概率论与数理统计C的习题集-计算题

一、概率公式的题目

1、已知P =0.3, 解：P B A ⋃B =

()

P (B )=0.4,

P ()=0.5, 求

P B A ⋃.

()

()

P A ⋃P (AB )

=

P (A )-P ()P (A )+P B -P =

0.7-0.51

=

0.7+0.6-0.54

2、已知P (A )=0.7, 解：

P (B )=0.4, ⎤P ⎡⎣A (⋃B )⎦P ⋃B P (AB )=0.2, 求=

P (AB )

P A ⋃B .

()

P A ⋃B =

()

P +P B -P =

0.22

=。

0.7+0.29

(k =0,1,2 ) ，

e -1

3、已知随机变量X P (1)，即X 有概率分布律P {X =k }=

k !

并记事件A ={X ≥2},

（1）P (A ⋃B )； （2） P (A -B )； （3） P B 。B ={X

()

解：（1）P (A ⋃B )=1-P A ⋃B =1-P () =1-P {X

-1

()

（2）P (A -B )=P () =P {X ≥2, X ≥1}=P {X ≥2}=1-P {X =0}-P {X =1}=1-2e -1;

P {X

====. （3）P B =

P X

P ()

5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统A , B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设A =“系统A 有效”, B = “系统B 有效”,

P (A )=0.92, P (B )=0.93, P B A =0.85,

()

(1). P (A ⋃B )=P (A )+P (B )-P (AB )=P (A )+P ()=P (A )+P ()P (B )=0.988

P ()-P ()P ()-P ()P ()0.07-0.08⨯0.15()====0.829 (2). P (A B )=

0.07P B P B P B P AB

6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为概率为

4

，刮风（记作事件B ）的15

71，既刮风又下雨的概率为，求(1)P (A B ); (2)P (B A ); (3)P (A ⋃B )。 1510

1

P (AB )3

=10=； 解：(1)P (A B )=7P B 14

15

1

P (AB )3

(2)P (B A )===

4P A 815(3)P (A ⋃B )=P (A )+P (B )-P (AB )=

47119+-=。 15151030

7. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假

设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P (A B ) =

=

P (A ) P (B A ) P (AB )

=

P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )

0.5⨯0.0520

=

0.5⨯0.05+0.5⨯0.002521

8. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A

的概率为0.01. 信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1. 若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

P (A C ) =

=

P (A ) P (C A )

P (A ) P (C A ) +P (A ) P (C A )

2/3⨯0.98

=0.99492

2/3⨯0.98+1/3⨯0.01

9. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个

次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P (A B ) =

=

P (A ) P (B A ) P (AB )

=

P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )

0.96⨯0.98

=0.998

0.96⨯0.98+0.04⨯0.05

10. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞

机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

P (A ) =∑P (A |B i ) P (B i )

