运动稳定性理论在结构动力分析中的应用

第14卷第3期1997年8月工　　程　　力　　学ENGINEERINGMECHANICSVol.14No.3Aug.1997运动稳定性理论在结构动力分析中的应用

沈祖炎　　　　　　叶继红

　　　　　　　　　　　　(同济大学,上海200092)　　　(哈尔滨建筑大学,哈尔滨150008)X

提　要　本文应用李雅普诺夫一次近似理论,推导了单自由度体系及多自由度体系的非线

性动力稳定判别准则。通过典型算例比较,该准则比B-R准则更加严密,适用范围也更加广泛。

关键词　运动稳定理论,动力稳定判别准则,B-R准则

一、引　　言

俄国伟大数学家李雅普诺夫是第一个给出运动稳定性以精确数学定义并普遍而系统地解决了运动稳定性问题的学者,他本人创立了两个方法:直接法和间接法,通常所说的运动稳定性理论,主要指的是直接法的理论。

二、运动稳定性理论的简要介绍

1.运动稳定问题的分类

首先,按右端项是否显含t,可将一般系统分为:

1、非定常系统(非驻定系统)　　　　xa=X(x,t)

2、定常系统(驻定系统)　　　　　　xa=X(x)

其次,按右端项中x1,…,xn的出现方式,是线性的还是非线性的函数,可将系统分类:

22

为:

1、线性系统;

2、非线性系统。工　　程　　力　　学

这样,得到以下四种系统的基本模型:

1、定常线性系统　　　　　　　　　　xa=Ax

2、定常非线性系统　　　　　　　　　xa=X(x)

3、非定常线性系统　　　　　　　　　xa=A(t)x(1)(2)(3)

4、非定常非线性系统　　　　　　　　xa=X(x,t)(4)

2.驻定系统的一次近似稳定性理论

假设驻定非线性系统(2)式的函数X(x)在域-BH(-BH:‖x‖≤H,H>0)内具有连续一阶偏导数5X(x)/5x,根据泰勒公式将式(2)写成

*xa=Ax+X(x)(5)

式中

15x1x=0…

…

…15xn…nnx=0A==…n1

*(6)　　‖X*(x)‖=0(‖x‖),即当‖x‖→0时→0‖x‖

方程

称为式(2)的一次近似。

驻定系统的一次近似稳定性理论就是要通过驻定系统的非线性微分方程(2)的一次近似来判断原方程(2)的稳定性。下面两个定理是一次近似理论的主要结论。证明过程参见文献[1]。定理1:如果一次近似式(8)的一切特征根的实部为负,则方程(2)的无扰运动是渐近稳定的。

定理2:如果一次近似式(8)的特征根中至少有一个根的实部为正,则方程(2)的无扰运动是不稳定的。

利用一次近似判断稳定性无须寻找李雅普诺夫函数,所以这一理论的实用价值很大。xa=Ax(7)(8)

三、结构运动稳定判别准则的推导

运动稳定性理论在结构动力分析中的应用23

个重要特征:它在相空间的方向场X(x)保持不变。非驻定系统就失去了这个特征,它的解的结构十分复杂,但笔者认为,可以借鉴周期系统稳定问题的解决方法,经过适当变换,将非驻定系统化为驻定系统,从而应用驻定系统的一次近似稳定性理论解决大型复杂结构的动力稳定问题。

1.一次近似稳定性理论应用于运动方程

在外荷载P(t)作用下,结构非线性运动方程为b+Fb(VaMV)+Fk(V)=P(t)

其中Fb和Fk是阻尼力和恢复力,它们是速度Va和位移V的非线性函数。(9)

为了简化计算,工程上常常假定在荷载作用时间的每一微小时段内,结构质量、刚度、阻尼性质保持常量不变。同理,在这一微小时段内,非驻定系统可视为驻定系统,从而下面增量形式的基本运动方程成立。

[M]{△Vb(t)}+[C(Va)]{△Va(t)}+[K(v)]{△v(t)}=△P(t)(10)

其中[M]是结构的质量矩阵,一般假定整个运动过程中保持常量;[C(Va)]、[K(v)]分别是结构的阻尼矩阵和刚度矩阵,它们是Va和V的非线性函数。

通过某些具体的时间积分算法及Newton-Raphson迭代法,可求得结点位移增量△V(i)。这种结点位移的修正在迭代中一直进行到不平衡荷载和增量位移很小为止,则第t+△t时刻的位移可表示为

　V=V+△V(11)

此时,在t+△t时刻,运动方程被近似满足,即b(i)}+[C(t+△tVa(i)(i)[M]{t+△tV)]{t+△tVa}+[K(t+△tV(i))]{t+△tV(i)}=P(t+△t)(12)设满足初始条件的方程(9)的特解为

y*=f(t)

