人教版高中数学双曲线的简单几何性质教案

基础巩固强化

一、选择题

x 2y 2

1．a －91(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )

A ．4 C ．2 [答案] C

x 2y 2333[解析] 双曲线a －9＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝a x ，∴a ＝2∴a ＝2.

2．(2013·福建文，3) 双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

1A. 2 C ．1 [答案] B

[解析] 双曲线x 2－y 2＝1的一个顶点为A (1,0)，一条渐近线为y ＝x ，则A (1,0)到y ＝x 距离为d ＝

122. 2

2B. 2 D. 2 B ．3 D ．1

x 2y 2

3．(2013·北京理，6) 若双曲线a b 1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x 1C ．y ＝2x [答案] B

[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．

B ．y ＝2x 2

D ．y ＝2x

因为离心率e ＝3，所以c 3a ，即b 2a ，由双曲线的焦点b

在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝a 2x . 选B.

πx 2y 2

4．(2013·湖北文，2) 已知0

与C 2：cos θ－sin θ1 ( )

A ．实轴长相等 C ．离心率相等 [答案] D

[解析] 本题考查双曲线的性质．

由双曲线的性质c 2＝a 2＋b 2知，C 1：c 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，C 2：c 2

＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.

∴C 1与C 2的焦距相等，故选D.

x 2y 2

5．经过点M 6，－6) 且与双曲线4－3＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )

x 2y 2

A. 681 y 2x 2

C. 6－8＝1 [答案] C

x 2y 2

[解析] 设双曲线方程为43λ(λ≠0) ，把点M 6，－26) 2424

代入双曲线方程，得λ＝4－32，

y 2x 2

∴双曲线方程为：68＝1.

6．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试) 下列双曲

y 2x 2

B. 861 x 2y 2

D. 86＝1 B ．虚轴长相等 D ．焦距相等

6

线，离心率e ＝2( )

x 2y 2

A. 241 x 2y 2

C. 4－6＝1 [答案] B

c

[解析] 选项A 中，a ＝2，b ＝2，c ＝6，离心率e ＝a 3；c 6

选项B 中，a ＝2，b 2，c ＝6，∴离心率e ＝a 2C 中，c

a ＝2，b ＝6，c ＝3，离心率e ＝a ＝3；选项D 中，a ＝2，b 10，c 14

c ＝14，离心率e ＝a 2B.

二、填空题

x 2y 2x 22

7．椭圆4＋a ＝1与双曲线a －y ＝1焦点相同，则a ＝________. 6[答案] 26

[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝2.

x 2y 2

8．9251的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，该双曲线的方程为________．

y 2x 2

[答案] 2539＝1

44

x 2y 2

[解析] 椭圆925＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， c 4

焦点为(0，±4) ，离心率e ＝a 5，

x 2y 2

B. 421 x 2y 2

D. 410＝1

8

∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝5 c 485∴a ＝a 5，∴a 1＝2

11253922∴b 1＝c 1－a 2＝16－1

4＝4 y 2x 2

∴双曲线的方程为25－39＝1.

44

x 2y 2

9．若双曲线a 91(a >0)的离心率为2，则a 等于________． [答案]

3

[解析] ∵c 2＝a 2＋9，∴c a ＋9， a ＋9c

∴离心率e ＝a a ＝2， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去) ． 三、解答题

x 2y 25

10．(1)求与椭圆941有公共焦点，且离心率e ＝2线的方程；

5

(2)求虚轴长为12，离心率为4的双曲线的标准方程． x 2y 2

[解析] (1)设双曲线的方程为－1(4

9－λλ－4a 2＝9－λ，b 2＝λ－4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝5，

2

5c 55

∵e 2，∴e 2＝a 4，解得λ＝5，

9－λ

x 22

∴所求双曲线的方程为4y ＝1.

(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设x 2y 2y 2x 2

a －b 1(a >0，b >0)或a －b 1(a >0，b >0)．

c 5

由题设知2b ＝12，a 4且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.

x 2y 2y 2x 2

6436＝1或6436＝1.

能力拓展提升

一、选择题

11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D

x 2y 2b

[解析] b b ＝1，由a 、b 异号知a

a a 焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.

x 2y 2

12．(2013·新课标Ⅰ文，4) 已知双曲线C ：a b ＝1(a >0，b >0)5

2，则C 的渐近线方程为( )

1

A ．y ＝4 1C ．y ＝2x [答案] C

1

B ．y ＝3 D ．y ＝±x

c 55

[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得a 2，即c ＝2

2

51b 1b 1

a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 24a 2，b 2＝42a 4a 21

近线的方程为y ＝2，选C. 在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．

x 2

13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试) 已知椭圆a y 21x 2y 2

＋b ＝1(a >b >0)的离心率为2，则双曲线a －b ＝1的渐近线方程为( )

3

A ．y ＝2x C ．y ＝±2x [答案] A

a －b 1[解析] a 2， b 3

∴3a 2＝4b 2，∴a 2.

x 2y 23

∴双曲线a －b 1的渐近线方程为y ＝2.