i =0

3

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7

二、已知密度（函数）求概率的题目

⎧100

，　x ≥100⎪⎪x 1、某批晶体管的使用寿命X(小时) 的密度函数 f (x ) =⎨，

⎪⎪⎩0，　x

任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

　+∞ 　+∞　+∞1001002

p =P (X >150) =f (x ) dx ==-= 2　150　150

⎰⎰

x x

　150

3

设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则Y ~B (3,

2

) . 故有 3

108323

P (Y =3) =C () ⋅() =3 3327

2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个

2

⎧⎪12x (1-x )随机变量X ，它的分布密度为f (x )=⎨⎪0⎩

0

，

若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？

解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需

要即实际耗电率大于供给耗电率。所以

P {X >0.8}=⎰f (x )dx =⎰12x (1-x )dx =0.0272。

0.8

0.8

11

2

令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y ~B (5,

2

) ，3

21⎫⎧11

P (Y ≥2) =1-P (Y

33⎭⎩3

1+5⨯211232=1-=1-=5

2432433

三、分布函数、密度函数的题目

0⎧

⎪x ⎪

1、设随机变量X 的分布函数为F (x ) =⎨A +B arcsin

a ⎪

1⎪⎩

(1) 求系数A ，B ； (2) 求P ⎨-

x ≤-a -a

x >a

，

a ⎫⎧a

2⎭⎩2

1π⎧⎧

A =A -B =0⎪⎪2 2解：（1）由F(x)在-a , a 处的右连续性知⎨ 解之得⎨

1π

⎪A +B =1⎪B =

π2⎩⎩

（2）P ⎨-

a ⎫⎧a ⎛a ⎫⎛a ⎫1

2⎭⎩2⎝2⎭⎝2⎭3

x

（3）因为f (x ) =

F ' (x ) ，则f (x ) =0⎩

x ≥a

⎧0, ⎪2

2设随机变量X 的分布函数为 F (x )=⎨Ax ,

⎪1, ⎩

x ≤00

x >1

，

求：(1) 常数A ； (2) P {0.3

F (x )=1，所以A =1； 解：（1）由分布函数的右连续性知：F (1)=A =lim +

x →1

（2）P {0.3

⎧2x ,

⎩0,

0

。

⎧A +Be -2x , x >0

3设连续性随机变量X 的分布函数为 F (x ) =⎨ ，

0, x ≤0. ⎩

求：(1)常数A ，B ； (2)P {-1

解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：

-2x

⎧F (0)=0=lim F x =lim A +Be =A +B ()⎧A +B =0⎧A =1⎪x →0+x →0+

，所以； ⇒⎨⎨⎨

A =1B =-1F (+∞)=1=lim F (x )=A ⎩⎩⎪x →+∞⎩

（2）P {-1

-2

⎧2e -2x ,

（3） f (x ) =F '(x )=⎨

⎩0, ⎧e -x ,

5随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨

⎩0,

x >0x ≤0

。

x >02

；求Y =X 的概率密度． x ≤0

、解：分别记X ，Y 的分布函数为F X (x ) ，F Y (y )

由于y =x 2≥0，故当y ≤0时，F Y (y )=0 当y =x 2>0时, 有F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=P (-=

y ≤X ≤y )

⎰

y

-y

f X (x ) d x =⎰e -x d x =1-e -y

y

将F Y (y ) 关于y 求导数，即得y 的概率密度为

1-y ⎧-y -y

''(1-e ) =-e (-y ) =e , y >0⎪

2y f Y (y ) =⎨

⎪0其它⎩

P (A ) =

111

, P (B ) =, P (A B ) =432；令

7（12分）设A 、B 为随机事件，且

⎛1

X = 0

⎝

A 发生

；

A 不发生

⎛1；Y = 0

⎝

B 发生B 不发生

求1、二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布；2、判定X 与Y 是否相互独立

111

解：P {X =1，Y =1}=P (AB ) =P (A ) P (B A ) =⨯=

4312

111

P {X =1，Y =0}=P (A B ) =P (A -B ) =P (A ) -P (AB ) =-=

4126

P {X =0，Y =1}=P (B A ) =P (B -A )

P (AB ) 111

=P (B ) -P (AB ) =-P (AB ) =-=

P (A B ) 61212

P {X =0，Y =0}=P (A B ) =P (A +B ) 2

=1-P (A +B ) =1-P (A ) -P (B ) +P (AB ) =

3

因为P {X =0，Y =0}=

21

≠P {X =0}P {Y =0}=，则X 与Y 不相互独立„„„12分 32

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？

(2) 因P {X =2} P {Y =0.4}=0.2⨯0.8=0.16≠0.15=P (X =2, Y =0.4), 故X 与Y 不独立.

⑴ 求a , b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质与b.

【解】⑴ 因为

∑∑p

i

j

ij

=1确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a

∑∑p ij =1，所以

i

j

111111

+b +a +++=1, 因此 a +b =.

2484248

⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有x i , y j 有 P X =x i , Y =y j =P (X =x i )Y =y j , 于是 a =P (X =2, Y =1)=P (X =2)(Y =1)=

()()

11⎛1⎫⎛1⎫

+a ⎪+a ⎪, 解得 a =或a =.

