函数的最值在经济学中的应用

【摘要】在经济学领域中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品的质量最好”、“成本最低”、“效率最高”、“利润最大”、“用时最短”等问题。这类问题在高等数学中可以归结为：求出某一函数的最大值或最小值。本文主要介绍函数的最值在经济学中的应用。

【关键词】函数；最大值；最小值；应用

引言

在经济学领域中，我们常常会遇到这样的问题：如何使得生产的产品最多？成本最低？怎样才能使利益最大？效率最高？这类问题在数学上有时可以归结为：在一定条件下，怎样求某一函数的最大（小）值。本文结合自己多年来的教学研究情况，从以下几个方面进行论述：

一、函数的最值

根据自变量的取值范围，分为以下两种情况：

1.函数在闭区间连续

根据闭区间上连续函数的性质可知：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。最大（小）值可能取在区间的内部，也可能取在区间的端点。

2.函数在开区间连续

如果函数在一个开区间内可导且有唯一的极值点，那么当是极大值时，就是在该区间的最大值；当是极小值时，就是在该区间内的最小值。

在实际应用中，如果函数在某区间内只有一个驻点或导数不存在的点，并且根据问题本身又可以知道在该区间内一定有最大（小）值，那么就是所求的最大（小）值。

二、经济应用问题举例

1.容积最大

例1 将边为a 的正方形四角截去四个相等的小正方形然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长为多少时能使盒的容积最大？

解如图，设所截小正方形的边长为，则折成的盒子的体积为：