找规律经典解释"猫吃耗子"精析

“猫吃耗子”故事精析

一．生动故事引入，激起孩子的兴趣。

同学们，大家好！上课之前我给大家讲一个“猫吃耗子”的故事：从前有只猫，抓了50只老鼠，有一天它想把这群老鼠吃掉，它把老鼠们排成一排，从1到50编了个号，从1号开始，吃1只，隔1只，一直从排头吃到排尾，第二天又从第一天剩余的耗子队伍的排头，吃1只，隔1只。。。这样一轮轮吃下去。里面有一只耗子在咱们学而思学过奥数呢，特别聪明，它站在一个固定的位置上没有被吃掉，请问：聪明的小朋友们，你们知道这只聪明的耗子站在哪个位置上没有被吃掉么？ 我们不妨来做一个简单的罗列：

8 12 。。。。。。。。。第一次留下的耗子序号（2的倍数） ： 2 4 6 8 。。。。。。。。。46 48 50； 第二次留下的耗子序号（2的倍数） ： 4 8 12 16 。。。。。。。。40 44 48 ； 第三次留下的耗子序号（2的倍数） ： 8 16 24 32 40 48

第四次留下的耗子序号（2的倍数） ： 16 32 48

第四次留下的耗子序号（2的倍数） ： 32

所以最后留下的是站在32号位置上的耗子。

我们总结下：按照上述的这种规律，最后留下的那只耗子的位置是最接近耗子只数的2的乘方数。这样我们就么没有必要一个一个划数了，再举个例子：

如果有2000只耗子排成一排，仍然是从1号开始，吃掉1号，保留2号。。。。这样吃下去，最后保留的是第1024号耗子。（因为最接近2000的2的乘方数是210=1024）大家是不是都学会了呢？

（附：2=2 2=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 1254321

29=512 210=1024 ）

二．深入讲解：

这只耗子凭借自己的聪明才智逃过了一劫。然而耗子尽管很聪明但是很倒霉，第二次，它又被抓住了，这一次猫王仍然抓到了50只耗子。猫王就想：小样儿，上次我把老鼠排成一排没有能把你吃掉，今天我换种吃法，一定得把你给干掉。于是它这次改变了吃耗子的策略：

它把50只耗子围成一圈，从1号开始，保留1号，吃掉2号，保留3号，吃掉4号。。。 这么一轮轮吃下去，猫王就想，我到学而思基础班去学了奥数，学到了很多制胜之道，我

就不相信这次我收不了你。。。可是这只小老鼠也没有闲着，聪明的它也到学而思的精英班进修了一把，然后这只耗子呢又站在一个固定的位置上没有被吃掉，同学们，你们知道这一次这只聪明的耗子站在哪个位置上没有被吃掉么？

第二轮开始吃的是1号

这样吃下去，最后一只没有被吃掉的是谁呢？

我们不妨从最简单的情况开始讨论，当耗子只数为2 ， 4 ，8。。。。时

①当耗子只数为2时，保留1号，吃掉2号，最后保留的是1号。

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②当耗子只数为4时，保留1号，吃掉2号，保留3号，吃掉4号，又变成了2只的 情况：

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③当耗子只数为8只时，可以变成4只的情况，继而变成2只的情况。

我们可以总结出规律：

在圆周上吃耗子，当耗子只数是2 ， 4 ，8 。。。。。也就是2时，如果是从1号开始，保留1号吃掉2号，隔一只吃一只时，最后保留的始终是1号位置的耗子，但是现在给出的耗子只数不是2，那么我们可以把它变成2时的特殊形式。首先找出最接近耗子只数50n n n

的2的乘方数25=32，先把32只耗子之外的吃掉，每吃一只耗子需要往前移动2个位置，那么吃掉32只耗子之外的最后一只时移动了(50−2) ×2=36（个）位置，那么下一个位置就应该是不会被吃掉的位置，即36+1=37号。

我们可以再举个例子，如果有2000只耗子，按照上述的吃法，先保留后吃，那么最后一只不会被吃掉的耗子应该是在(2000−2) ×2+1=1953。

当然我们还应该考虑另外一种特殊情况，如果是先吃后保留呢？我们通过图示可以发现，此时如果是先吃后保留是把位置往前移了一位，那结果就不需要加1了。总结的规律： 先吃后保留，不需加1

先保留后吃， 需加1

大家现在会了么？同学们接着可以算算，如果有1000只耗子，从1号开始，先吃后保留，最后剩下哪只耗子没有被吃掉呢？

结果呢，耗子再一次逃离了猫王的魔爪。

其实猫和耗子的故事还没有完，上文提到这只耗子尽管很聪明但是很倒霉，第三次它又被猫王抓住了！！！！！这一次，猫王仍然是抓了50只耗子，它就想：上次把耗子们围成一个圆圈，隔一个吃一个，没有把那只精明的耗子给吃掉，肯定是因为吃的密度过小，于是它又改变了耗子的策略：隔一只吃两只，其他的条件不变。 但是这只聪明的耗子，还是站在一个固定的位置上没有被吃掉，同学们，你们知道是哪个位置上么？

推导过程和隔一只吃一只是一样的，不过此时再不是2的乘方数，而是3的乘方数。 举个例子：现在有21只耗子围成一圈，保留1号，吃掉2，3号，保留4号，吃掉5，6号。。。。。 问：最后保留的那只耗子是哪个位置呢？

我们通过推导发现：当耗子只数是3n 时，从1号开始，保留1号，吃掉2 ， 3号。。。 最后保留的始终是1号耗子。

所以先从21只耗子里面吃掉32=9只耗子，每吃掉2只耗子往前移动3个位置，所以最后一个被保留的耗子位置是(21−3) ÷2×3+1=19。

文尾给大家留到题目做为练习：

将1~~2007按照顺时针的方向围成一圈，从1号开始，保留1，划去2，3，保留4，划去5，6.。。。。。问：最后一个被保留的数是_______?

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