供应链网络均衡模型研究

ＬｏｇｉｓｔｉｃｓＳｃｉ－ＴｅｃｈＮｏ．７，２００８物流科技２００８年第７期

・供应链・

供应链网络均衡模型研究

ＳｔｕｄｙｏｎＳｕｐｐｌｙＣｈａｉｎＮｅｔｗｏｒｋＥｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍＭｏｄｅｌｓ

董

ＤＯＮＧＣｈｅｎ，

摘

要：供应链是一个典型的动态系统，如何协调系统

中各成员之间的利益和关系，寻找供应链网络的最终均衡状态，是供应链管理中的一个重要问题，文章首先以变分不等式为工具，介绍了确定性和不确定性需求条件下的供应链网络均衡模型，然后将该类模型转化为非线性互补问题，运用评价函数（ｍｅｒｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ）将其转化为无约束最优化问题，最后通过拟牛顿算法求解该类模型，有效解决了该类模型的求解问题。

关键词：供应链网络；变分不等式；网络均衡；无约束最优化；拟牛顿算法

中图分类号：Ｆ２２４

文献标识码：Ａ

晨，陈国华

ＣＨＥＮＧｕｏ－ｈｕａ

（南京大学，江苏南京２１００９３）

（ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００９３，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｉｓａｔｙｐｉｃａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓａｎｄｂｅｎｅｆｉｔｓｏｆｔｈｅｐａｒｔｎｅｒｓｉｎｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｍａｎａｇｅｍｅｎｔａｎｄｆｉｎｄｔｈｅｆｉｎａｌｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｎｅｔ－ｗｏｒｋｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓｔａｔｕｓ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｍｏｄｅｌｓａｒｅｉｎ－ｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｔｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅｓｅｍｏｄｅｌｓｐｏｓ－ｓｅｓｓｔｈｅｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓａｎｄＱｕａｓｉ－Ｎｅｗｔｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｃａｐａｂｌｅｏｆｆｉｎｄｉｎｇａｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｗｏｅｘａｍｐｌｅｓｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｓｈｏｗｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅＱｕａｓｉ－Ｎｅｗｔｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｎｅｔｗｏｒｋ；ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｎｅｔ－ｗｏｒｋｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ；Ｑｕａｓｉ－Ｎｅｗｔｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ

文章编号：１００２－３１００（２００８）０７－００２３－０５

０引言

供应链管理主要是如何协调供应商、制造商、批发商、销售商、消费市场等各成员之间的关系。在各成员利益均能得到保证的基础上，共同合作，最终实现总体利益的最大化。而要实现上述目标，必须有合理的供应链运作与决策，使得供应链各成员在面对快速变化的市场结构时，能及时地进行调整，维持整个供应链的竞争优势。本文采用定量分析的方法，通过研究相当的数学模型并进行求解，为各成员提供一个具体可行的运作与决策方法。

传统分散式供应链通常包括三类决策者：生产商、消费商、零售商。这三类决策者在产品的整个商业流程（从制造商到零售商到消费者）中是相互影响、相互联系的。我们分别用一组均衡条件来描述以上三类在产品供应链中的行为。Ｎａｇｕｒｎｅｙ２００２年给出了供应链网络的均衡模型（消费者需求函数确定），并进一步指出该模型可用变分不等式来表示（ＶＩＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｙ）。Ｄｏｎｇ２００４年在Ｎａｇｕｒｎｅｙ的基础上给出了消费者需求随机（已知概率分布条件下的随机变量）条件下的供应链均衡模型并且给出了变分不等式形式。以上两人都采用改良投影法（ＭｏｄｉｆｉｅｄＰｒｏｊｅｃｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄ）作为求解供应链模型变分不等式的基本方法。而事实上，改良投影算法的收敛性依赖于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的估计及迭代步长的选择［１］。因此，在用该方法求解供应链均衡变分不等式的过程中，往往所需计算量较为庞大，消耗时间也较长。

