人口迁移模型

在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模，此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量，这样就产生了与时间间隔相应的向量序列x 0, x 1, x 2, , 其中x n 表示第n 次测量时系统状态的有关信息，而x 0常被称为初始向量。

如果存在矩阵A ，并给定初始向量x 0，使得x 1=Ax 0, x 2=Ax 1, , 即

x n +1=Ax n (n =0,1, 2, )

则上述方程为一个线性差分方程或者递归方程。

（1）已知某城市2009年的城市人口为5000000人，农村人口为7800000人。假

设每年大约有5%的城市人口迁移到农村（95%仍然留在城市），12%的农村人口迁移到城市（88%仍然留在农村），如下图所示，忽略其他因素对人口规模的影响。计算2011年的人口分布。

0.05

0.95

城市

0.12

农村

0.88

解：由题意可得迁移矩阵为

⎡0.950.12⎤M =⎢⎥

⎣0.050.88⎦

设2009年的初始人口为x 0，2010年和2011年的人口分别为x 1, x 2，则

⎡0.950.12⎤⎡5000000⎤⎡5686000⎤

x 1=Mx 0=⎢=⎢⎥⎢⎥⎥

⎣0.050.88⎦⎣7800000⎦⎣7114000⎦⎡0.950.12⎤⎡5686000⎤⎡6255380⎤

x 2=Mx 1=⎢⎥⎢7114000⎥=⎢6544620⎥0.050.88⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即2011年的人口分布情况是：城市人口为6255380，农村人口为6544620.

(2)在某个地区，每年约有4%的城市人口移居到周围的农村，大约5%的农村人口移居到城

市中。在2009年，城市中有400000居民，农村有600000居民。建立一个差分方程来描述这种情况，用x 0表示2009年的初始人口，然后估计两年之后，即2011年城市和农村的人口数量（忽略其他因素对人口规模的影响）

（3）某公司有一个车队，大约有450辆车，分布在三个地点。一个地点租出去的车可以

归还到三个地点中的任意一个，但租出的车不许当日归还。下面的矩阵给出了汽车归还到每

个地点的不同比率。假设星期一在机场有304辆车，东部办公区有48辆车，西部办公区有98辆车，那么在星期三时，车辆的大致分布式怎么样？

车辆出租地

机场东部西部归还到0.970.050

0.9

0.1

机场

0.05东部

0.030.05 0.85西部

解：设星期一机场、东部和系部的车辆为x 0，星期二和星期三三个地方的车辆分别为

x 1, x 2，由题意可得，迁移矩阵为

⎡0.970.050.1⎤

⎥M =⎢00.90.05⎢⎥

⎢⎣0.030.050.85⎥⎦

则

⎡0.970.050.1⎤⎡304⎤⎡307⎤

⎥⎢48⎥≈⎢48⎥x 1=Mx 0=⎢00.90.05⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎣0.030.050.85⎥⎦⎢⎣98⎥⎦⎢⎣95⎥⎦⎡0.970.050.1⎤⎡307⎤⎡310⎤

⎥⎢48⎥≈⎢48⎥x 2=Mx 1=⎢00.90.05⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎣0.030.050.85⎥⎦⎢⎣95⎥⎦⎢⎣92⎥⎦

所以，星期三时，机场有310辆车，东部办公区有48辆车，系部办公区有92辆车。

案例10解线性方程组应用—网络流模型

网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机

辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题是，线性方程组就自然而然地产生了，例如：城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网络内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等。大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。

一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。网络中的点称作联结点（或节点），网络中的连接线称作分支。每一分支中的流量方向已经指定，并且流量（或流速）已知或者已标为变量。

网络流的基本假设是网络流中流入与流出的总量相等，并且每个联接点流入和流出的总量也相等。例如：下图所示分别说明了流量从一个或两个分支流入联结点，x 1, x 2和x 3分别表示从其他分支流出的流量，x 4, x 5表示从其他分支流入的流量。因为流量在每个联结点守恒，所以有x 1+x 2=60, x 4+x 5=x 3+80。

网络分析要解决的问题就是：在部分信息（如网络的输入量）已知的情况下，确定每一

分支中的流量。

x 1

x 4

x 3

80

60

x 2

x 5

下图的网络给出了在下午两点钟，某市区部分单行道的交通流量（以每刻钟通过的汽车数量来度量）。试确定网络的流量模式。

x 3

30

x 4

x 5

1

10

C D

x 2

30

40

A

50

20

解：根据网络流模型的基本假设，在节点（交叉口）A,B,C,D 处，我们可以得到下列方程：

A :x 1+20=x 2+30; B :x 2+30=x 3+x 4; C :x 4=x 5+40;

D :x 5+50=x 1+10.

20+30+50=30+x 3+40+10, ⇒x 3=20

联立以上方程的方程组：

此外，该网络的总流入等于网络的总流出，即

x 1-x 2=10⎧

⎪x -x -x =-30234⎪⎪

x 4-x 5=40⎨⎪x 1-x 5=40⎪⎪x 3=20⎩

取x 5=c ，则网络的流量模式表示为

x 1=40+c , x 2=30+c , x 3=20, x 4=40+c , x 5=c

线性规划问题

案例1、. 生产计划问题

（1）假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要原料有A 类3600kg ，B 类

2000kg,C 类3000kg. 每件甲产品需用材料A 类9kg,B 类4kg,C 类3kg 。每件乙产品需用材料A 类4kg,B 类5kg,C 类10kg 。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。