设对这一特解的微小扰动为

y=V-y*=V(t)-f(t)

式中V(t)为方程(9)的任一解,则

V(t)=y+f(t)(15)

将式(15)代入式(12),有b+fb(t)}+[C(Va[M]{y(t))]{ya+fa}+[K(V(t))]{y+f(t)}=P(t)(16)因为f(t)为方程(9)特解,满足方程(9),故在t时刻,也满足近似方程(12)。因此,式(16)可化简为b+[C(Va[M]y(t))]ya+[K(V(t))]y=0(17)方程(17)即为在离散的各△t时刻,对特解y*=f(t)的扰动方程。方程(12)即为对应于扰动方程的无扰运动方程。

引入状态变量

(14)(13)t+△t(i)t+△t(i-1)(i)

24工　　程　　力　　学

并由式(15),扰动方程(17)化为如下形式ya1=y2

2a1ay2=-y2-y1[M][M](18)

采用李雅普诺夫一次近似理论,将方程组(16)在原点附近用泰勒级数形式展开,以化成线性形式

式中

a=Za=AõZZya1　　　　　　Z=ya2

=5zy1y2(19)5Z1(z)5Z1(z)…5z15zn…　　　　　…

5Zn(z)5Zn(z)…5z15znA=z=0

　　　　　　　　　　0

　=-111-[M][M]5y1

　　　　　　　　　　I

　　　2a22a-[M][M]5y2

　=　　　0　　　　　　Ia--[M][M]y=01y=022n×2n

　　至此,可以根据矩阵A特征根的实部的符号性质,判定原非线性系统即无扰运动的运动稳定性。但是,如果将2n×2n阶A矩阵的特征根逐一求出加以考查,无疑是很繁琐的,而且当n的阶数较高时,这种方法是难以实现的。

2.单自由度体系的动力稳定判别准则

当n=1时,矩阵A简化为如下形式

A=

它的特征方程

　-K　　　　　　1

=0a-　--Kmm

(21)　　0　　　　　1a-　-mm(20)

运动稳定性理论在结构动力分析中的应用

求解方程(21),得到25

-(22)mm设质量取正,阻尼取正,刚度可正,可负或为零,存在下列五种情况:

21,K2具有负实部,根据定理1,原系统渐近稳定。当>m>0时,特征根Km2当2

2当2=时,K1=K2=-,原系统渐近稳定。mm2m

当=0时,K1=0,K2=-,原系统处于临界状态。mm

当

综上所述,对于单自由度体系,质量M取正,阻尼取正,当刚度K小于零时,原系统不2a1,2=-K±2m2稳定;当刚度K大于零时,原系统渐近稳定。这就是单自由度体系的动力稳定判别准则。

3.多自由度体系的动力稳定判别准则

对于多自由度体系,在第m时段,无扰运动方程(9)可近似化为(12)的形式。通过直接积分法及Newton-Raphson迭代法求得响应。同时,方程(9)的响应也可以通过振型分解法及Newton-Raphson迭代法求得。从数学的观点看,两种分析方法所得到的解是相同的。阻尼取为瑞利阻尼。因此,方程(9)可化为n个广义单自由度体系,第j个非耦合的运动方程为bj+cjyaj+kjyj=pj(t)　　(j=1,2,…,n)mjy(23)

TTTT其中,mj=5j[M]5j,cj=5j[c(va)]5j,kj=5j[k(v)]5j,pj=5jP(t)分别为广义质量,广义阻

尼,广义刚度和广义力。5j为第j个振型。

式(23)是一近似方程。因为t+△t时刻及△t时段内的迭代次数i具有普遍意义,所以略去上下角标。

至此,已将多自由度体系转化为N个互不耦连的单自由度体系。因此,多自由度体系的动力稳定判别准则可作如下表述:

准则1　在第m时段,设质量矩阵[M]取正,阻尼矩阵[c(va)]取正,如果广义刚度k1,k2,…,kn皆大于零,则原多自由度体系渐近稳定;如果某些广义刚度为零,其他的均大于零,则原体系处于临界状态;如果至少有一个广义刚度小于零,则原体系不稳定。

对于一般的建筑结构只要取前几个振型的广义刚度进行运动稳定性判别就可以了。但对于振型密集型结构,例如单层网壳,只取前几个振型极有可能导致错误的结论。但如果取较多的振型进行分析,又会导致计算量的大幅增加。

在式(23)中,kj=5j[k(v)]5j,又因为[k(v)]是实对称矩阵。因此,判定k1,k2,…kn的符号性质,即是判定二次型5j[k(v)]5j　(j=1,2,…n)的符号性质。