本文通过研究拟牛顿方法的超线性收敛性［２］，为供应链均衡变分不等式的求解问题提供了新的解法。不论是

Ｎａｇｕｒｎｅｙ或者是Ｄｏｎｇ的ＶＩ问题都可以转化为非线性互补问题（ＮＣＰ）。于是用评价函数（ｍｅｒｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ）方法，我们将非线性互补问题转化为无约束连续可微最优化问题，通过研究拟牛顿方法的求解过程，很好地解决了该类无约束最优化问题，从而得出原始变分不等式的解。文章最后举例说明了拟牛顿方法解决供应链网络均衡模型的变分不等式求解问题的有效性。

１供应链网络均衡模型

供应链网络结构如图１所示，包含ｍ个生产商，ｎ个零售商，ｏ个需求市场。分别以ｉ，ｊ，ｋ来表示具体的生产

收稿日期：２００８－０２－２７

基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０４０１０１３）作者简介：董

晨（１９８３－），男，江苏南通人，南京大学工程管理学院硕士研究生，研究方向：供应链结构演化、均衡；陈国华

（１９６９－），男，江苏泰州人，南京大学工程管理学院，副教授，博士，硕士研究生导师；研究方向：物流及供应链系统规划与设计、复杂系统建模与仿真。

ＬｏｇｉｓｔｉｃｓＳｃｉ－Ｔｅｃｈ２００８．７

２３

供应链网络均衡模型研究

ｑｉｊ" 商，零售商，需求市场。生产商ｉ与零售商ｊ间的交易量为ｑｉｊ，组成交易量矩阵Ｑｍ×ｎ，交易成本为ｃｉｊ＝ｃｉｊ! #ｉ，ｊ。生产商ｉ的生产成本以及零售商ｊ的持有成本（包括库存成本等）

１１

分别表示为ｆｉ! ，ｃｊ! 。于是通过研究生产商、零售商以及消费市场Ｑ" Ｑ"

１

１１１

………

图１

ｉｊｋ

……ｍ……ｎ……

ｏ

生产商

的最优条件，我们可得到确定消费需求函数，以及不确定条件下的供应链均衡模型（２．１，２．２）［３－４］。

零售商

１．１确定需求函数情况下的供应链均衡模型

需求函数确定情况是指需求市场ｋ的消费者对商品的需求可由已知函

２

需求市场

供应链网络结构

" ρ数ｄｋ! ３表示，ρ３为ｏ维需求市场价格向量，由ρ３ｋ（需求市场ｋ，ｋ＝１，…，ｏ的商品价格）组成。我们用ｑｊｋ表示零售

商ｊ与需求市场ｋ的交易量。Ｑｎ×ｏ为零售商与消费市场的交易量矩阵（由ｑｊｋ组成）。通过分别研究生产商、零售商、需求市场的最优条件，同时引入经济学中的均衡理论，我们给出供应链网络均衡的定义，即当供应链网络（包括产品交易量和产品价格）满足上述三个最优条件时，整个供应链网络是均衡的。于是我们有整个供应链的均衡条件变分不等式［３］：

ｍ

ｎ

$$

ｉ＝１ｊ＝１ｎ

１＊１＊

" ＊%ｃｉｊｑｉｊ＊＊＊＊%ｆｉ! %ｃｊ! ２＊Ｑ" Ｑ! " ×＋×$$＋＋－γｑ－ｑｃ＋γ－ρｑ－ｑＱｊｉｊｉｊｊｋｊ３ｋｊｋｊｋ

%ｑｉｊ%ｑｉｊ%ｑｉｊｉ＝１ｊ＝１

! "

＊＊

’&

＊

(

ｎｏ

&(&(

（１）

＋$

ｊ＝１

&$

ｍｉ＝１

＋$ｑｉｊ－$ｑｊｋ×γｊ－γｊ

＊

＊

ｋ＝１

ｋ＝１

ｏ

(&

(

ｏ

&$

ｎｊ＝１

２１

×ρ≥０ｑｊｋ－ｄｋρ３ｋ－ρ３ｋ３

＊

! " &

１

２

(

＊

(

∈Ｋ，#Ｑ，Ｑ，γ，ρ３

!