解：建立模型：

设生产甲、乙产品的件数分别为x 1, x 2，f 为该厂所获总利润，则

max f =70x 1+120x 2s . t 9x 1+4x 2≤36004x 1+5x 2≤20003x 1+10x 2≤3000

x 1, x 2≥0

程序如下：f=[-70-120]';A=[94;45;310];b=[[1**********]0]';[x,maxf]=linprog(f,A,b);maxf=-maxf;结果为：x =200.0000240.0000maxf =4.2800e+004

（2）某工厂生产A,B 两种产品，已知生产A 产品每公斤需耗煤9吨，耗电400

度，用工3个工作日；生产B 产品每公斤需耗煤4吨，耗电500度，用工10个劳动日。A 产品每公斤利润700元，B 产品每公斤利润1200元，因客观条件限制，该厂只能得到煤360吨，电20000度，劳动力300个，问该厂如何安排生产才能使总利润最大？

解：建立模型

设x 1, x 2分别表示生产A,B 两种产品的数量，则

max f =700x 1+1200x 2s . t

9x 1+4x 2≤360400x 1+500x 2≤200003x 1+10x 2≤300x 1, x 2≥0

案例2、投资问题

某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益（投入资金的百分比）如下表所示。由于某种原因，决定用于项目A 的投资不大于其他各项投资之和，而用于项目B 和C 的投资要大于项目D 的投资。试确定该公司收益最大的投资分配方案。

工程项目收益（%）

A 15

B 10

C 8

D 12

解：建立模型：

设x 1, x 2, x 3, x 4分别表示用于项目A,B,C,D 的投资百分数，则

max f =0.15x 1+0.1x 2+0.08x 3+0.12x 4s . t

x 1-x 2-x 3-x 4≤0x 2+x 3≥x 4

x 1+x 2+x 3+x 4=1x j ≥0, j =1, 2,3, 4

程序如下：

f=[-0.15-0.1-0.08-0.12]';A=[1-1-1-1;0-1-11];b=[00]';Aeq=[1111];

beq=[1];ub=[];lb=zeros(4,1);

[x,maxf]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);maxf=-maxf;结果如下：x =

0.50000.25000.00000.2500maxf =0.1300

案例3、运输问题

有A,B,C 三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁4个市场。3个工厂每天生产食品箱数如表1所示；4个市场每天的需求量如表2所示；从各厂运到各市场的运输费（元/箱）如表3所示。求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。

表1

工厂生产数

A 60

B 40表2

市场需求量

甲20

乙35表3

工厂

A B C

甲213

乙134

市场

丙321

丁211丙33

丁34

C 50

解：建立数学模型：

设a ij 为由工厂i 运到市场j 的费用，x ij 是由工厂i 运到市场j 的箱数。b i 是工厂i 的产量，d j 是市场j 的需求量，则

⎛2132⎫⎛x 11x 12 ⎪

A = 1321⎪, X = x 21x 22

3411⎪ x ⎝⎭⎝31x 32

min f =∑∑a ij x ij

i =1j =13

4

x 13x 23x 33x 14⎫

⎪x 24⎪x 34⎪⎭

，b =(604050) , d =(20353334)

T T

s . t

∑x

j =13i =1

4

ij

≤b i , i =1, 2,3=d ij , j =1, 2,3, 4

∑x

ij

x ij ≥0, i =1, 2,3; j =1, 2,3, 4

程序如下：

B=[2132;1321;3411];f=B(:);%将矩阵B 转化为列向量A=[[1**********]0

[***********]001001];b=[604050]';

Aeq=[[1**********]0

[***********][***********]];beq=[20353334]';lb=zeros(12,1);ub=[];

[x,minf]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);x =

0.000020.00000.000035.00000.00000.00000.00000.000033.00000.000018.468215.5318minf =122.0000

结果如下：

案例4、合理下料问题

某工厂有一批5米的钢管（数量充足），为制造零件的需要，要将它们截成140厘米，95厘米，65厘米的管料，并要求这三种管料按照2：4：1的比例配套，问如何下料才能使残料最少？

解：合理下料问题：

分析：截取的方法很多，但是残料较大的可以排除

1

1409565残料

30115

222030

320325

413110

51145

605025

703320

801615

设x i 表示第i 种截法截得的钢管数量(i =1, 2, ,8)

min f =15x 1+30x 2+25x 3+10x 4+5x 5+25x 6+20x 7+15x 8s . t

3x 1+2x 2+2x 3+x 4+x 5=22x 2+3x 4+x 5+5x 6+3x 7+x 8=4x 1+3x 3+x 4+4x 5+3x 7+6x 8=1x i ≥0, i =1, 2, ,8.

案例5、经济配料问题

某饲养场有5中饲料，已知各种饲料的单位价格和每百公斤饲料的蛋白质、矿物质、维生素含量如表，又知该饲养场每日至少需蛋白质70单位，矿物质3单位，维生素10单位，问如何混合调配5种饲料，能使总成本最低？饲料种类

蛋白质

12345

0.302.201.000.601.80

有关成分矿物质0.10.050.020.200.05

维生素0.050.100.020.200.08

饲料单价（百公斤）27435

解：设用x i 表示第i 种饲料的用量，i =1, 2,3, 4,5

min f =2x 1+7x 2+4x 3+3x 4+5x 5s . t

0.3x 1+2.2x 2+x 3+0.6x 4+1.8x 5≥700.1x 1+0.05x 2+0.02x 3+0.2x 4+0.05x 5≥30.05x 1+0.1x 2+0.02x 3+0.2x 4+0.08x 5≥10x i ≥0, i =1, 2,3, 4,5