高中数学必修4导学案

2.3.3平面向量的坐标运算

三、反思总结

（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

（2）要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

四、当堂检测

1. 下列说法正确的有（ ）个

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标 （2）位置不同的向量其坐标可能相同

（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 （4）相等的向量坐标一定相同

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2. 已知A （-1，5）和向量a =(2,3)，若=3a ，则点B 的坐标为__________。 A ．(7,4) B ．(5,4) C ．(7,14) D ．(5,14)

1 1

3．已知点A (1,1)，B (-1,5) 及AC =AB ，AD =2AB ，AE =-AB ，求点C 、D 、E

22

的坐标。

课后练习与提高

1．已知a =(3,2)，b =(0,-1) ，则-2a +4b 等于（ ）

A ．(-6, -8) B ．(-3, -6) C ．(6, 8) D ．(6, -8) 2．已知平面向量

=(1, 2) ，=(m , n ) ，且2a =b ，则2a -3b 等于（ ）

A ．(-2, -4) B ．(-3, -6) C ．(-5, -10) D ．(-4, -8)

3 已知a =(2,3)，b =(-1,2) ，若ka -b 与a -kb 平行，则k 等于（ ）．

A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

4. 已知a =(5, 2) ，a =(-7, -2) ，则4a +3b 的坐标为____________. 5. 已知：点A （2，3）、B （5，4）、C （7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，则λ为_______时，点P 在一、三象限角平分线上.

6 . 已知a =(2,-4) ，b =(-1,3) ，c =(6,5)，p =a +2b -c ，则以a ，b

为基底，求p .

2.3.4平面向量共线的坐标表示

课前预习学案

一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容：

1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________. 2. 平面向量共线的坐标表示：

设a =(x1, y1) b =(x2, y2) （ b ≠0） 其中b ≠a ，

则a ∥b (b ≠) ⇔_____________________.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：

1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.

二、学习内容

1. 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也

能用坐标来表示呢？

设a =(x1, y1), b =(x2, y2) （ b ≠） 其中b ≠a

由a =λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:

__________________________________.这就是说, 当且仅当___________________时, 向量

a 与b 共线.

例1 已知a =(4,2)，b =(6,y ) ，且a //b ，求y ．

例2: 已知A (-1, -1) ，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．

例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x1，y 1) ，(x2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.

三、反思总结

1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?

2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?

2. 典型例题

四、当堂检测

1. 已知=a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（ ）

A. A 、B 、D 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线

B .A 、B 、C 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线

a 2. 若向量=(-1，x) 与b =(-x， 2) 共线且方向相同，则x 为________.

31

3．设a =(,sin α) ，b =(cosα, ) ，α∈(0,2π) ，且a //b ，求角α．

23

课后练习与提高

a a 1. 若=(2，3) ，b =(4，-1+y ) ，且∥b ，则y =（ ）

A.6 B .5 C.7 D.8

2. 若A (x ，-1) ，B (1，3) ，C (2，5) 三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.3

3. 若=i +2j ， =(3-x ) i +(4-y ) j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）

A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，4

4. 已知a =(4，2) ，b =(6，y ) ，且a ∥b ，则y = .

5. 已知a =(1，2) ，b =(x ，1) ，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为

6. 已知A(-1， -1)， B(1，3) ， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

课前预习学案

一、预习目标：

预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；

二、预习内容：

1. 平面向量数量积（内积）的定义：2. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3．“投影”的概念：作图

4. 向量的数量积的几何意义： 5．两个向量的数量积的性质：

设a 、为两个非零向量，e 是与同向的单位向量. 1︒ e ⋅= e 2︒ a ⊥b ⇔a ⋅ b

设a 、b 为两个非零向量，e 是a 与同向的单位向量. e ⋅a =a ⋅e

3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b 当a 与b 反向时，a ⋅b = 特别的a ⋅a =

|a |2或|a |=a ⋅a

4︒ cos θ5︒ |a ⋅| ≤ |a |||

三、提出疑惑：

课内探究学案

一、学习目标

1说出平面向量的数量积及其几何意义； 2. 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

学习重难点：

。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

探究一：

数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，

那么力F 所做的功：W=

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W （功）是 量， ②F （力）是 量， ③S （位移）是 量， ④α是 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 （1）数量积的定义：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为α，我们把数量 ︱a ︱²︱b ︱cos α叫做，记作：a ²b ，即：a ²b = ︱a ︱²︱b ︱cos α a 与b 的数量积（或内积）

（2）定义说明：

①记法“a ²b ”中间的“² ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（4）学生讨论，并完成下表：

例1 ：已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ²b .