１２

"

Ｋ≡Ｑ，Ｑ，γ｜Ｑ，Ｑ，γ∈Ｒ＋，ρ，ρ３３

１．２

随机需求函数情况下的供应链均衡模型

, ! " ! "

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ

-

" ! " ! " ρ随机需求函数的情况是指消费者对零售商ｊ所售商品的需求为随机变量ｄ２ｊ，其期望值为ｄｊρ２ｊ，累积分布ｊ

" ２ｊ为零售商ｊ的商品价格。于是类似１．１可得出随机需求函数条件下的供应链均衡变分不等ｘ，ρ函数表示为Ｐｊ! ２ｊ，ρ

式［４］：

! Ｑ

１＊

，ρ∈Ｒ＋２

ｍ

ｎ

＊

ｍｎ＋ｎ

。

ｉ＝１ｊ＝１

$$

ｎ

＊

１＊１＊

" ＋%ｃｉｊｑｉｊ%ｆｉ! %ｃｊ! Ｑ" Ｑ＋＋＋λｊＰｊ

ｉｊｉｊｉｊ

! "

＊＊

(. ! " ! " ! ! " " $$

ｍｉ＝１

－λｑｉｊ，ρｊ＋ρ２ｊ２ｊ

＊＊－＊

ｍ

１－Ｐｊ

ｉ＝１

ｑｉｊ，ｐ２ｊ

＊＊

×ｑｉｊ－ｑｉｊ

＊

(

（２）

＋$

ｊ＝１

.

＊" ρ$ｑｉｊ－ｄｊ２ｊｉ＝１

ｍ

! " .

(

×ρ≥０，#Ｑ，ρ∈Ｒ＋

２ｊ－ρ２ｊ２

＋

－

(!

１

"

ｍｎ＋ｎ

其中ρ２为所有ρ２ｊ组成的ｎ维向量，λｊ，λｊ为单位商品处罚因子（两种情况：供应过剩与需求不足）。

１．３无约束最优模型

为了求解（１）、（２）式我们将他们等价地转化为ＮＣＰ（非线性互补问题）［５］：

＊

/≥０满足：Ｆ0/＊≥０以及Ｆ0/＊Ｘ/＝０（１）式转化为，求ＸＸＸ/＝Ｑ，Ｑ，γ其中Ｘ∈Ｒ＋，ρ３

１

２

! "

１

! "

３

＊Ｔ

（３）

! "

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ

0!" /：，行向量函数ＦＸ

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ0!" /0000Ｆ＝：Ｒ→Ｒ/，Ｆ!" /，Ｆ!" /，Ｆ!" /Ｘ＋Ｆ!" ＸＸＸＸ

１

!

２４

"

（４）

４

ｍｎｎｏｎ

0!" 0!" 0!" 0!" /＝…，Ｆ/＝…，Ｆ/＝…，Ｆ/＝…，Ｆ0!" 0!" 0!" 0!" 其中Ｆ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ，Ｆ////ＸＸＸＸ………，，，ｉｊＸｊｋＸｊＸｋＸ，…

!

１

"

２

!

２

"

３

!

３

" !

４

"