122⎝4⎭⎝6⎭

同理 b =P (X =1, Y =2)=P (X =1)(Y =2)= +B ⎪+b ⎪, 解得 b =再由a +b =

⎛1

⎝8⎫⎛3⎭⎝8⎫⎭

13或b =. 88

1113

. 知 a =, b = 【解毕】 24128

【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的x i , y j 应有P X =x i , Y =y j =P (X =x i )Y =y j ,

()()

因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如

P (X =3, Y =1)=

1111⎛1⎫

, 而P (X =3)(Y =1)=∙ +a ⎪, 可求得a =; 又P (X =3, Y =2)=, 而

122486⎝6⎭

13

求得b =. 这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 88

10、 变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(X , Y )的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：

【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从p 11+知p 11=p 1 ⨯. 从而知p 1 =【解】 利用p i =数值，故p 11=

=, 求得p 11=, 再利用独立性8624

1

61

, 等等. 4

∑p ; p

ij j

j

=∑p ij 以及

i

∑p =∑p

i i

j

j

=1 与独立性 p ij =p i p j . 求解空格内的

1111113-=, p 11=p 1 p 1=p 1 ⨯, 即p 1 =, 又由p 1 +p 2 =1, 可得p 2 =1-=. 68246444

13111, p 22=, p 2, p , p 反复运用上列公式，可求得 p 13=3 . 128423

将算得的数值填入表中的空格内，即得

12、随机变量（X ，Y ）的概率密度为

⎧4.8y (2-x ), 0≤x ≤1, 0≤y ≤x ,

f （x ，y ）=⎨

0, 其他. ⎩

求边缘概率密度.

【解】f X (x ) =

⎰

+∞

-∞

f (x , y )d y

x

2⎧⎪⎰04.8y (2-x )d y ⎧2.4x (2-x ), 0≤x ≤1,

=⎨ =⎨

其他. ⎩0, ⎪⎩0,

f Y (y ) =

⎰

+∞

-∞

x f (x , y ) d

⎧14.8y (2-x )d x ⎧2.4y (3-4y +y 2), 0≤y ≤1,

⎪

=⎨ =⎨⎰y 0, 其他

. ⎩⎪⎩0,

13维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

⎧e -y , 0

其他. ⎩0,

求边缘概率密度. 【解】f X (x ) =

⎰

+∞

-∞

f (x , y )d y

+∞

-y -x ⎧⎪⎰x e d y ⎧e , x >0,

=⎨ =⎨

其他. ⎩0, ⎪⎩0,

f Y (y ) =⎰

+∞

-∞

f (x , y )d x

y

-y -x ⎧⎪⎰0e d x ⎧y e , y >0,

=⎨ =⎨

其他

. ⎩0, ⎪⎩0,

16 知随机变量X 和Y 联合概率密度为 f (x , y )=⎨求⑴ 条件密度f X |Y (x |y )及f Y |X (y |x );

⎧4xy , 0≤x

0, 其他⎩

【解】⑴ 由于X 的边缘密度为 f X (x )=

+∞

-∞

⎰

⎧1

⎪4xydy , 0≤x

f (x , y )dy =⎨⎰=⎨ 0

⎩0, 其他. ⎪0, 其他

⎩

同理，有 f Y (y )=

+∞

-∞

⎰

⎧2y , 0≤y

f (x , y )dx =⎨

0, 其他⎩

⎧4xy

, ≤ x 0

故当00，且 f X |Y (x |y )= 2y =⎨

f Y y ⎪

⎩0, 其他

从而，在{Y =y }条件下，X 的条件密度为 f X |Y (x |y )=⎨

1,

⎧2x , 0≤x

0, 其他⎩

y

⎩0, 其他

32

同样可得，在{X =x }条件下，Y 的条件密度为 f Y |X (y |x )=⎨

17、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，2]上的均匀分布且相互独立．

1．写出二维随机变量（X , Y ）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求P {X +Y ≤． 解：(1)由题意得：

