第二章 复变函数钟玉泉版习题解答提示

第二章 习题解答提示

（一）

1. （定理）设连续曲线C :z =z (t ), t ∈[α, β]，有z '(t 0) ≠0(t 0∈[α, β]) ，则（试证）曲线C 在点z (t 0) 有切线。

分析 1）在z (t 0) 的某去心领域内能联结割线z (t 0) z (t 1； 2）割线的极限位置就是切线。

证1）∃δ>0, 使∀t 1∈(t 0-δ, t 0+δ) \{t 0}，有z (t 1) ≠z (t 0) ，即C 在z (t 0) 的 对应去心领域内无重点，即能够连接割线z (t 0) z (t 1，否则就存在数列{t 1n }→t 0, 使

z (t 1n ) =z (t 0) 。于是

z '(t 0) =lim 这与假设矛盾。

2）t 1∈(t 0, t 0+δ) ⇒t 1>t 0，

t 1n →t 0

z (t 1n ) -z (t 0)

=0，

t 1n -t 0

arg

z (t 1) -z (t 0)

=arg [z (t 1) -z (t 0) ],

t 1-t 0

∴lim arg [z (t 1) -z (t 0) ]（对z (t 0) 割线z (t 0) z (t 1) 倾角的极限）

t →t 0

=lim arg

t 1→t 0

⎡z (t 1) -z (t 0) z (t ) -z (t 0) ⎤=arg ⎢lim 1 ⎥t →t t 1-t 0⎣10t 1-t 0⎦

z '(t 0) 。 =a r g

因此, 割线确实有极限位置, 即曲线C 在点z (t 0) 的切线存在, 其 倾角为arg z '(t 0) .

⎧⎪x

3. 设 f (z ) =⎨

⎪⎩

3

-y 3+i (x 3+y 3) x 2+y 2

, z =x +iy ≠0;

z =0.

0,

试证f (z ) 在原点满足C . -R . 条件, 但却不可微. 证 1) 有公式(2.5)及(2.6)有

u x +iv x =lim

y =0x →0

f (z ) -f (0)

=1+i ;

z f (z ) -f (0)

=i +1.

z

-iu y +v y =lim

x =0y →0

2) 但z 当沿直线y =mx (m ≠0) →0时,

lim

z →0

f (z ) -f (0)

随m 而变.

z

4. 试证下列函数在z 平面上任何点都不解析: (1) z ; (2) x +y ; (3) Re z ; (4)

1. z

分析 由于孤立的可微点不是解析点, 故只须证明各函数 个别点外处处不满足解析的必要条件:C . -R . 条件.

证 (1) 当z ≠0时, 即x , y 至少有一≠0时, 或有u x ≠v y , 或有u x ≠-v x . 故z 至多在原点可微;

(2)

在上处处不满足C . -R . 条件; (3) 的结论同(2); (4)

1z x +iy ==2, 除原点外, C . -R . 条件处处不成立. 2

x +y z z z

5. 判断下列函数的可微性和解析性: (1) f (z ) =xy +ix y ; (2) x +iy ;

(3) f (z ) =2x +3iy ; (4) x -3xy +i (3xy -y ). 分析 如只在孤立点或只在直线上可微, 都未形成由可微点

构成的圆邻域, 故都在其上不解析; 利用推论2.3考查可微性, 然后应用解析的定义.

解 (1) u (x , y ) =xy , v (x , y ) =x y . 仅当x =y =0时

2

2

3

3

3

2

2

3

2

2

2

2

y 2=u x =v y =x 2, 2xy =u y =-v x =-2xy ,

且此四偏导数在原点连续, 故f (z ) 只在原点可微, 且

f '(0) =(u x +iv x )

(0, 0)

=(x 2=2xyi )

(0, 0)

=0.

6. 若函数f (z ) 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 试 证f (z ) 在D 内必为常数.

(1) 在D 内f '(z ) =0; (2)f (z ) 在D 内解析; (3) f (z ) 在D 内为常数;

(4) Re f (z ) 或Im f (z ) 在D 内为常数. 分析 分别由各题设条件及C . -R . 条件得:在D 内

u x =u y =v x =v y =0, 从而u , v 在D 内为常数.

