反函数题目

1) 的值为( ) 2

1A. 2 B.1 C. D.-1 2

11解析:令f(x)＝2x ＝, 则x ＝-1, 故f -1() ＝-1, 故选D. 221. 设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x , 则f -1(

答案:D

2. 若函数y ＝f(x-1)的图象与函数y =ln x +1的图象关于直线y ＝x 对称, 则f(x)等于…

( )

A.e 2x-1 B.e 2x C.e 2x+1 D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数y =ln x +1的图象关于直线y ＝x 对称, 可知y ＝f(x-1)与y =ln x +1互为反函数, 有y =ln x +1⇒ln x =y -1⇒x =e y -1⇒x ＝e 2y-2, 所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2. 故f(x)＝e 2x .

答案:B

3. 已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数, 若mn ＝16(m,n∈R +), 则f -1(m)+f-1(n)的值为( )

A.-2 B.1 C.4 D.10 解析:设y ＝2x+3, 则有x+3＝log 2y, 可得f -1(x)＝log 2x-3.

于是f -1(m)+f-1(n)＝log 2m+log2n-6＝log 2mn-6＝-2.

答案:A

⎧2x , x ≥0, 4. 函数y =⎨的反函数是( ) 2⎩-x , x

⎧x ⎧2x , x ≥0⎪, x ≥0A. y =⎨2 B. y =⎨ ⎩-x , x

⎧x ⎧2x , x ≥0⎪, x ≥0C. y =⎨2 D. y =⎨

⎩--x , x

解析:当x ≥0时,y ＝2x, 且y ≥0, ∴f -1(x ) =x (x≥0). 2

当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴f -1(x ) =--x (x＜0).

⎧x ⎧2x , x ≥0, ⎪, x ≥0, ∴函数y =⎨的反函数是 y =⎨22⎩-x , x

答案:C

6. 设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位, 再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A. y =

C. y =f -1(-x ) -11-f -1(-x ) B. y = 221-f (x ) f (x ) -1 D. y = 22

解析:由题意知, 最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f (-y),x =-1f -1(-y ) -1f , 故所求函数的反函数是y =2-1(-x ) -1. 2

答案:A

7. 设f(x)＝x 5-5x 4+10x3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.

解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴f -1(x ) =x -2+1.

答案:x -2+1

8. 已知函数f (x ) =

解: 由y =

∴x =x +1,g(x)＝f -1(-x),求g(x). x -1x +1, 得xy-y ＝x+1, x -1y +1, 即f y -1-1(x ) =x +1. x -1

∴g(x)＝f -1(-x)＝

x -1. x +1

9. 已知函数f(x)＝2(11-x )(a＞0且a≠1). 2a +1

(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);

(2)判定f -1(x)的奇偶性；

(3)解不等式f -1(x)＞1.

a x -1解:(1)化简，得f (x ) =x . a +1

a x -11+y x 设y =x , 则a =. 1-y a +1

∴x =log a 1+y . 1-y

∴所求反函数为

1+x (-1＜x ＜1). 1-x

1-x 1+x -11+x -1=log a () =-log a =-f -1(x ) , (2)∵f (-x ) =log a 1+x 1-x 1-x y =f -1(x ) =log a

∴f -1(x)是奇函数. (3)log a 1+x >1. 1-x

当a ＞1时，

原不等式⇒

∴1+x (1+a ) x +1-a >a ⇒

⎧1+x 0, ⎪⎩1-x

a -1⎧x 1, ⎪解得⎨ 1+a ⎪⎩-1

∴-1＜x ＜a -1. 1+a

a -1,1); a +1

a -1当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，). a +1综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(