⎧1⎧1

, 0≤x ≤2⎪, 0≤y ≤2⎪

f Y (y ) =⎨2 f X (x ) =⎨2

⎪⎪⎩0, 其它⎩0, 其它

又∵ X, Y 相互独立

⎧1

⎪,

∴ f (x , y )=f X (x ) f Y (y )=⎨4

⎪⎩0,

(2) P {X +Y ≤}=

0≤x ≤20≤y ≤2其它

32

⎰⎰

x +y ≤

f (x , y ) d x d y =

32

x +y ≤

1

⎰⎰34x d y

2

=

⎰

320

d x ⎰

3-x 20

19d y =

324

四、正态分布、中心极限定理、

1、调查某地方考生的外语成绩X 近似服从正态分布，平均成绩为72分，

96分以上的占考生总数的2.3% 。试求：

（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率；

（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ Φ(1)=0. 8413， Φ(2) =0. 977 ） 解：依题意，X ~N (72,σ2) 且P {X ≥96}=0.023

0.023=1-P {X ≤96}=1-Φ(

96-72

σ

) 查表得⇒σ=12

(1)P {60≤X ≤84}=2Φ(1) -1=0.6826 (2) P {X ≥60}=Φ(1) =0.8413

(3)设全班人数为n ， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则n =

2

，则不及格人数为0. 1587n ≈14 0. 023

2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布N (65,100)，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。Φ(2)=0.9772 解：依题意，X ~N (65,100)，85分以上学生为优秀，则

()

⎧X -6585-65⎫

P {X ≥85}=1-P {X

10⎭⎩10

所以优秀学生为2.28%。

2

4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X ~N 170,6，

()

问车门的高度应如何确定？（Φ(2.33)=0.99） 解：设车门的高度为x 厘米，则

⎧X -μx -μ⎫⎧X -170x -170⎫P {X ≤x }=P ⎨≤≤⎬=P ⎨⎬≥1-0.01=0.99， Φ(2.33)=0.99

σ⎭6⎭⎩σ⎩6

所以

x -170

=2.33, 6

x 183.98。即车门的高度至少要183.98厘米。

2

5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X N 168,7，

()

问车门的高度应如何确定？(Φ(2.33)=0.99) 解：设车门的高度为x 厘米，则

⎧X -μx -μ⎫⎧X -168x -168⎫

P {X ≤x }=P ⎨≤=P ≤⎬⎨⎬≥1-0.01=0.99，

σ⎭7⎭⎩σ⎩7

Φ(2.33)=0.99 所以

x -168

=2.33, 7

x 184.31。即车门的高度至少要184.31厘米。

7. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于

90%，问这批产品至少要生产多少件？

⎧1, 若第i 个产品是合格品,

【解】令X i ⎨

⎩0, 其他情形.

而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n , 且

X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8.

， 令：X =∑x i , 则X 表示n 件产品中合格品的个数，X ~B （n , p ）

i =1n

由中心极限定理，则n 较大时，二项分布可近似的看成正态分布， 即X ~N (np , npq ) ，或

现要求n , 使得

合格品数X X -np

= ~N (0, 1) ，而n 件产品的合格品率=

总产品个数n npq

P {0.76≤

即

∑X

i =1

n

i

n

≤0.84}≥0.9.

X i -0.8n ∑P ≤≤≥0.9

由中心极限定理得

n

Φ-Φ≥0.9,

≥0.95, 整理得Φ查表≥1.64, 10⎝⎭

n ≥268.96, 故取n =269.

10某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20％，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量X .

（1） 写出X . 的概率分布；

（2） 利用中心极限定理，求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.

【解】 （1）据题意可知，100家索赔户中被盗的索赔户数X ~B (100,0.2)，即X 的分布律为

k

P (X =k )=C 100(0.2)

k

(0.8)

分

100-k

, k =0,1, 2, ,100.