解：

变式：

. 对于两个非零向量a 、，求使|a +t |最小时的t 值，并求此时与a +t 的夹角.

探究二：研究数量积的意义 1. 给出向量投影的概念：

如图，我们把││cos α（│a │cos α） 叫做向量在a 方向上（a 在方向上）的投影， 记做：OB 1=︱││︱cos α

2. 提出问题5：数量积的几何意义是什么？

3. 研究数量积的物理意义

请同学们用一句话来概括功的数学本质：

探究三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：比较︱a ²b ︱与︱a ︱³︱b ︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3. 数量积的运算律

（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？

（2）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求

（a +2b ）²（a -3b ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ 解：

222

变式：（1）(a +b ) =a +2a ²b +b

（2）(a + )²(a -)= a —

2

2

（三）反思总结 (四) 当堂检测

1 .已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .

2. 已知|a |=6， ||=4，a 与的夹角为60o 求(a +2)·(a -3) .

3 .已知|a |=3， ||=4， 且a 与不共线，k 为何值时，向量a +k与a -k 互相垂直.

4. 已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，当①a ∥，②a ⊥，③a 与的夹角是60°时，分别求a ·.

5. 已知|a |=1，||=2，(1)若a ∥，求a ·，求|a +|；；(2)若a 、的夹角为６０°(3)若a -与a 垂直，求a 与的夹角.

6. 设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与=2n -3m 的夹角.

课后练习与提高

1. 已知|a |=1，||=2，且(a -) 与a 垂直，则a 与的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D. ４５° 2. 已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为

π

，那么向量m =a -4b 的模为（ ） 3

A.2 B .23 C.6 D.12

3. 已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b ) 与(a -b ) 垂直的（ ） A. 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量a 、b 的夹角为

π

，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 3

5. 已知a +=2i -8j ，a -=-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .

6. 已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c ) ＝______.

２

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课前预习学案

一、预习目标：

预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。 二、预习内容：

1. 平面向量数量积（内积）的坐标表示

2. 引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

能表示单位向量的模吗？

(2)平面上两点间的距离公式：

向量a 的起点和终点坐标分别为A(x1，y 1) ，B(x2，y 2)

AB=

(3)两向量的夹角公式cos =

3. 向量垂直的判定（坐标表示）

4. 向量平行的判定（坐标表示）

三、提出疑惑

课内探究学案

一、学习目标

学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

学习重难点：平面向量数量积及运算规律. 平面向量数量积的应用 二、学习过程

（一）创设问题情景，引出新课

a 与b 的数量积 的定义？⑵向量的运算有几种? 应怎样计算？

（二）合作探究，精讲点拨

探究一：已知两个非零向量a=(x1,x 2),b=(x2,y 2), 怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ²b 呢？

22

a ²b=(x1,y 1) ²(x2,y 2)=(x1i+y1j) ²(x2i+y2j)=x1x 2i +x1y 2i ²j+x2y 1i ²j+y1y 2j =x1x 2+y1y 2

教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j 的运算可能有

22

困难，点拨学生：i =1,j=1,i²j=0

探究二：探索发现向量的模的坐标表达式

若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？

若A(x1,x 2),B(x2,y 2) ，如何计算向量AB 的模两点A 、B 间的距离呢？

例1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.

变式：已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j, 则a b

探究三：向量夹角、垂直、坐标表示 设a,b 都是非零向量，a=(x1, y 1),b(x2,y 2), 如何判定a ⊥b 或计算a 与b 的夹角呢？

1、向量夹角的坐标表示

2、a ⊥b x1x 2+y1y 2=0

3、a ∥b X1y 2-x 2y 1=0

例2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k ) ，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.

变式：已知，a =(1,2), b =(-3,2) 当k 为何值时，（1）ka +b 与，a -3b 垂直？

（2）ka +b 与a -3b 平行吗？平行时它们是同向还是反向？

（三）反思总结

(四) 当堂检测

1. 已知|a |=1，|b |=2，且(a -b ) 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５° 2. 已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为

π

，那么向量m =a -4b 的模为（ ） 3

A.2 B .2 C.6 D.12 3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积

4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ²b 及a 与b 的夹角

5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1) 若a 与b 的夹角为钝角, 则λ取值范围是多少?