引理* 在区域D 内

u x =u y =v x =v y =0

(A)

⇒在D 内u , v 为常数.

事实上,1) 设z 0=x 0+iy 0为D 内一定点.

z =x +iy =x 0+∆x +i (y 0+∆y )

是D 内任一点. 若这两点能用全含于D 内的直线段z 0z 来联结, 则有:

∆u =u (x 0+∆x , y 0+∆y ) -u (x 0, y 0) =u x (x 0+θ∆x , y 0+θ∆y ) ∆x

+u y (x 0+θ∆x , y 0+θ∆y ) ∆y (0

这是因为, ”若令x =x 0+t ∆x , y =y 0+t ∆y (0≤t ≤1), 则有

F (t ) =u (x 0+t ∆x , y 0+t ∆y ), F '(t ) =u x (x 0+t ∆x , y 0+t ∆y ) ∆x +u y (x 0+t ∆x , y 0+t ∆y ) ∆y .

而

dx dy =∆x , =∆y . dt dt

由数学分析中的微分中值定理得

F (1) -F (0) =F '(θ)(1-0) =F '(θ) (0

于是(B) 式成立. ”

从而由(A) 知∆u =0, 即u (x , y ) =u (x 0, y 0) . 即在D 内u 为常数. 同理, 在D 内v 为常数.

2) 若联结两点z 0与z 的直线段不全含于D 内, 由区域的连通性知, 可用全含在D 内的折线段将z 0与z 连接. 若z 1=x 1+iy 1是折线上z 0后面的一个顶点, 则在1) 段中∆u 的表达式(B) 中, 令

x 0+∆x =x 1, y 0+∆y =y 1, 立即得

u (x 1, y 1) =u (x 0, y 0).

如此逐步推算, 由一顶点至另一顶点, 最后可得

u (x , y )=u (x 0, y 0).

即在D 内u 为常数. 同理, 在D 内v 为常数. 引理*证毕. 证

(1)

∀z =x +iy ∈D , 0=f '(z ) =u x +iv x C . -R . v y -iu y .

(2) 由题设条件u +iv 及u -iv 在D 内解析, 再由C . -R .

条件可推得u x =u y =v x =v y =0最后有引理*可得证.

(3) 由题设, 在D 内f (z ) =常数C . 1) C =0⇒f (z ) ≡0. 2) C ≠0⇒f (z ) ≠0.

C 2

证一 f (z ) =C ⇒f (z ) =在D 内解析, 于是由题(2)得知

f (z )

f (z ) 在D 内为常数.

证二 u +v =C ≠0, 分别对x , y 微分, 再应用C . -R . 条件, 讨论解二元一次方程组, 即得在D 内

2

2

2

u x =u y =v x =v y =0.

(4) 由C . -R . 条件推得, 在D 内u x =u y =v x =v y =0. 8. 试证下列函数在z 平面上解析, 并分别求出其导函数. (1) f (z ) =x +3x yi -3xy -y i ;

3

2

2

3

(2) f (z ) =e (x cos y -y sin y ) +ie (y cos y +x sin y ); (3) f (z ) =sin xchy +i cos xshy ; (4) f (z ) =cos xchy -i sin xshy ; 证 应用定理2.5及求导公式(2.7).

x x

cos a +cos(a +b ) + +cos(a +nb ) sin =

n +1

b

nb cos(a +),

b 2sin 2

(1)

及

sin a +sin(a +b ) + +sin(a +nb ) sin =

n +1

b

nb sin(a +).

b 2sin 2

（2）

证一 分别证明（1）和（2）. 按定义将正, 余弦函数表成指数函数, 再等比级数求和的公式简化.

注 由于a 和b 是复数, 不能从(1)+i (2)着手化简后, 再比较实, 虚部. 证二 先将(1)和(2)式两端各乘sin 端化简.