可

近

似

的

看

成

服

从

正

态

分

布

N 较大时，二项布

X ~B （n , p ）⇒X ~N(np,npq ⇒

X -np npq

~N(0,1))

（2）由

np =100⨯0.2=

4利用德莫佛－拉普拉斯定理知

P (14≤X ≤30)

⎛⎫

=P ≤≤

X -20⎛⎫

=P 1.5≤≤2.5⎪

4⎝⎭

≈Φ(2.5)-Φ(-1.5)=Φ(2.5)+Φ(1.5)-1=0.994+0.933-1=0.927

【解毕】

【技巧】 德莫佛－拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用, 运用此定理计算概率近似值时，其关键是：“标准化”和“正态近似”，当n 越大时，所得得近似值越精确.

11、一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.

【解】 设随机变量X 表示所取6000粒种子中良种的粒数，由题意可知，X ~B 6000, ⎪, 于是

⎛

⎝1⎫6⎭

1

=1000, 6

155

DX =np (1-p )=6000⨯⨯=⨯1000.

666

EX =np =6000⨯（1）

要估计的概率为P

⎛X 11⎫

-

中取ε=60. 于是由切比雪夫不等式可得

⎛X 11⎫DX P -

51

=1-⨯1000⨯

63600=0.7685,

（2）

由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，二项分布B 6000, ⎪可用正态分布

⎛⎝1⎫6⎭

5⎛⎫

N 1000, ⨯1000⎪近似。于是所求概率为

6⎝⎭

⎛X 11⎫

P -

X -1000

【解毕】

【寓意】 从本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685，而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625. 从而可知，由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求较低，只需知道X 的期望与方差，因而在理论上由许多应用.

五、数学期望、方差的题目

⎧1+x , -1≤x

⎪

1、 设随机变量X 的概率密度为：f (x ) =⎨1-x , 0≤x ≤1，

⎪0, 其它⎩

求：E (X ), D (X )

解： E (X )=⎰xf (x )dx =⎰x (1+x )dx +⎰x (1-x )dx =0

-∞∞

∞01

-10

E (X

2

)=⎰

-∞

x f (x ) dx =⎰x (1+x )dx +⎰x 2(1-x )dx =

2

2-1

1

1 6

所以 D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=

16

⎧1

cos x , ⎪⎪2

5、已知随机变量X 的密度函数为f (x )=⎨

⎪0, ⎪⎩

x ≤x >

π

2

π

2

，

对X 独立观察3次，用Y 表示观察值大于布函数； （3）E (Y 2)

π

的次数。求：（1）Y 的分布律； （2）Y 的分6

π⎫π11⎧

解：令p =P ⎨X >⎬=π2cos xdx =sin x

6⎭622⎩

ππ2

=

6

1

4

k ⎛1⎫⎛3⎫

（1）Y 的分布律为：P {Y =k }=C 3 ⎪ ⎪

⎝4⎭⎝4⎭

k

3-k

, k =0,1,2,3. （2）

⎧0, ⎪27⎪, ⎪64⎪27⎪,

F (y )=⎨32

⎪63⎪, ⎪64⎪1. ⎪⎩

y

；

E (Y 2)=D (Y )+E 2(Y )=npq +n 2p 2

（3）

13⎛1⎫9=3⨯⨯+32⨯ ⎪=

44⎝4⎭8

2

1. 设随机变量X 的分布律为

求E （X ）【解】(1) E (X ) =(-1) ⨯

11111

+0⨯+1⨯+2⨯=; 82842

1212121522

(2) E (X ) =(-1) ⨯+0⨯+1⨯+2⨯=;

82844

1

(3) E (2X +3) =2E (X ) +3=2⨯+3=4

2

8设随机变量X 的概率密度为

⎧x , 0≤x

f （x ）=⎨2-x , 1≤x ≤2,

⎪0, 其他. ⎩

求E （X ），D （X ）. 【解】E (X ) =

⎰

+∞

-∞

xf (x )d x =⎰x d x +⎰x (2-x )d x

1

1

2

1

2

2

3

⎡13⎤⎡2x ⎤

=⎢x ⎥+⎢x -⎥=1.