课后练习与提高

2

1. 已知a =(-4,3), b =(5,6)则3a -4a ⋅b=（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83

2. 已知a (3,4),b=(-5,12)则a 与 b夹角的余弦为（ ） 63

65 5

3. a=(2,3),b=(-2,4), 则a+b⋅a-b =__________。

4. 已知a=(2,1),b=(λ，3)且a ⊥b 则λ＝__________。

5. a=(-4,7);b=(5,2)则a ⋅b=_______ a =_____ 2a -3b ⋅a+2b=_______

6. 与a=(3,4)垂直的单位向量是__________

43434343（--(, ) C. ，- 5，5555555

4343) 或(-, -) 5555

7. a=(2,3),b=(-3,5)则a 在b 方向上的投影为_________

()()

()()

8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ABC 为( ) A.直角三角形 B. 锐角三角形 C.钝角三角形 D. 不等边三角形

9. 已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 梯形 D. 矩形

10. 已知点A （1，2），B(4,-1),问在y 轴上找点C ，使∠ABC ＝90º若不能，说明理由；

若能，求C 坐标。

2.5平面向量应用举例

课前预习学案

一、预习目标

预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

二、预习内容

阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？ 2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？

3． 例3中，⑴ 为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？

⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？ 三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习内容

1. 运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.

2. 运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程

探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a =b ，则|a |=|b |，且a , b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？

（２）举出几个具有线性运算的几何实例．

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．

求证：AC +BD =AB +BC +CD +DA ．

试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系，

（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

变式训练：∆ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，（1）证明A 、O 、E 三点共线；

2

2

2

2

2

2

设AB =a , AC =b .

（2）用a , b . 表示向量AO 。

例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的 中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包, 夹角越大越费力. 在单杠上做引体向上运动, 两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？

⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d =500m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h，水流的速度|v 2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min) ？

变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 （1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在s A 方向上s A =(4,3),s B =(2,10)，的投影。

三、反思总结

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题 代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

四、当堂检测

1. 已知∆ABC 中，a =2, b =3, C =600，求边长c 。

2. 在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。

3. 在平面上的三个力F 1, F 2, F 3作用于一点且处于平衡状态，

F 1=1N , F 2=

的大小。

6+2

N , F 1与F 2的夹角为45o ，求：（1）F 3的大小；（2）F 1与F 3夹角2

课后练习与提高

一、选择题

1. 给出下面四个结论：

① 若线段AC=AB+BC，则向量AC =AB +BC ；

② 若向量AC =AB +BC ，则线段AC=AB+BC；

③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC;

④ 若向量AB 与BC +=AB +BC .

其中正确的结论有 （ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2. 河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10

的速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为 （ ）

A.10m

B. 226 C. 46 D.123. 在∆ABC 中，若(+) ∙(-) =0，则∆ABC 为 ( ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 二、填空题

4. 已知∆ABC 两边的向量AB =e 1, AC =e 2，则BC 边上的中线向量AM 用e 1、e 2表示为

5.

已知1+OP 2+OP 3=+=1，则1、OP 2、3两两夹角是

3.1.1两角差的余弦公式

课前预习学案

一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 二、预习内容

阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：

1. 如何用任意角α，β的正弦余弦值来表示cos(α-β) ；

2. 如何求出cos15的值;

3. 会求sin 75的值吗？

课内探究学案

一、学习内容

通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。

二、学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ：cos 45 ，cos30 ，cos15 （2）cos(45-30) =cos45-cos30是否成立？

探究二：两角差的余弦公式的推导 1. 三角函数线法：

问：①怎样作出角α、β、α-β的终边。 ②怎样作出角α-β的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。

2. 向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

例题整理

例1. 利用差角余弦公式求cos15的值

变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）cos(

π

2

-α) =sin α； （2）cos(2π-α) =cos α

4π5

例2. 已知sin α= ，α∈（ ，π），cos β= - ，β第三象限角，求cos （α-β）的值

5213

变式训练：已知sin θ=

三、反思总结

本节主要考察如何用任意角α，β的正弦余弦值来表示cos(α-β) ，回顾公式

15π，θ是第二象限角，求cos （θ-）的值 。 173

C （α-β） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特

别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用). 在求值的过程中，还要注意掌握“变

角”和“拆角”的思想方法解决问题.

