数列与函数的极限公式概念

极限与连续

一、数列的极限定义：

1、给定数列{ }，如果当n

A ，则称数列{ }以A 为极限，记作： =A或者 (n )

2、当数列{ }以实数A 为极限时，称数列{ }收敛于A ，否则称数列{ }发散。

二、数列极限的性质： 1) 极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 =a，则 =a

2) 有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）

123n , 则它的极限为3 3）数列的极限：如数列：2, 2, 2, , 2+234n +1

n n ) =lim 2+lim =2+1=3 即：lim (2+n →∞n →∞n +1n +1n →∞

三、几个需要记忆的常用数列的极限 1n +1a =a (a 为常数) q n =0 (q

四、运算法则：

b =B 如果 lim a =A l i m n →∞n →∞

m a ⋅b ) =A ⋅B lim 则： lim (a ±b ) =A ±B l i (n →∞n →∞a A =, (B ≠0) n →∞b B

二、函数极限：

函数极限 =A的充分必要条件是 = =A 函数极限 =A的充分必要条件是 = =A

分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.

即 存在 =

函数极限的性质：

1) 极限的惟一性：若函数f(x)当 （或 ）时有极限，则其极限惟一.

极限运算法则：

设limf(x)=A,limg(x)=B,则

1)lim[f(x) ]=A B

2)lim[f(x)g(x)]=AB

3) 当B 时，lim =

4)lim[cf(x)]=climf(x) (c为常数)

5）lim[f(x) = [limf(x) (k为常数)

小结：当 , 时，有 ．．． = 当 时 当 时 当 时

复合函数运算法则： =

数列的夹逼准则：设有3个数列{ }{ }{ },满足条件：

1） （n=1,2,…）；

2） = =a，则数列{ }收敛，且 =a

函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：

1）g(x) f(x) h(x);

2) =A, . 则极限 存在且等于A.

单调有界准则：单调有界数列必有极限. 即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.

两个重要的极限：

重要极限Ⅰ： =1

=e , (1+x =e 重要极限Ⅱ： (1+

无穷小的性质：

1) 有限个无穷小的代数和为无穷小.

2) 有界变量与无穷小的乘积为无穷小.

3) 常量与无穷小的乘积为无穷小.

4) 有极限的量无穷小的乘积为无穷小.

5) 有限个无穷小的积为无穷小.

在某个自变量变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+ (x). 其中 (x)是该自变量变化过程中的无穷小量.

无穷小的比较：设 = (x) ， = 都是自变量同一变化过程中的无穷小.

1. 若lim =c (c , 是常数) ，则称 与 是同阶无穷小.

2. 若lim =1，则称 与 是等价无穷小，记作 ~ .

3. 若lim =0，则称 与 是高阶无穷小，记作 =o( )

4. 若lim =c(c ,k 是正整数), 则称 与 是k 阶无穷小.

5. ~ 的充要条件为 - 是 (或 ) 的高阶无穷小, 即 或

6. , , , , 都是自变量同一变化过程中的无穷小, 且 ~ , ,lim 存在，则有lim 常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能]

x 时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ ;

1-cosx~

常用等价无穷小：当变量x →0时， ；(1+x -1~ax(a ) ; -1~xlna(a 0, a ); - 1~ sin x ~x , tan x ~x , arcsin x ~x , arctan x ~x , e x -1~x , ln(1+x ) ~x ,1-cos x ~

- 1~

无穷大：函数无穷大 无界

x 时，若f(x)为无穷大，则 为无穷小；

x 时，若f(x)为无穷小，且在 的某去心邻域内f(x) , 则 .

α

~x , (1+x ) -α1．~x 12x , 2

[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]

初等函数：

连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

如果f(x)是初等函数， 是其定义区间内的点，则 =f( ).

最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.

有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.

介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数 ，

在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使得f( )= .

零点定理(根的存在性定理) ：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a) f(b) ) ，

在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使得f( )=0

1、0/0型：

方法：将分子分母分解因式（消去公因子）

或者将分子有理化（有理化），再求极限。

1、

方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂。