因式分解方法与练习

因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式. 【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. (2 )因式分解是恒等 变形，因此可以用整式乘法来检验. 练习 1．下列变形是分解因式的是( ) A．6x2y2=3xy·2xy B．a2－4ab+4b2=(a－2b)2

C．(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D．x2－9－6x=(x+3)(x－3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A、 xy 2 ( x  1)  x 2 y 2  xy 2 C、 x  1  y  ( x  1)(x  1)  y

2 2 2

B、 x 2  9  ( x  3)(x  3) D、 ax  bx  c  x(a  b)  c ) B. 3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2) 2 D. －2a +4ab－6ac=－2a(a－2b－3c)

3、下列分解因式结果正确的是( A. a2b+7ab－b=b(a2+7a) 2 2 C. 8xyz－6x y =2xyz(4－3xy)

因式分解方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法；

提公因式法： 公因式：一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式. 提公因式法： 把一个多项式中的公因 式提出来，从而 将多项 式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方 法叫做提取公因式法.

1. 方法规律： 一个多项式各项的公因式必须由三部分组成： (1)、各项整数系数的最大公约数； (2)、各项相同的字母； (3)、相同因式的指数取最小次数. 2. 解题方法： (1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式； (2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式. 3. 方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤： ① 确定公因式 ② 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

例 1：把 12a b 18ab  24a b 分解因式.

2 2 3 3

例 2：把多项式 3( x  4)  x(4  x) 分解因式

例 3：把多项式  x  2 x 分解因式

2

练习： 一、把下列多项式分解因式 1、 x(a  b)  y(a  b) 2、 5x( x  y)  2 y( x  y) 3、 6q( p  q)  4 p( p  q)

4、(m  n)( P  q)  (m  n)( p  q)

5、a(a  b)  (a  b)

2

6、x( x  y)  y( x  y)

2

7、 (2a  b)(2a  3b)  3a(2a  b)

8、 x( x  y)( x  y)  x( x  y)

2

9、 p( x  y)  q( y  x)

10、 m(a  3)  2(3  a)

11、 (a  b)(a  b)  (b  a)

a( x  a)  b(a  x)  c( x  a) 12、

13、 3( x 1) y  (1  x) z

3 3

14、 ab(a  b)  a(b  a)

2

2

15、 mx(a  b)  nx(b  a)

16、 (a  2b)(2a  3b)  5a(2b  a)(3b  2a)

17、 (3a  b)(3a  b)  (a  b)(b  3a)

18、 a( x  y)2  b( y  x)

19、 x( x  y)2  2( y  x)3  ( y  x)2

20、 ( x  a)3 (

x  b)  (a  x)2 (b  x)

21、 ( y  x)2  x( x  y)3  ( y  x)4

22、 3(2a  3b)2n1  (3b  2a)2n (a  b)(n为自然数)

三、利用因式分解计算。 1、 7.6 199.8  4.3 199.8  1.9 199.8 2、 2.186 1.237  1.237 1.186

3、 (3)21  (3)20  6  319

4、 1984  20032003  2003  19841984

四：利用因式分解证明下列各题。 1、求证：当 n 为整数时， n  n 必能被 2 整除。

2

2、 证明： 一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置， 则所得的三位数与原数之差能被 99 整除。

3、证明： 3

2002

 4  32001  10  32000 能被7整除。

五：利用因式分解解答列各题。 1、已知a+b=13，ab=40， 求2a b+2ab 的值。

2 2

2、已知a  b 

2 1 ，ab  ，求a 3b+2a 2 b2 +ab3的值。 3 2

运用公式法 （1）常用公式 平 方 差： a  b  (a  b)(a  b)

2 2

完全平方： a  2ab  b  (a  b)

2 2

2

（2）常见的两个二项式幂的变号规律： ① (a  b)

2n

 (b  a)2n ；

② (a  b)

2 n1

（ n 为正整数）  (b  a)2n1 ．

一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例 1、 分解因式： 2 2 （1）x -9 （2）9x -6x+1 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公 式法。 例 2、 分解因式： 5 3 3 5 3 2 2 3 （1）x y -x y （2）4x y+4x y +xy

三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符 合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例 3、 分解因式： 2 2 2 2 4 (1)4x -25y (2)4x -12xy +9y

四、 指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分 解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例 4、 分解因式: 4 4 4 2 2 4 (1)x -81y (2)16x -72x y +81y

五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交 换位置，重新排列，然后再利用公式。 例 5、 分解因式： 2 2 2 （1）-x +(2x-3) (2)(x+y) +4-4(x+y)

六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然 后再利用公式法分解。 2 例 6 、分解因式： (x-y) -4(x-y-1)

七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解， 到每个因式都不能再分解为止。 2 2 2 例 7、 分解因式：(x +4) -16x

练习： 9、 36  m n

2 2

10、 4 x2  9 y 2

11、 0.81a  16b

2

2

12、 25 p 2  49q 2

13、 a x  b y

2 4 2

2

14、 x  1

4

15、 16a  b

4

4

16、

1 4 a  16b 4 m4 81

2 2

4、 9( x  y)  4( x  y

)

2

2

5、 (a  b  c)  (a  b  c)

2

2

6、 4a  (b  c)

十字相乘法 （1） 二次项系数为 1 的二次三项式 x 并且 a  b 等于一次项系数

2

如果能把常数项 q 分解成两个因式 a、b 的积，  px  q 中，

p 的值，那么它 就可以把二次三项式 x2  px  q 分解成

x 2  px  q  x 2  a  bx  ab  x  ax  b

图示：

x2  ( p  q) x  pq

x

p

x

q

x2  ( p  q) x  pq  ( x  p)( x  q)

（2）二次项系数不为 1 的二次三项式 ax

 bx  c 中，如果能把二次项系数 a 分 解成两个因数 a1, a2 的积，把常数项 c 分解成两个因数 c1 , c2 的积，并且 a1c2  a2c1 等于一次项系数 b 的值，

2 2

那么它就可以把二次三项式 ax

 bx  c 分解成：

ax2  bx  c  a1a2 x 2  a1c2  a2 c1 x  c1c2  a1 x  aa2 x  c2  .

例 2 把下列多项式分解因式 ① x2+9x+14 ②x2+8x+12 ③ x2-7x+10

④x2-2x-8

⑤x2-x-12

⑥x2-9x-22

⑦x2-4x-21

⑧x2+4xy-21y2

⑨x2+5x-6

分组分解法 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如 a  b  a  b ，既没有公因式，又不能直

2 2

接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提 公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

a 2  b2  a  b = (a2  b2 )  (a  b)  (a  b)(a  b)  (a  b)  (a  b)(a  b  1) ，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可提取公因式或可以直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）注意：有些多项式在用分组分解法时，分组的方法 并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式 正确分解 即可。 ⑴ a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n

⑷3ax+4by+4ay+3bx

⑸1-4a2-4ab-b2

⑹a2-b2-c2+2bc

⑺x -2x+1-y

2

2

⑻x -y -z -2yz

2

2

2

⑼a +2ab+b -ac-bc

2

2

综合练习： 例2 分解因式：－2x3+4x2－10x

例3

分解因式：－7（m－n）3+21（n－m）2－28（n－m）3

例4

分解因式：－x2－4y2+4xy

例5

分解因式：－3x7+24x5－48x3

例6

分解因式：9m2－6m+1－n2

例7

ax2+ay2－2axy－az2

例8

若 x2+y2－4x－6y+13=0，求 x+y 的值。

例9

分解因式：x2+xy－12y2

例10 分解因式：x2－

1 1 x－ 6 6

例11 分解因式： （x2－4x）2－2（x2－4x）－15

例12 已知：a3+a2b+ab2+b3=20，a2+b2=10，求 a+b

例13 已知 x4+4x2+3x+4 有一个因式是 x2+ax+1，求 a 的值及另一个因式。

练习： 1、如果将 x 2  6 x  m 因式分解得 x  2x  4 ，则 m=_________ 2、多项式 56x 3 yz  14x 2 y 2 z  21xy 2 z 2 各项的公因式是________ 3、 a 2 x  2ax3  x5  x( )2 4、 x 6  125  (

)(x 4  5x 2  25)

5、用分组分解法把 x 2  a 2  2ab

 b2 分解因式，正确的分组方法是将 _______分作一组， _____ ___分作另一组。 6、用分组分解法把 ab  c  b  ac 分解因式，分组的方法有_______种。 7、把 x 2  8 x  7 因式分解，得_________________ 8、如果多项式 6 x 2  mx  2 因式分解的结果是 2 x  13x  2 ，那么 m 的值是__________ 9、

1 1 1 a bc  ( 2 4 4

2 2

)

10、  9a b  6ab  3ab  3ab ( ) 二、选择题：(每小题 2 分，共 30 分) 1、下列因式分解，正确的是 （ ） 2 2 A、  m  n  m  nm  n B、 x 2  2 xy  4 y 2  x  2 y 2 C、 x 2  2 xy  3 y 2  x  y x  3 y  D、 a 3  b3  a  b a 2  ab  b2





2、分解因式  1  0.04x 等于 （

2

C、  1  0.2 x  1  0.2 x 

2

A、  1  0.2 x 

）

2

B、 0.02x  10.02x  1 D、 0.2 x  10.2 x  1 ) ）

3、如果 4 x  kx  25是一个完全平方式，那么 k 的值是 ( A、 20 B、－20 C、  20 D、40 2 4、把 x  xy  4 y  4 x 分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ A、 x  xy  4 y  4 x 

2

5、若 x  y x  y   xyx  y   m ，则 m 是

2

C、 x  4 y  xy  4 x 

2









B、 x  4 x  4 y  xy 

2

D、

 x

2

  4 x   xy  4 y 

）

（

2

A、 x  y

3

2

3

B、 x  xy  y 2 D、 x 2  xy  y 2 ，则 a , b 的值是 （ ）

6、多项式 x  3x  a 可分解为 x  5x  b A、 a  10 , b  2 C、 a  10 , b  2

2

C、 x 2  3xy  y 2

B、 a  10 , b  2 D、 a  10 , b  2

7 、已知：把多项式 ax  bx  c 分解因式，得 2 x  13x  2 ， 那么 a , b , c 的值应分别是 （ ） A、 6、1、2 B、 6、－1、－2 C、6、－1、2 D、6、1、－2 8、下列等式中，不正确的是 （ ） A、 9 x 

2

C、 a  8b  a  2b a  2ab  4b

3 3 2 3 3

1 2 y y y  (3x  )( 3x  ) 4 2 2

B、

2

D、 27x  y  3x  y  9 x  3xy  y

2 2 2 2 3







2

1 2 x  x  x  4    2 16 4 

2



） C、 4 y

2

9、多项式 4 x y  8xy  12y 的公因式是（ A、 4 xy B、 y

2

D、 4 xy

2

10、下列多项式中，含有因式 (a  3b) 的是（ A、 a  9b

3 3

） C、 a  27b

3 3

B、  a  27b

3 2

3

D、 a  27b

3

3

11、若 x  5x  3 是代数式 x  Kx  15分解因式的结果，则 K 的值为（ A、－2

2

）

B、2

C、8

2

D、－8

2

12、在多项式（1） a  7a  6 ， （2） a  4a  3 ， （3） a  6a  8 ， （4） a  7a  10 ， （5） a  15a  44 中，有相同因式的是（

2 2

）

A、只有（1） （2） C、只有（3） （5）

13、把 5x 2  6 xy  8 y 2 分解因式得（ A、 x  25 x  4 C、 x  2 y 5x  4 y  14、下列各式中是完全平方式的是（ A、 4 x  4 x  1

2

B、只有（3） （4） D、不同于以上答案 ） D、 x  4 y 5x  2 y  ）

2

B、 x  25 x  4

B、 1  4 x  4 x

2 2 2

C、  4 x  4 x  1

2

D、 4 x  2 x  1

2

15、用分组分解法分解 a  b  c  2bc ，分组正确的是（ A、 a 2  c 2  b 2  2bc C、 a 2  b 2  c 2  2bc

）



 



B、 a 2  b 2  c 2  2bc D、 a 2  b 2  c 2  2bc

3







 







三、把下列各式分解因式：(每小题 3 分，共 18 分) 1、 xx  y x  y   xx  y  2、 a x  x  2a  2

3

3、 x  1

6

4、 9 x  12xy  4 y

2

2

5、 a  ba  b  7  8

6、 x  y  4 x  4

2 2

四、利用因式分解计算：(每小题 3 分，共 6 分) (1) 2.39× 91+156× 2.39－2.39× 47 (2) 已知 a  b  133 , ab  1000 ,求 a 2 b  ab2 的值。

五、因式分解的应用题： （每小题 4 分，共 16 分） 4 2 （1）已知长方形的面积是 x  2 x  8 ，其中一边长是 ( x  2) ，求表示长方形的另一边长的代数 式。

2 2 （2）已知 a  b  5 ， c  d  2 ，求代数式 (ac  bd)  (ad  bc) 的值。

2 2 2 2

（3）已知 a  b  c  0 , 求 a 3  a 2 c  b2 c  abc  b3 的值。

（4）观察下面计算过程：

3 2  12 ＝9－1＝8×1 5 2  3 2 ＝25－9＝16＝8×2 7 2  5 2 ＝49－25＝24＝8×3

9 2  7 2 ＝81－49＝＝32＝8×4……由此我们猜想，任意两个连续奇数的平方差能被 8 整除。请你

判断