四、当堂检测

1. 利用两角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

2. 求值 cos75

3．化简cos(α

cos300+sin 750sin300

+β)cos β+sin(α+β)sin β

14. 已知α，β为锐角，cos α=，sin （α+β）=，求cos β

7

课后练习与提高

一、选择题

1. cos50cos 20+sin50sin 20的值为 （ ）

A.

11 B.

C.

D. 320

2. cos(-15) 的值为 （ ）

A.

B.

C.

D 3. 已知cos α=

π12⎛π⎫

, α∈ 0, ⎪，则cos(α-) 的值等于（ ）

413⎝2⎭

A.

B. C.

D. 26

二、填空题

4. 化简cos(α+30)cos α+sin(α+30)sin α= 0

0000

5. 若a =(cos 60,sin 60), b =(cos15,sin15) ，则a ∙b 三、解答题、

6. 已知sin α=-, α∈ π,

23

⎛⎝

3π2

3⎫⎛π⎫

cos β=, α∈⎪ 0, ⎪，求cos(α-β) 的值.

4⎭⎝2⎭

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课前预习学案

一、预习目标

1. 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；

2. 经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力； 二、预习内容

1、在一般情况下sin(α+β) ≠sin α+sinβ,cos(α+β) ≠cos α+cosβ.

3ππ

sin θ=, 则sin(θ-) =_________;若θ是第四象限角，则sin(θ-) =_________.

544

tan θ=2, θ是第三象限角，求tan(θ-

π

6

) =___________.

注意角的变换及公式的灵活运用，如α=(α+β) -β; 2α=(α+β) -(α-β),

2、α+β βα

=(α-) -(-β) 等。222

已知tan(α+β) =

2

, tan(α-β) =51π

，那么tan(α+) 的值为( ) 45

A 、－

33133

B、 C、 D、 18181222

3. 在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用. 如公式tan(α±β)=

tan α±tan β

可变形为：tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);

1 tan αtan β

tan α±tan β

,

tan(α±β)

±tan αtan β=1-

tan 20 +tan 40 +tan 20 tan 40 =___________.

4、又如：asin α+bcosα=a 2+b 2 (sinαcos φ+cosαsin φ)= a 2+b 2 sin(α+φ), 其中tan φ=

b

等，有时能收到事半功倍之效. a

sin α+cos α=__________; sin α-cos α=___________.

cos x -sin x =_____________.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

学习重难点：

1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

动手完成两角和与差正弦和正切公式.

观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos αcos β，得到tan (α+β)=

tan α+tan β

．

1-tan αtan β

注意：α+β≠

π

2

+k π, α≠

π

2

+k π, β≠

π

2

+k π(k ∈z )

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

tan (α-β)=tan ⎡⎣α+(-β)⎤⎦=

tan α+tan (-β)tan α-tan β

=

1-tan αtan -β1+tan αtan β

注意：α+β≠（二）例题讲解

π

2

+k π, α≠

π

2

+k π, β≠

π

2

+k π(k ∈z ) ．

例1、已知sin α=-, α是第四象限角，求sin 3π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛

-α⎪,cos +α⎪, tan α-⎪的

5

⎝4⎭值.

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）、n

i s 72c o s 42c o s 7 2n i s 42

-

；（2）、o c

s 20c o s 70n i s 20 n i s 701+a n 1t 5

1-a n 1t 5

．

例3

x x

（三）反思总结

⎝4⎭

-

⎝

4⎭

；（3）、

(四) 当堂检测

1、 sin 7︒cos 37︒-sin 83︒sin 37︒的值为 (

(A) -

)

1

2

2

(B) -

(C)

12

(D)

3 2

1-tan 275︒2 的值为 (

tan 75︒

(A) 2

)

2 32 3

(B)

(C ) -2

3 (D) -

3、 若sin 2x sin 3x =cos 2x cos 3x , 则x 的值是 (

(A))

π

10

π(C)

5

π 6π(D)

4

(B)

1π⎫⎛3π⎫⎛

4、 若cos θ=, θ∈ , 2π⎪, 则sin θ+⎪=________.

53⎭⎝2⎭⎝

3-tan 15︒

5=_________. 1+3tan 15︒

6、 cos (α+β)cos β+sin (α+β)sin β=_________.

