二重极限的几种求法

第21卷　第2期雁北师范学院学报Vol.21.No.2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2005年4月JOURALOFYANBEINORMALUNIVERSITYApr.2005

文章编号:1009-1939(2005)02-0065-03

二重极限的几种求法

张雅平

(大同职业技术学院数理系,摘　要:.关键词:多元函数　二重极限　中图分类号用,探讨它的求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础.本文从如何求二重极限和如何证明二重极限不存在两个方面来做讨论.

极限.

例2　求lim

x→0

y→2

32e+e

x

y

解:lim

x→0

y→2

1　求二重极限的方法

1.1　用定义验证的方法

32e+e

x

y

limsin(x3+y2)

=

x→0

lim

x→0y→2

e+e

xy

=

先求出一个累次极限,该累次极限是否为二重极限,再用定义验证.

例1　设f(x,y)=(x2+y2)sin1/(x2+y2),

(x2+y2≠0),求limf(x,y)

x→0

y→0

32e+e

2

=

+e2

1.3　用简化运算的方法

先对二元函数进行化简,然后再运算.对于二元函数里有根式的,常常先进行分子或分母有理化,再

去求极限.

2

解:limlimf(x,y)=0;

x→0y→0

事实上对任意(x,y)≠(0,0),

|f(x,y)-0|=|x+y|Φ|x|

2

2

2

(x+y)sin+|y|

2

2

x+y

2

2

Φ

例3　求lim

x→0

y→0

xy

解:lim

x→0y→0

ε>0,取δ=Π

(x2+y2)sin

/,当|x|

(x,y)≠(0,0)时,就有

x+y

2

2

=

xy=

xy(xy+1+1)

xy(

xy+1+1)

=

lim

x→0y→0

即

limf(x,y)=0

x→0

y→0

lim

x→0

y→0

2

1.4　用取对数的方法

1.2　利用性质运算的方法

利用二重极限的四则运算和复合运算性质来求

收稿日期:2004-12-12

如果极限是1∞,00等未定型,往往通过取对数的办法来求得结果.

作者简介:张雅平(1967-),男,河北高阳人,学士,大同职业技术学院数理系讲师.研究方向:高等数学教学与研究.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　雁　北　师　范　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2005年66

例4　求lim+(1+xy)sinxy

x→0y→0

+

解:

x→0

222

0ΦΦ=

|x|+|y||x|+|y||x|+|y|,

lim+(1+xy)

y→0

+

sinxy

而

=

lim(|x|+|y|)=0

x→0y→0

x→0

lim+exp

y→0

+

ln(1+xy)=sinxy

ln(1+xy)sinxy

xy

所以

22

lim=0x→0|x|+|y|

y→0

x→0

lim+exp

y→0

+

因为

x→0

2+

lim+

y→0

=1,limln(1+xy)

+sinxyx→0

y→0

+

xy

=lne=1,

(D有定义,p0(x0,

0.当动点p(x,y)沿着两条不同的

所以

x→0

(或点列)无限趋近于点p0(x0,y0),二元函数

lim+(1+xy)e.

y→0

+

f(p),有不同的“极限”,则二元函数f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限.依此可以有下面几种方法

1.5　用变量代换的方法

来证明f(p)在区域D上当p→p0时极限不存在.

1)当P沿着D中某一连续曲线趋近于点

p0(x0,y0)时,二元函数f(p)的极限不存在,则

(x,y)→(x,y)

00

利用变量代换把二重极限化为一元函数的极限或化为易于求解的二重极限,从而求得结果.

定理1　若二元函数f(p)在区域D有定义,

p0(x0,y0)是D的聚点.

x→x

0y→y

limf(x,y)不存在.

limf(x,y)=A例7　证明lim

x→0y→0

yx+y

2

2

不存在.