∩Ｒ。

１１１

" %ｃｉｊ! " ｑｉｊ" %ｃｊ! %ｆｉ! ＱＱ0/＝Ｆｉｊ!" ＋＋－γＸｊ，ｉ＝１，…，ｍ；ｊ＝１，…，ｎｉｊ

ｉｊ

ｉｊ

０

（５）（６）（７）

0!" ! ２" /Ｆ＋γｉｊＸ＝ｃｊｋＱｊ－ρ３ｋ，ｊ＝１，…，ｎ；ｋ＝１，…，ｏ

0!" /ＦｊＸ＝$ｑｉｊ－$ｑｊｋ，ｊ＝１，…，ｎ

ｉ＝１

ｋ＝１

３

ｍ

ｏ

２

２４

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供应链网络均衡模型研究

! #$&$ρ" Ｆ３，ｋ＝１，…，ｏｋＸ＝%ｑｊｋ－ｄｋ

ｊ＝１

４ｎ

（８）

同理（２）式也可转化为类似形式：

’≥０满足Ｆ) ’＊≥０，Ｆ) ’＊Ｘ’＝０求ＸＸＸ

ｍｎ＋ｎｍｎ＋ｎ

’＝Ｑ１，ρ∈Ｒｍｎ＋ｎ，Ｆ) #+’) ) 其中Ｘ＝：Ｒ→Ｒ’，Ｆ#+’ＸＦ#+＋＋２ＸＸｍｎ

) #+’) Ｆ＝∈Ｒ，ｉ＝１，…，ｍ；ｊ＝１，…，ｎ；’，…Ｘ…，Ｆｉｊ#+Ｘ

１１１

+-ｃｉｊ#+＋ｑｉｊ+-ｃｊ#-ｆｉ#ＱＱ) ’Ｆｉｊ#+＝＋＋＋λＸｊＰｊ

ｉｊｉｊｉｊ

２

１

＊

&$&$

＊Ｔ

（９）

２

&$

#

１

+

（１０）

#

１

+

#+#+##++%%

ｍｉ＝１

－λｑｉｊ，ρｊ＋ρ２ｊ２ｊ

－

ｍ

１－Ｐｊ

ｉ＝１

ｑｉｊ，ρ２ｊ

（１１）

) #+’＝…，Ｆ) #+，ｊ＝１，…，ｎＦ’ＸｊＸ，…

) #+#+ρ’Ｆ２ｊｊＸ＝%ｑｉｊ－ｄｊ

ｉ＝１

２

ｍ

#

２

+

（１２）

下面我们利用价值函数（ｍｅｒｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ）将非线性互补问题转化为无约束最优化问题［６］。取函数［７］

#φ＝ａ，ｂ+

/. ａ＋ｂ

ｏ

－&ａ＋ｂ+

0：Ｒ→Ｒ

２

２

＋

（１３）

利用（１３）将供应链网络均衡模型的非线性互补问题转化为无约束最优化问题如下：（１）

（３）式转化为：

ｍ

ｎ

&$" ! " ＋%%φｑ，Ｆ! &$! &$! &$ψ" ＋%φγ" ＋%φρ" １Ｘ＝%%φｑ，Ｆ&$ｉｊＸｊｋＸｉｊｊｋｊ，ＦｊＸ３ｋ，ＦｋＸｉ＝１ｊ＝１ｊ＝１ｋ＝１ｊ＝１ｋ＝１

（２）

（９）式转化为：

&

１

$

ｎ

&

２

$

ｎ

&

３

$

ｏ

&

４

$

（１４）

&$’) &$ψ＋%φρ，Ｆ) &$’２Ｘ＝%%φｑ，ＦｊＸ２ｊｉｊＸｉｊｉ＝１ｊ＝１ｊ＝１

于是，我们可以得到以下两个结论：

ｍｎ

&

１

$

ｎ

&

２

$

（１５）

" 是（３）式的解当且仅当ψ" ＊＝０。１）Ｘ１Ｘ

&只要注意到函数（１３）φ＝０当且仅当ａ≥０，ｂ≥０，ａ×ｂ＝０，便易得出以上结果。ａ，ｂ$

＊

&$

于是（３）、（９）转化为以下两个问题：

1∈Ｒｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ

ｘ

&$" ｍｉｎψ１Ｘ&$’ｍｉｎψ２Ｘ

（１６）（１７）

’∈Ｒｍｎ＋ｎ

Ｘ

２）如果存在正常数Ｍ、Ｎ、Ｒ，Ｒ＞０满足：

１１

$ｑｉｊ$-ｃｊ&１-ｆｉ&-ｃｉｊ&Ｑ$Ｑ＋＋≥Ｍ对2Ｑ有ｑｉｊ≥Ｎ，2ｉ，ｊ

-ｑｉｊ-ｑｉｊ-ｑｉｊ２ｃｉｊ#≥Ｍ2ＱＱ+

２

+ρｑｊｋ≥Ｎ2ｊ，ｋ；ｄｋ#ρ2ρ2ｊ３≤Ｎ３３ｋ＞Ｒ

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ

则（１６）式至少有一解。

" ∈Ｒ根据文献［３］可知存在非负向量Ｂ

使得变分不等式

＊

Ｔ

! " ＊

ＦＸ

" Ｂ

" Ｂ

#+#" －Ｘ" +≥０Ｘ

" ＋Ｙ" ≤Ｂ" ０≤Ｘ

" Ｂ

" ≤Ｂ" 2０≤Ｘ

（１８）

" ，且满足０≤Ｘ" ＜Ｂ" 。于是存在足够小的正数λ，λ，满足存在解，记为Ｘ１２

" " +１＋λ０≤#１Ｘ≤Ｂ

" Ｂ

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎ＋ｏ

" ＝#+…，λλＹ２，２∈Ｒ

（１９）

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供应链网络均衡模型研究

! ＝" ! ! ! ! ! ! #１＋λ于是我们记Ｘ１Ｘ，Ｘ２＝０．５Ｘ，Ｘ３＝Ｘ＋Ｙ，分别代入（１８）式则有：１

$Ｆ! Ｘ

! Ｂ

! Ｂ! Ｂ! Ｂ

%&%! &＝０Ｘ

! Ｂ

! Ｂ

Ｔ

!

