点到直线的距离公式的七种推导方法-2

点到直线的距离公式的七种推导方法

已知点 P (x 0, y 0) 直线l :Ax +By +C =0(A ≠0, B ≠0) 求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，

设点P 到直线l 的垂线为 l ，垂足为Q ，由 l ' ⊥l 可知 l

' '

B 为 A

y -y 0=

B

(x -x 0) A 与l 联立方程组

∴l ' 的方程：

B 2x 0-ABy 0-AC A 2y 0-ABx 0-BC

Q (, ) 2222

A +B A +B 解得交点

B 2x 0-ABy 0-AC A 2y 0-ABx 0-BC 2

|PQ |=(-x 0) +(-y 0) 2

2222A +B A +B

-A 2x 0-ABy 0-AC 2-B 2y 0-ABx 0-BC 2=() +() 2222

A +B A +B

A 2(Ax 0+By 0+C ) 2B 2(Ax 0+By 0+C ) 2(Ax 0+By 0+C ) 2=+=

(A 2+B 2) 2(A 2+B 2) 2A 2+B 2

2

∴PQ |=

二、 函数法

证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 Q (x , y ) 用两点的距离公式有，为了利用条件Ax +By +C =0上式变形一下，配凑系数处理得：

(A 2+B 2)[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]

=A 2(x -x 0) 2+B 2(y -y 0) 2+A 2(y -y 0) 2+B 2(x -x 0) 2=[A (x -x 0) +B(y -y 0)]2+[A (y -y 0) +B(x -x 0)]2

≥[A (x -x 0) +B(y -y 0)]2=(Ax 0+B y 0+C ) 2( Ax +B y +C =0) ≥

取等号所以最小值就

是

当且仅当

d =

A (y -y 0) =B （x -x 0）时

三、不等式法

证：点P 到直线 l 上任意一点Q (x , y ) 的距离的最小值就是点P 到直线

l

的距离。由柯西不等式：

(A 2+B 2)[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]≥[A (x -x 0) +B(y -y 0)]2=(Ax 0+B y 0+

C ) 2 Ax +B y +C =0, 当且仅当

d =

A (y -y 0) =B （x -x 0）时

取等号所以最小值就

是

四、转化法

证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M (x 1, y 1) 显然x 1=x 0所以

y 1=-

x

A x Ax +C Ax +By 0+C 0+C ∴|PM |=|y 0+0|=|0|b B B

易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝1800-α（图3） 在两种情况下都有

cos ∠MPQ =

=

A 2

tan ∠MPQ =tan α=2

B

2

2

所以

|PQ |=|PM |cos ∠MPQ =|

Ax 0+By 0+C

B

=

五、三角形法 证：P 作

PM ∥ y 轴交l 于

M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N

（图4） 由解法三知

|PM |=|

Ax 0+By 0+C Ax +By 0+C

||PN |=|0|

B A ；同理得

x

在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高

∴|PQ |=

=

六、参数方程法

⎧x =x 0+t cos θl ' :⎨

证：过点P (x 0, y 0) 作直线 ⎩y =y 0+t sin θ

交直线l 于点Q 。(如图

1)

由直线参数方程的几何意义知|t |=|PQ |，将 l ' 代入 l 得

Ax 0+At cos θ+By 0+Bt sin θ+C =0

整理后得

|t |=|

Ax 0+By 0+C

|...........(1)

-A cos θ-B sin θ

当 l ' ⊥l 时，我们讨论 θ与 l 的倾斜角α的关系： 当 α为锐角时 （

cos θ=-sin α=tan α=-

A

>0, 不妨令A>0,B

2）

sin θ=cos α===

==

3）

当 α为钝角时 （

tan α=-

A

0,B>00B ）有θ=α-90（图

得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得

|t |=

|

|Ax 0+By 0+C |=

22|

七、向量法

证：如图五，设直线l :Ax +By +C =0(A ≠0, B ≠0) 的一个

B n =(1,)

A ，法向量Q

直线上任意一点，则PQ =(x 1-x 0, y 1-y 0) 。从而

点P 到直线的距离为：

|x -x +B (y -y ) |

1010|n ⋅PQ |d ===

|n | P 点在直线l 上, ∴Ax 1+By 1+C =0, 从而d ==

附： 方案一：

设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由

PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜

B

率为A （A ≠0），根据点斜式写出直

线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d 方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R (x 1, y 0) ；作y 轴的平行线，交l 于点

S (x 0, y 2) ，

⎧A 1x 1+By 0+C =0-By 0-C -Ax 0-C ⎨x =, y =12Ax 0+By 2+C =0⎩A B 由得

.

所以，｜P Ｒ｜＝｜x 0-x 1｜＝｜PS ｜＝｜y 0-y 2｜＝｜ＲS ｜＝

PR +PS =

2

2

Ax 0+By 0+C

A

Ax 0+By 0+C

B

A 2+B 2AB

×｜Ax 0+By 0+C ｜由三角形面

积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以

d =

Ax 0+By 0+C A 2+B 2

可证明，当A=0时仍适 用