不等式的概念与性

证明

二. 教学重难点：

1. 理解不等式的性质，掌握不等式性质的应用。

2. 掌握比较法，分析法，综合法证明简单的不等式。

3. 了解反证法，放缩法等证明不等式的方法。

【典型例题】

[例1] 若

　　，

　　，

　　，则（    ）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

解：方法1：

　　

　　∵

　　，

　　，

又 ∵

　　∴

　　∴

∴

方法2：

　　∴

同理：

　　∴

方法3：设

　　，令

　　∴

（

　　）

（

　　）

+

0

－

↑

极大值

↓

又

　　∴ 通过模拟函数

　　的图象可得

∴ 选C

[例2] 设

　　，

　　，试比较

　　与

　　的大小。

解：方法一：依题意可知

∵

∴

方法二：由已知

又 ∵

　　

∵

　　∴

　　

∴

[例3] 已知函数

　　，满足

　　，

　　，求

　　的最值。

解：由题意，知

设

则

　　，解得

又 ∵

故

即

　　∴

　　的最大值为20，最小值为

[例4] 设函数

　　为R上的增函数，令

（1）证明

　　在R上为增函数；

（2）若

　　，证明

　　。

证明：（1）取

　　，则

∵

　　为R上的增函数    ∴

于是

∴

　　，即

　　为R上的增函数

（2）∵

　　①

但

∴

　　②

②代入①：

即

已证

　　为R上的增函数    ∴

　　，即

[例5] 已知

　　，

　　，求证：

（1）

（2）

（3）

证明：（1）

当且仅当

　　即

　　时，等号成立

（2）

（3）

当且仅当

　　即

　　时，等号成立

[例6] 是否存在常数

　　，使得

　　

　　

　　对任意正数

　　恒成立？试证明你的结论。

解：令

　　得

　　∴

下面证明：

（1）先证明

∵

　　要证

只需证

即

　　显然成立

∴

（2）再证

只需证

即

　　显然成立

∴

　　

综上所述，存在常数

　　对任何正数

　　

　　成立

[例7] 已知函数

　　满足下列条件：对任意的实数

　　，都有

　　和

　　，其中

　　是大于0的常数，设实数

　　满足

　　和

　　，

（1）证明

　　，并且不存在

　　，使得

　　；

（2）证明

　　；

（3）证明

　　。

证明：（1）证法一：任取

　　，且

　　，

则由

　　①

和

　　②

可知

从而

假设有

　　，使得

　　，

则由①式知

　　，矛盾

∴ 不存在

　　，使得

证法二：不妨设

∵

　　，

∴

　　∴

　　是R上的增函数     ∵

∴ 不存在

　　，使得

由②得

∴

即

（2）由

　　③

可知

　　

　　④

由

　　和①式，得

　　⑤

由

　　和②式，知

　　⑥

将⑤⑥式代入④式，得

（3）由③式，可知

　　（用②式）

　　（用①式）

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若

　　，则下列不等式中总成立的是（    ）

A.

　　B.

C.

　　D.

2. 已知

　　，则下列不等式成立的是（    ）

A.

　　B.

C.

　　D.

3. 已知函数

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，那么

　　的值（    ）

A. 一定大于0    B. 一定小于0    C. 等于0    D. 正负都有可能

4. 已知

　　，且

　　，设

　　，

　　，

　　，则（    ）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

　　

5. 设正数

　　满足

　　，且

　　，则（    ）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

6. 已知

　　，

　　，

　　，则

　　的最小值为（    ）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

7. 设

　　，则三个数

　　（    ）

A. 都不大于2                               B. 都不小于2

C. 至少有一个不大于2                 D. 至少有一个不小于2

8. 已知

　　，有不等式

　　，…，启发我们可以推广为

　　，则

　　的值为（    ）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

二. 解答题：

1. 已知

　　，且

　　，求

　　的范围。

2. 设

　　，试比较

　　与

　　的大小。

3. 设二次函数

　　（

　　，且

　　）。

（1）已知

　　，试求

　　的解析式及

　　的最小值；

（2）已知

　　，

　　，当

　　时，求证：

　　。

【试题答案】

一.

1. C

解析：由

　　

　　

　　，选，或取特值，令

　　，排除A、D。再令

　　排除B。

2. C

解析：由题意，不妨设

　　，逐一验证只有C：

　　成立，故选C。

3. B

解析：由题意易知

　　为R上的单调奇函数

又

　　∴

　　∴

故

　　①

同理，

　　②

　　③

将①②③相加，得

4. A

解析：∵

　　∴

　　，

又

　　，故

　　，而

　　，故

　　，

5. C

解析：由题意

　　①

　　②

故由①②可知

　　，即

6. B

解析：由所给的3个方程可解出

　　，

故当

　　或

　　，

　　时，

　　取得最小值为

7. D

解析：∵

　　

　　，故三者至少有一个不小于2。

8. A

解析：由

　　，有不等式

　　，

　　，…，

可以推广为

　　，故

　　的值为

　　。

二.

1. 解析：设

∴

　　，解得

　　∴

即

故

　　的取值范围是

2. 解析：设

∵

　　，

　　，

且

　　

这里

　　，∴

　　，即

故

3. 解析：（1）由题设

　　，

　　，

则

得

　　或

　　，即

　　或

　　，而

　　不合题意

∴

　　∵

　　∴

代入

　　，得

　　∴

　　或

∴

　　或

总有

　　的最小值是

（2）证明：由题设

　　，得

∴

　　∴

　　∴

无论

　　在

　　上是否单调，

　　在区间

　　上的最大值、最小值总是在

　　或

　　处取得

故

　　必小于等于

　　中的最大值

由题设

　　

∴ 当

　　时，