教案简单的幂函数

教案--简单的幂函数

（九江外国语学校 田先发）

一．教学目标：

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念和特点；

（2）判断函数奇偶性的方法和步骤；

（3）奇(偶) 函数图像特点。

2．过程与方法

类比研究一般函数，二次函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二．重点、难点

重点：从4个具体的幂函数中认识它的概念和性质；

难点：从幂函数的图象中概括其性质--奇偶性。

三．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;

（2）教学用具：多媒体

四．教学过程：

（一）引入新知

问题引入：

1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克， 则所需的钱数y=____

元.

2、如果正方形的边长为x ，则面积y=_____.

3、如果正方体的边长为x ，体积为y ，那 么y=______

4、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为y 公里/秒，那

么y=______

师问：以上问题中的函数从形式上看具有什么共同特征？根据这一特

点它们有个怎样的共同名字？

生答：共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自

变量x 。

上述的问题涉及到的函数，都是形如：y =x α，其中x 是自变量，α是

常数.

（二) 探究新知

一）．幂函数的定义

一般地，形如y =x α（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如y =x , y =x , y =x 等都是幂函数，幂函数与一次函数，二次函数一样，都是基本初等函数.

特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③ x α 的 系数是1。

213-14

练习：1. 下列函数中，是幂函数的有______

①y =x 2+x ②y =x 2+x ③y =x -4 ④y=13x ⑤y= x 2

2、如果函数f (x) = (m 2－m －1) ∙x m 是幂函数，求实数m 的值。

3、已知幂函数y = f (x)的图象经过点（2 ， 4），求这个函数的解析式。

二）、幂函数性质的探究：

对于幂函数，我们一般讨论α=1，2，3，–1 时的情形。

23-1即：y =x , y =x , y =x , y =x

探究：结合前面研究二次函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？

作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质

探究：在同一坐标系中作出上述幂函数的图像

定义1：像这样图象关于原点对称的函数叫做奇函数。

探索：f(x)与f(-x)的关系

定义2：如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x ，都有 f(-x) =-f(x) , 那么函数 f(x)叫奇函数。

观察函数 y =x 2 的图象

问题1 y =x 2 的图象关于（ ） 对称

定义1：像这种图像关于y 轴对称

的函数叫偶函数

探索：f(x)与f(-x)的关系

定义2：如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个 X 都有f(x)=f(-x) , 那么函数 f(x) 就叫偶函数。

师问：问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

问题2：－x 与x 在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.

【归纳】判断函数的奇偶性的步骤：

第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数是非奇非偶函数；若对称，则进行第二步的判断。

第二步：法一、求出 f (-x) ，若 f(-x) =-f(x) , 则该函数是奇函数；若 f(-x) =f(x) ，则该函数是偶函数；否则函数是非奇非偶函数。若两个式子都成立，则既是奇函数也是偶函数。

法二、对于容易画图象的函数也可利用图象进行判断。

例:判断下列函数的奇偶性

(1）f (x )=-2x 5（2）f (x ) =x 4+2（3）y =x 2，x ∈(-3, 3]

巩固练习

课本P50 “动手实践”下的第1和第3个图像

（三）小结：这节课我们主要学习了

（1） 简单幂函数的概念和特点

（2）判断函数奇偶性的方法和步骤

（3） 奇(偶) 函数图像特点

（四）作业：

课本 习题2-5 A 组 第2题 P56 10题

（五）反思

本节课包括以下几个教学环节：归纳幂函数的概念；研究幂函数图形性质；归纳函数奇偶性的概念；函数奇偶性的应用。

本节课的设计突出学生合作探究学习的学法，突出学生观察归纳的能力。