3TTT

26工　　程　　力　　学

a11　a12

a21　a22a11　…　a1n>0,…,…　　　…>0an1　…　ann(24)a11>0,

证明过程见文献[2]或[3]。

定理3说明,对于多自由度体系运动稳定性的判别,即是判定切线刚度矩阵左上角的各阶主子式行列式的符号性质。如果满足式(24),则原体系是渐近稳定的。采用LDLT分解法,在每一△t时段,将切线刚度矩阵分解为如下形式

[K]=[L][D][L]T(25)

其中,[L]是主元为1的下三角行列式,[D]是对角形矩阵

D1　0　…　0

[D]=0　D2　…　0

…　…　　…

0　0　…　Dn

　　由矩阵分解过程还可以知道,矩阵[K]和[D]的左上角各阶主子式的行列式是相等的。因此,二次型5j[k(v)]5j是否正定完全可以由[D]矩阵判别。因此,多自由度体系的动力稳定判别准则还可作如下表述:

TT(26)准则2　在第m时段,设质量矩阵[M]取正,阻尼矩阵[C(va)]取正,对刚度矩阵[k(v)]T进行LDL分解,即[K]=[L][D][L],如果矩阵[D]的所有主元皆为正,则原体系渐近稳定;如果矩阵[D]出现至少一个小于零的主元,则原体系是运动不稳定的;如果矩阵[D]的某些主元为零,而其他的主元大于零,则原体系处于临界状态。

在实际计算中,临界情况极少遇到。

对只取少量振型便可进行分析的结构采用准则1判定其运动稳定性是可行的。对于类似网壳的结构,采用准则2判定其运动稳定性则是比较经济实用的。

本文的动力稳定判别准则在推导过程中,未涉及动荷载P(t)的形式。因此,该准则适用于P(t)的任意形式,诸如简谐荷载、冲击荷载、阶跃荷载及地震作用等。

四、典型算例的比较与分析

歌德斯克穹顶网壳杆件绕端截面两主轴惯性矩分别为I1=0.295cm4,I2=2.377cm4,扭转惯性矩为J=0.918cm4。

如图1所示的歌德斯克网壳,文献[4]应用B-R判别准则,考查了该网壳在简单荷载作用下(如图2)荷载作用点为结点1的运动稳定性能。笔者根据本文的准则2,也对该结构进行运动稳定分析,并与文献[4]进行比较。

根据准则2所求得的动力失稳荷载对应的是一个区域。这里规定:荷载区域的下界对应;

运动稳定性理论在结构动力分析中的应用271.简谐荷载

当外荷载振动周期为0.025秒时,失稳荷载区域为750～900N。文献[4]的临界荷载值为810N,包含在本文的失稳区域内,说明本文准则与应用较为广泛的B-R准则是相协调

统一的。

图1

　歌德斯克穹顶网壳

图2　简单动荷载形式

2.阶跃荷载

在节点1突加阶跃荷载,相应的动力失稳荷载区域为260～340N。文献[4]的动力失稳临界值为305N,也包含在本文的失稳区域范围内。

3.

28工　　程　　力　　学

作用于结点1的脉冲荷载,当持续时间为0.1秒时,动力失稳荷载区域为320～380N。文献[4]的动力稳定临界值约为420N,与本文计算结果基本相符。当脉冲持续时间延长至1.0秒时,运动失稳荷载区域为250～350N。文献[4]的动力稳定临界值约为340N,与本文计算结果吻合较好。

五、结　　论

本文所推导的动力稳定判别准则与B-R准则是相协调统一的,且更具有严密性。本准则适用范围更加广泛,不限于动荷载与结构的形式。

参　考　文　献

1　　舒仲周.运动稳定性.西南交通大学出版社,1989;2

2　　王光亮译.运动稳定性.国防工业出版社,1959

3　　柯召译.矩阵论.高等教育出版社,1955

4　　孙建恒,夏亨熹.网壳结构非线性动力稳定分析.空间结构,创刊号,1994

5　　叶继红.单层网壳结构的动力稳定分析.同济大学博士学位论文,1995;6

STRUCTURALDYNAMICANALYSIS

BYMOTIONSTABILITYTHEORY

　　　　　ShenZuyan　　　　　　　　　　　　　　YeJihong

(TongjiUniversity,Shanghai200092)　(HarbinUniversityofCivilEngineeringandArchitecture,Harbin150008)Abstract　Basedonmotionstabilitytheory,thecorrespondingcriteriaofliapunov'sstabilityfortheSDOFandMDOFnonlinearsystemsareestabilishedinthepaper.Throughanalysisofatypicalexample,thecriteriainthepaperaremorepreciseandcouldbeusedmorewidelythanB-Rcriterion.

Keywords　motionstabilitytheory,criteriaofliapunov'sstability,B-Rcriterion