3⎦1⎣3⎦0⎣

E (X ) =⎰

2

2

+∞

-∞2

x f (x )d x =⎰x d x +⎰x 2(2-x )d x =

1

2

1

3

2

7

6

故 D (X ) =E (X ) -[E (X )]=

1. 6

2

9X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求EX .

【解】 由题意知X ~B (10,0.4)于是

EX =10⨯0.4=4,

DX =10⨯0.4⨯(1-0.4)=2.4.

2

由DX =EX -(EX )可推知

2

EX 2=DX +(EX )=2.4+42=18.4.

2

10、X 服从参数λ=1的指数分布，求E X +e -2X . 【解】 由题设知，X 的密度函数为

()

⎧e -x , x >0,

f (x )=⎨

0, x ≤0. ⎩

且EX =1，又因为

+∞

Ee

-2X

=

-∞

⎰e

-2x

f (x )dx =

+∞

1-2x -x

e e dx =, ⎰30

14

=. 【解毕】 33

-2X

=EX +Ee -2X =1+从而 E X +e

()

【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.

11、设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1

Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数.

【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为X , Y 的线性组合也服从正态分布. 故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，X ~N (1,2), Y ~N (0,1). 从而由期望和方差的性质得

EZ =2EX -EY +3=5, DZ =2DX +DY =9.

2

又因Z 是X , Y 的线性函数，且X , Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知Z ~N (5,9)，于是，Z 的概率密度为

f Z (

z )=

-

(z -5)2

2⨯9

, -∞

【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.

13二维离散随机变量(X , Y )的分布列为

求：ρXY ，并问X 与Y 是否独立，为什么？ 【解】 X 与Y 的边缘分布列分别为

X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P

从而 EX =EY =0,

333322

P 888888

32332

EX 2=EY 2=(-1)⨯+02⨯+12⨯=,

8884

3

从而 DX =DY =,

4

又由于

EXY =∑∑x i y j p ij =∑x i ∑y j p ij

i =1j =1

j =1

j =1

3333

=(-1)⨯⎢(-1)⨯+0⨯+1⨯⎥+0+1⨯⎢(-1)⨯+0⨯+1⨯⎥

888888

⎡⎣

111⎤⎦⎡⎣

111⎤⎦

=0.

所以 Cov (X , Y )=EXY -EX EY =0.

从而

ρXY =

Cov X , Y =0.

因为P (X =-1, Y =-1)=

133

≠P (X =-1)P (Y =-1)=⨯, 所以X 与Y 不独立. 888

注释：通过本题目可以将离散型随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数及其独立性的定义及其

计算很好的巩固

14知随机变量X 与Y 分别服从正态分布N 1,32和N 0, 42，且X 与Y 的相关系数ρXY =-

()()

1

，设2

Z =

X Y

+, 求： 32

（1）Z 的数学期望EZ 和方差DZ ； （2）X 与Z 的相关系数ρXZ ；

【解】 （1）由数学期望的运算性质有

11⎛X Y ⎫1

EZ =E +⎪=EX +EY =.

23⎝32⎭3

由D (X +Y )=DX +DY +2Cov (X , Y )有

⎛X Y ⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛11⎫

DZ =D +⎪=D X ⎪+D Y ⎪+2Cov X , Y ⎪

⎝32⎭⎝3⎭⎝2⎭⎝32⎭1111

=2DX +2DY +2⨯⨯Cov (

X , Y ) 3232

111

=DX +DY +ρXY 943 =1+4-2=3.

（2）因为

X Y ⎫⎛

Cov (X , Z )=Cov X , +⎪

32⎭⎝

11

=Cov (X , X )+Cov (

X , Y )

32

11

=DX +ρXY 3211⎛1⎫

=⨯32+⨯ -⎪⨯3⨯4=0,

32⎝2⎭

所以

ρXZ =

Cov X , Z =0.