排序不等式

排序不等式（排序原理）及应用

排序不等式（又称排序原理）：

设有两个有序数组a 1≤a 2≤ ≤a n 及b 1≤b 2≤ ≤b n .

则a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n （同序和）

≥a 1b j 1+a 2b j 2+ +a n b jn （乱序和）

≥a 1b n +a 2b n -1+ +a n b 1（逆序和）

其中j 1, j 2, , j n 是1，2，…，n 的任一排列.

当且仅当a 1=a 2= =a n 或b 1=b 2= =b n 时等号（对任一排列j 1, j 2, , j n ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中j n ≠n 时（若j n =n ，则考虑j n -1），且在和S 中含有项 a k b n (k ≠n ), 则a k b n +a n b j n ≤a n b jn +a n b n . ① 事实上，左－右=(a n -a k )(b n -b j n ) ≥0,

由此可知，当j n ≠n 时，调换S =a 1b j 1+ +a k b j k + +a n b j n （j n ≠n ）中b n 与j n 位置（其余不动），所得新和S 1≥S . 调整好a n 及b n 后，接着再仿上调整a n -1与b n -1，又得S 2≥S 1. 如此至多经n -1次调整得顺序和

a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ≥a 1b j 1+a 2b j 2+ +a n b jn ②

这就证得“顺序和不小于乱序和”.

显然，当a 1=a 2= =a n 或b 1=b 2= =b n 时②中等号成立.

反之，若它们不全相等，则必存在j n 及k ，使b n >b j n , a n >a k . 这时①中不等号成立. 因而对这个排列②中不等号成立.

类似地可证“乱序和不小于逆序和”.

333222+例1：对a , b , c ∈R ，比较a +b +c 与a b +b c +c a 的大小.

【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.

【略解】 取两组数

3332a , b , c ; a 2, b 2, c 2. 333222 不管a , b , c 的大小顺序如何，a +b +c 都是同序和a b +b c +c a 都是乱序和， 故 a +b +c >a b +b c +c a .

【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.

22

a 2+b 2b 2+c 2c 2+a 2a 3b 3c 3

++≤++. 例2：设a , b , c ∈R , 求证a +b +c ≤2c 2a 2b bc ca ab +

【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 【略解】不妨设a ≥b ≥c , 则a ≥b ≥c , 222111≥≥， c b a

[1**********]1则a ⋅+b ⋅+c ⋅（乱序和）≥a ⋅+b ⋅+c ⋅（逆序和）， c a b a b c

[1**********]1同理a ⋅+b ⋅+c ⋅（乱序和）≥a ⋅+b ⋅+c ⋅（逆序和） c a b a b c

两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式. 再考虑数组a ≥b ≥c 及333111，仿上可证第二个不等式. ≥≥bc ac ab

【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计. 这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.

例3：在△ABC 中，试证：

π3≤aA +bB +cC π

3(aA +bB +cC ) ≥(a +b +c )(A +B +C ) =π(a +b +c ) ， aA +bB +cC π得≥ ① a +b +c 3又由0由①、②得原不等式成立.

【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.

*例4：设a 1, a 2, , a n ∈N ，且各不相同， 求证：1+111a a 3a n ++ +≤a 1+2++ +. 23n 2232n 2

a i 1；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. =a ⋅i i 2i 2

【略解】设b 1, b 2, , b n 是a 1, a 2, , a n 的重新排列，满足b 12>2> >2. 23n 【思路分析】不等式右边各项

所以a 1+a n b n a 2a 3b 2b 3. ++ +≥b +++ +122222n 2323n

由于b 1, b 2, b n 是互不相同的正整数，

故b 1≥1, b 2≥2, , b n ≥n . 从而b 1+

b n b 2b 311， ++ +≥1++ +2222n 23n 原式得证. 【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，

a 2+b 2≥a ⋅b +b ⋅a ,

a 3+b 3+c 3≥a 2⋅b +b 2⋅c +c 2⋅a =a ⋅ab +b ⋅bc +c ⋅ca ≥a ⋅bc +b ⋅ac +c ⋅ab =3abc .

例5：设b 1, b 2, , b n 是正数a 1, a 2, , a n 的一个排列，求证a a 1a 2++ +n ≥n . b 1b 2b n

1=1(i =1, 2, , n ) a i 【略证】不妨设a 1≥a 2≥ ≥a n ，因为a 1, a 2, , a n 都大于0. 【思路分析】 应注意到a i ⋅

所以有1≤1≤ ≤1，

a 1a 2a n

又111111, , , 是, , , 的任意一个排列，于是得到 b 1b 2b n a 1a 2a n 111111n =a 1⋅+a 2⋅+ +a n ⋅≤a 1⋅+a 2+ +a n . a 1a 2a n b 1b 2b n

【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.

例6：设实数x 1≥x 2≥ ≥x n , y 1≥y 2≥ ≥y n , z 1, z 2, , z n 是y 1, y 2, , y n 的一个置换（置换指的是元素相同但顺序不一定相同），证明：

∑(x i =1n i -y i ) ≤∑(x i -z i ) 2. 2i =1n 【略解】 显然所需证不等式等价于∑x y ≥∑x z , 这由排序不等式可直接得到. i i i i

i =1i =1n n

【评述】 应用此例的证法可立证下题：

基本不等式实际上是均值不等式的特例. （一般地，对于n 个正数a 1, a 2, a n ) 调和平均H n =n

111++ +a 1a 2a n

几何平均G n =

算术平均A n =

平方平均Q n =a 1⋅a 2 a n a 1+a 2+ +a n n 22a 12+a 2+ +a n 2

这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n ，其中等号当且仅当

a 1=a 2= =a n 时成立.

例7：利用排序不等式证明G n ≤A n . 【证明】令b i =a i , (i =1, 2, , n ) 则b 1b 2 b n =1，故可取x 1>x 2> >x n >0，使得 G n

b 1=

=x x x 1x , b 2=2, , b n -1=n -1, b n =n 由排序不等式有： x 2x 3x n x 1b 1+b 2+ +b n x x 1x 2++ +n （乱序和） x 2x 3x 1111≥x 1⋅+x 2⋅+ +x n ⋅（逆序和） x 1x 2x n =n ，

∴a a +a 2+ +a n a 1a 2++ +n ≥n , 即1≥G n . G n G n G n n 111【评述】对, , , 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G n ≤A n . a 1a 2a n