5

14．中心在坐标原点，离心率为3y 轴上，则它的渐近线方程为( )

5

A ．y ＝4 4C ．y ＝3x [答案] D

4

B ．y ＝5 3D ．y ＝4x 1B ．y ＝2 3D ．y ＝3x

22

c 5c 2a ＋b 25b 216

[解析] ∵a 3a ＝a 9a 9，

b 4

∴a 3y 轴上， b 4

∴双曲线的渐近线方程为x ＝，即x ＝a 3， 3∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝4. 二、填空题

x 2y 21154b ＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝2，则b 等于________．

[答案] 1

x 2y 2b b 1[解析] 双曲线4b ＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝x ，∴22＝2即b ＝1.

16．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．

x 2y 2

[答案] 3612＝1

[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x 3y ＝0，则另一条为x ＋3y ＝0，可设双曲线方程为

22x y

x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即λ－λ1

3

x 2y 2

由椭圆方程64＋16＝1可知 c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48

λ

双曲线与椭圆共焦点，则λ＋348

∴λ＝36.

x 2y 2

故所求双曲线方程为36－12＝1.

解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x 2y 2

－＝1 64－λλ－16

λ－161

由渐近线方程x －3y ＝0可得＝364－λ∴λ＝28

x 2y 2

故所求双曲线方程为36－12＝1.

x 2y 2

64＋16＝1中，c 2＝64－16＝48.

设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知

22a ＋b ＝48⎧

b 1a 3

2⎧⎪a ＝36，∴⎨2，

⎪b ＝12⎩

x 2y 2

∴双曲线方程为3612＝1. 三、解答题

x 2y 2

17．设双曲线a b ＝1(0

b ) 两点，且原点到直线l 的距离为4c ，求双曲线的离心率．

[分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关c

系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出a [解析] 由l 过两点(a, 0) 、(0，b ) ，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.

3ab 3

由原点到l 4c ，得4.

a ＋b 将b ＝c －a 代入，平方后整理，得

⎛a ⎫2a a ⎪16c －16c ＋3＝0. 令c x ， ⎝⎭

2

2

2

31

则16x －16x ＋3＝0，解得x ＝4x ＝42

c

由e ＝a e ＝3故e ＝x 3或e ＝2.

1＋a 2，

a ＋b c

因0

3

所以应舍去e ＝3，故所求离心率e ＝2.

18．焦点在x 轴上的双曲线过点P 2，－3) ，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．

[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2y 2

a －b 1(a >0，b >0)，F 1(－c, 0) ，F 2(c, 0) ．

因为双曲线过点P (42，－3) ， 329

a b ＝1. ①

又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， →→所以QF 1·QF 2＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25. ② 又c 2＝a 2＋b 2，③

所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去) ．

22

x y

所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是16－9＝1.

x 2y 2x 2y 2

1．椭圆34n 1和双曲线n 161有共同的焦点，则实数n 的值是( )

A ．±5 C ．25 [答案] B

[解析] 依题意，34－n 2＝n 2＋16，解得n ＝±3，故答案为B. x 2y 2

2．已知双曲线a b ＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )

A ．4a C ．4a ＋2m [答案] C

3πx 2y 2

3．设θ∈(4π)，则关于x 、y 的方程sin θcos θ1 所表示的曲线是( )

A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C

x 2y 23π

[解析] 方程即是sin θ1，因θ∈(4，π) ，

－cos θ

∴sin θ>0，cos θsinθ，故方程表示焦点在y 轴上的

B ．4a －m D ．4a －2m B ．±3 D ．9

椭圆，故答案为C.

x 2y 2

4．以椭圆3＋4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )

x 22

A. 3y ＝1 x 2y 2

C. 3－4＝1 [答案] B

[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，

2x

∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－3＝1.

2y

5．(2013·北京文，7) 双曲线x 2－m 1的离心率大于2的充分必

2

x

B ．y 2－31

y 2x 2

D. 34＝1

要条件是( )

1A ．m 2 C ．m >1 [答案] C

[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C.

x 2y 2

69－16＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 C ．4 [答案] C

4

[解析] ∵焦点坐标为(±5,0) ，渐近线方程为y ＝3x ，∴一个焦

B ．3 D ．2 B ．m ≥1 D ．m >2

4

点(5,0)到渐近线y ＝3x 的距离为4.

x 2y 2

7．(2012·湖南文，6) 已知双曲线C ：a －b ＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )

x 2y 2

A. 20－51 x 2y 2

C. 80－20＝1 [答案] A

[解析] 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． x 2y 2

∵a －b 1的焦距为10，∴c ＝5＝a ＋b . ① b

又双曲线渐近线方程为y ＝a ，且P (2,1)在渐近线上， 2b

∴a ＝1，即a ＝2b . ②

由①②解得a ＝25，b 5，故应选A.

x 2y 2

8．(2012·天津文，11) 已知双曲线C 1：a b ＝1(a >0，b >0)与双x 2y 2

曲线C 2：4161有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0) ，则a ＝________，b ＝________.

[答案] 1 2

[解析] 利用共渐近线方程求解．

x 2y 2x 2y 2

与双曲线4161有共同渐近线的双曲线的方程可设为416x 2y 21

＝λ，即4λ16λ1. 由题意知c 5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝4

则a 2＝1，b 2＝4. 又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.

x 2y 2

B. 520＝1 x 2y 2

D. 20－80＝1