)ΖΠε>0,ϖδ设(x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ

>0,Πr:0

证明:函数的定义域为D={(x,y)|x>-ey,

x+y

2

2

≠0},当点p(x,y)沿着y轴趋于点(0,0)yx+y

2

2

θ,y0+rsinθ)-A|

x→0

y→0

时,有x=0,而

lim

x=0

y→0

=lim

y→0

|y|

解:设x=rcosθ,y=rsinθ.有lim(x+y)ln(x+y)=

x→0y→0r→0

不存在,所以

lim

x→0

y→0

22

yx2+y2

)lnrlimr(sinθ+cosθ

2

Πθ:0ΦθΦ2π,有

θ)lnr2|Φ|4rlnr|.|r(sinθ+cos

由一元函数极限知道lim+4rlnr=0.于是由定

r→0

不存在.

2)当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于

点p0(x0,y0)时,二元函数f(p)的极限都存在,但不相等,则

(x,y)→(x,y)

00

理1得出

lim(x+y)ln(x2+y2)=0

x→0y→0

limf(x,y)不存在.

4

4

1.6　用多元函数收敛判别法的方法

例8　证明lim不存在

x→0x+y

y→0

通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间,再利用两边夹定理来推出结果.

22

例6　求lim

x→0|x|+|y|

y→0

证明:函数的定义域为D={(x,y)|x+y≠0},当点p(x,y)沿着x轴趋于点(0,0)时,

limx→0x+y

y=0

44

=0,

解:因为

当点p(x,y)沿着y=x(x3-1)趋于点(0,0)时,

第2期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　张雅平:二重极限的几种求法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　67

x→0

3

y=x(x-1)

lim

444434

=lim=24x→0x+yx

32

例10　证明lim22不存在x→0x+2yy→0

所以

limx→0x+y

y→0

证明:

4

4

limlimf(x,y)=limlim2=x→0y→0x→0y→0x+2y2lim2=limx=0;x→0xx→0

3

32

不存在.

3)对于一些难以找到的路线,可以利用极坐标来证明.

例9　证明lim33不存在x→0x+yy→0

2

2

limlimf(x,y)=limlim

y→0x→0

y→0x→0

22=x+2y

32

2lim2=lim=.y→02yy→022

证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,函数的定义域为

)|r>0,cos3θ+sin3θ≠0,θ∈[0D={(r,θ

即得

22.x→0xy→0x→0x+2y2

3

2

2π]}.

lim

x→0

y→0

,所以

32

lim2x→0x+2y2y→0

3=

x+y

3

22

(r)D

2cossin3θ0

当θ=0时,sinθ=0,得

lim+=033x→0cosθ+sinθ

θ=0

22

不存在

综上所述,二重极限与一元函数的极限从定义到性质,再到证明的方式,有很多类似之处,但也有很明显的不同之处.对于一元函数而言,自变量的变化只有左右两种方式,而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式,这是二者最大的差别.把握住这一点,再在具体的题上具体分析,就能找到解决问题的方法.

当θ→(

-)时,4

cos3θ+sin3θ→0+,cos2θsin2θ→1/4,

=≠033

4cosθ+sinθ

2

2

令cos3θ+sin3θ=r,有

x→0

lim+

3

cosθ+sinθ=r

3

所以

lim33x→0x+yy→0

2

2

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第4版.北京:高等

教育出版社,1996.

[2]刘玉琏傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教

不存在

4)若两个累次极限都存在,但不相等,则二重

育出版社,1992.

[3]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版

极限一定不存在.

社,2004.

SeveralMethodsforEvaluatingtheDoubleLimits

ZHANGYa2ping

(DepartmentofMathematicsandphysics,DatongVocationalCollege,Datong,Shanxi,037008)

Abstract:Severalmethodsofevaluatingthedoublelimitsandthemethodusedtodemonstratethatthereisn’tdoublelimitarediscussedinthispaperonthebasisofteachingexperienceoftheauthor.

Keywords:functionofseveralvariables,doublelimit,progressivelimit