$ＢＦ! ≥０Ｘ

%&

（２０）

! 满足ψ也就是说Ｘ! ＝０，于是便有以上结论。类似，１Ｘ

%&

! Ｂ

（１７）式也可得出以上结论。

我们需要寻找一种算法能够求出以上无约束优化问题的全局最优点，而事实上，求解无约束优化问题的全局最优点并不简单，因为每一种算法都有可能给出一个静止点（ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｐｏｉｎｔ）而非全局最优点。于是我们给出静

$%&(%#! Ｆ止点也是全局最优点的充分条件便于求出最终解：如果函数Ｆ) 是单调且连续可微的，那么（１６）、（１７）ＸＸ两式的任何静止点（ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｐｏｉｎｔ）都是其全局最优点［８－９］。

%#

２算法

拟牛顿算法是解决无约束最优化问题的有效方法之一。它主要包括两部分：近似迭代矩阵的更新、线性搜索。考虑目标函数ｆ%在当前点ｘｋ处的二次模型：ｘ#

ｘｋ#（２１）ｍｋ%＝ｆ%＋ｇｋｄ＋１ｄＢｋｄｄ#

其中，Ｂｋ是ｎ×ｎ对称正定矩阵，是Ｈｅｓｓｅ近似，他将在每次迭代中进行校正，极小化这个二次模型得到：ｄｋ

Ｔ

Ｔ

＝－Ｂｋｇｋ从而新的迭代点为ｘｋ＋１＝ｘｋ＋αｋｄｋ＝ｘｋ－αｋＢｋｇｋ；

其中αｋ是线性搜索步长因子，上述迭代称为拟牛顿迭代。（１６）、（１７）式具体的拟牛顿迭代步骤如下：

%ｋ＋１#%ｋ#

－１－１

! Ｘ

! －α! Ｄ! ＝Ｘ! ｋｋ*ψ１Ｘ

" &

" ｋ&

) Ｘ

" ｋ＋１&

ｋ

) －) ) α＝Ｘ) ｋＤｋ*ψ２Ｘ

" ｋ&

" &

" &

（２２）

! ，Ｄ) 为迭代矩阵，α! ) ! ｋ，) ! ｋ，) 其中ｋ为迭代步数，Ｄααｋｋｋ为步长。矩阵Ｄｋ和Ｄｋ可以由ＢＦＧＳ等方法进行更新。步长αｋ

可以由传统的线性搜索方法确定。拟牛顿算法具有总体收敛性和局部收敛性（超线性收敛）［２，１０］。

３算例仿真例１

（确定需求条件）

３

３

该例子由两个生产商、两个零售商、两个消费市场组成，结构如图１。生产商生产成本函数为：ｆ１" ＝２ｑ１＋ｑ１ｑ２；ｆ２" ＝２ｑ２＋ｑ１ｑ２。ｑ&ｑ&

ｑ１１&ｑ１２&ｑ２１&生产商与零售商之间的交易成本函数为：ｃ１１" ＝０．５ｑ１１＋３．５ｑ１１，ｃ１２" ＝０．５ｑ１２＋３．５ｑ１２，ｃ２１" ＝０．５ｑ２１＋３．５ｑ２１，ｑ２２&ｃ２２" ＝０．５ｑ２２＋３．５ｑ２２。