参考答案 1、-

1-26+ 2、C 3、A 4、 5、1 6、cos α 210

课后练习与提高

1. 已知tan (α+β)=

2. 若α, β均为锐角，且sin α-sin β=-3、函数y =cos

π⎫2π⎫1⎛⎛

（ ） , tan β-⎪=, 求tan α+⎪的值．

4544⎝⎭⎝⎭

11

, cos α-cos β=, 则tan(α-β) =. 22

π

2

x ⋅cos π(x -1) 的最小正周期是___________________.

2

4、α为第二象限角，sin α=

35

, β为第一象限角，cos β=. 求tan(2α-β）的值。 513

5. 已知

sin(α-求tan

β

2

) =

4α12βα

, -β) =-, 且α--β为第三象限角，521322

α+β

2

.

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

课前预习学案

一、预习目标

复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺

垫。

二、预习内容

请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：

。 三、提出疑惑

我们由此能否得到sin 2α,cos 2α, tan 2α的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β

看成α即可）。

课内探究学案

一、公式推导：

sin 2α=sin (α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α；

cos2α=cos (α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos 2α-sin 2α；

思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？

cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-sin 2α-sin 2α=1-2sin 2α；

cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α) =2cos 2α-1．

tan 2α=tan (α+α)=

注意：2α≠

tan α+tan α2tan α

=．

1-tan αtan α1-tan 2α

π

2

+k π, α≠

π

2

+k π (k ∈z )

二、例题讲解 例1、已知sin 2α=

例２、已知tan 2α=

三、课堂练习

1．sin22︒30’cos22︒30’=__________________; 2．2cos

2

5ππ

,

1

, 求tan α的值． 3

π

-1=_________________; 8

3．sin

2

ππ

-cos 2=____________________; 88

ππππcos cos cos =__________________. 48482412

4．8sin 5．(sin

5π5π5π5π+cos )(sin-cos ) =__________________; 12121212

α4α-sin 4=____________________; 6．cos

2211

-=___________________; 7．

1-tan α1+tan α

8．1+2cos θ-cos 2θ=______________________.

课后练习与提高

1、已知180°＜2α＜270°，化简2+cos 2α-sin 2α=（ ） A 、-3cos α B、3cos α C、-cos α D、sin α-cos α

2

5π

, 3π) ，化简-sin α++sin α= （ ） 2αααα

A 、-2cos B、2cos C、-2sin D、2sin

2222α3α4

3、已知sin =，cos =－，则角α是 （ ）

5252

2、已知α∈(

A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角

4、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。

5、已知sin α=

6、已知sin(

5π

, α∈(, π) ，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 132

π

4

+α) sin(

π

4

-α) =

1π

, α∈(, π), 求sin 4α的值。 62

7、已知tan(α-

β

2

) =

α11

α+β) 的值。

，tan(β-) =-，求tan(

232

3．2 简单的三角恒等变换（导学案）

课前预习学案

一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：

1、回顾复习以下公式并填空：

Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)=

sin2α= tan2α= cos2α=

2、阅看课本P139---141例1、2、3。 三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思

想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：

探究一：半角公式的推导（例1）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？

3、二倍角公式和半角公式有什么联系？

4、代数变换与三角变换有什么不同？

探究二：半角公式的推导（例2）

请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？

2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？

3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？

探究三：三角函数式的变换（例3）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？

2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ) 的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．

三、反思、总结、归纳：

sin α/2= cos α/2= tan α/2=

sin αcos β= cos αsin β=

cos αcos β= sin αsin β=

sin θ+sinφ= sin θ-sin φ=

cos θ+cosφ= cos θ-cos φ=

四、当堂检测：

课本p143 习题3.2 A 组1、（3）（7）2、（1）B 组2

课后练习与提高

一、选择题：

11．已知cos （α+β）cos （α－β）=，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） 3

A ．－

2 3 1B ．－ 3

2 1C ． 3 D ．2 3C 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos2，则△ABC 是（ ）

A ．等边三角形

C ．不等边三角形

3．sin α+sinβ=

A ．－3（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） 3 B ．等腰三角形 D ．直角三角形 2π 3 B ．－π 3 C ．π 3 D ．2π 3

二、填空题

4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．

5．已知α－β=

三、解答题

5sin x 1，x ∈（0，π）6．已知f （x ）=－+． 22sin x

22π1，且cos α+cosβ=，则cos （α+β）等于_________． 33

（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；

（2）求f （x ）的最小值．