１

零售商持有成本函数为：ｃ１" ＝０．５Ｑ&

２

２２２

" +&

２

２

ｉ＝１

ｑｉ１

１

，ｃ２" ＝０．５Ｑ&

" +&

２

２

ｉ＝１

ｑｉ２

。

&３１－１．５ρ" &３２－１．５ρρρ需求市场的需求函数为：ｄ１" ３＝－２ρ３＝－２ρ３２＋１０００，ｄ２３１＋１０００。

２２２２

另外，零售商与消费市场中消费者的交易成本函数为：ｃ１１" ＝ｑ１１＋５，ｃ１２" ＝ｑ１２＋５，ｃ２１" ＝ｑ２１＋５，ｃ２２" Ｑ&Ｑ&Ｑ&Ｑ&

＝ｑ２２＋５。

计算原则：

! ＝" 初始值：Ｘ∈Ｒ１０，１０，…，１０&

! ｜｜≤０．０００１；－Ｘ

计算设备：Ｍａｔｌａｂ６．５软件，ＰｅｎｔｉｕｍⅣ１．６ＧＭＨＺ，ＲＡＭ５１２Ｍ。图２为拟牛顿迭代法中价值函数ψ１的值变化曲线。在大约６０次迭代之后，函数值趋于０，也就是说经过６０次

１＊２＊＊＊＊

! ＝Ｑ１＊，Ｑ２＊，γ" &迭代所得的结果可近似地认为是最终解：Ｘ，其中Ｑ＝Ｑ＝，γ５．６３，６．５３，６．５３，６．５３，ρ３

＊

" ０&

ｍｎ＋ｎｏ＋ｎｏ

! 停机准则：｜｜Ｘ

" Ｎ＋１&" Ｎ&

" &

" &。，ρ＝" ２７３．５８，２７３．５８&３＝２８３．１２，２８３．１２

＊

例２（随机需求条件）

该例子的供应链结构同例１。

２６

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供应链网络均衡模型研究

生产商生产成本函数为：ｆ１! ＝２．５ｑ１＋ｑ１ｑ２＋２ｑ１，ｆ２! ＝２．５ｑ２＋ｑ１ｑ２＋２ｑ２。ｑ" ｑ"

２２

ｑｉｊ" 生产商与零售商之间的交易成本函数为：ｃｉｊ! ＝０．５ｑｉｊ＋３．５ｑｉｊ，ｉ＝１，２；ｊ＝１，２。零售商持有成本函数：ｃ１! ＝０．５Ｑ"

２

! #"

２

２

ｉ＝１

ｑｉ１

，ｃ２! ＝０．５Ｑ"

! #"

２

２

ｉ＝１

ｑｉ２

。

! ! " $%! ２ｊ" ρ消费者对零售商ｊ所售商品的需求随机变量ｄ＝２ｊ是０．１０ρ２ｊ，ｊ＝１，２上的均匀分布，因此有Ｐｊｘ，ρｊ

ｘρ２ｊ

，" ! １１０，ｊ＝１，２。ρｄｊ! ２ｊ＝Ｅｄｊ＝ρ２ｊ

另外假设单位商品处罚因子λｊ＝λｊ＝１，ｊ＝１，２。计算原则同例１，最后运用拟牛顿算法经过５７次迭代后得出最终均衡解，两个生产商与零售商之间的交易量为：Ｑ：ｑ１１＝ｑ１２＝ｑ２１＝ｑ２２＝０．１５９０，零售商的产品价格为：ρ２１＝ρ２２

＊

＊

＊

＊

＊

＊

＊

＋

－

! "

＝１５．２４６０。图３为拟牛顿迭代中价值函数ψ２的变化曲线。

价值函数曲线

价值函数曲线

３０

２２２０１８１６１４１２１０８６４２０

４５４６４７４８４９５０５１５２５３５４５５５６５７５８５９６０

迭代次数

２６２２

价值函数值

价值函数值

１８１４１０６２０

４３４４４５４６４７４８４９５０５１５２５３５４５５５６５７５８

迭代次数

图２价值函数ψ１图３价值函数ψ２

４结束语

本文首先介绍了确定需求与随机需求两种情况下的供应链变分不等式均衡模型，然后将其转化为非线性互补

问题，以及无约束连续可微最优化问题，最后运用拟牛顿方法求解该类问题。该方法为求解该类变分不等式问题提供了新的有效算法，它的超线性收敛性也解决了过去求解该类问题计算时间过多的问题，本文最后通过列举确定需求条件与随机需求条件下的两个例子说明了拟牛顿方法在解决供应链均衡问题上的有效性。

参考文献：

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