16. 试证：（1）sin(iz ) =ishz ；（2）cos(iz ) =chz ；

（3）sh (iz ) =i sin z ；（4）ch (iz ) =cos z ； （5）tg (iz ) =ithz ；（6）th (iz ) =itgz .

证 （1）、（2）应用定义2.5及2.7；（3）由（1）；（4）由（2）；（5）、（6）由定义2.6、及2.7及（1）、（2）. 17. 试证：（1）ch 2z -sh 2z =1；（2）sec h 2z +th 2z =1；

（3）ch (z 1+z 2) =chz 1chz 2+shz 1shz 2.

证 （1）由16题（1）、（2）；（2）由本题（1）；（3）由16题（1）、（2）. 18. 若z =x +iy , 试证：

（1）sin z =sin xchy +i cos xshy ； （2）cos z =cos chy -i sin xshy ；

b

去分母后, 再应用三角函数中积化和差的公式, 代入左2

（3）sin z （4）cos z

2

=sin 2x +sh 2y ； =cos 2x +sh 2y .

2

证 （1）、（2）应用16题（1）、（2）；（3）、（4）分别应用本题（1）、（2）及17题（1）. 20. 试解方程：（4）cos z +sin z =0；（5）tgz =1+2i . 解 （4）2(

12

cos z +

12

sin z ) =0.

z =-

tg (1+2i ) =

π

4

+k π（k 为整数）.

（5）z =Arc

11+i (1+2i )

Ln

2i 1-i (1+2i )

=

1-2+i Ln = 2i 5

z =

1⎡1⎤

(2k +1) π-arctg ⎢⎥2⎣2⎦

+

21. 设z =re i θ，试证

i

ln 5(k =0, ±1, ). 4

Re [ln(z -1) ]=

i ϕ

1

ln(1+r 2-2r cos θ) . 2

证 设z -1=ρe ，则Re [ln(z -1) ]=ln ρ.

22. 设w =z 确定在从原点z =0起沿正实轴割破了的z 平面上，并且w (i ) =-i ，试求

w (-i ) 之值.

解一 w k (z ) =r (z ) e

i

θ(z ) +2k π

3

，

（z ∈G ：0

1） 利用w (i ) =-i 定k , k =2; 2) 求w 2(-i ) . 解二 作图2.0.1f (z ) =z

1π

⇒∆c arg f (z ) =∆c arg z =.

33

再由公式（2.25）计算f (-i )(=e

-i 6

π

).

23. 设w =z 确定在从原点z =0起沿负实轴割破了的z 平面上，并且w (-2) =-2（这

是边界上岸点对应的函数值），试求w (i ) 之值.

解一 -2=2e i π, i =e 2. 由w (-2) =-2定k , k =1, 从而w 1(i ) =e

i

π

5

πi 6

.

解二 作图2.0.2. f (z ) =z ，而

arg f (-2) =arg -z =π.

又

[]

∆arg z =-

5πi 6

π

1π

, ∆c arg f (z ) =∆c arg z =-. 再应用公式（2.25）计算236

f (i )(=e ) .

4z 4+1在ox 轴上A 点（OA =R >1）的初值为+R +1，令z 由A 起

24. 已知f (z ) =

沿正向再以原点为中心的圆周上走何？

分析 题设的函数f (z ) =

1

圆周而至oy 轴的B 点，问f (z ) 在B 点的终值为4

z 4+1是具有四个有限支点的二值函数，讨论起来比较繁难，

而经过变数代换w =z 4后，就简化成具有单有限支点-1的二值函数w =w +1.

解 z 在z 平面上沿以z =0为心，经过变换w =z 4，R >1为半径的圆周c 从A 走到B ，其象点w 在w 平面上w=0为心，刚好绕w =R >1为半径的象圆周Γ从A 走到B '，的交点-1转一整周. 故它在B '的值为-w +1. 因此f (z ) |B =-f (z ) |A =-R +1. 25. 试证：在将z 平面适当割开后，函数

4

4'

w +1

f (z ) =(1-z ) z 2

能分出三个单值解析分支. 并求出在点z =2取负值的那个分支在z =i 的值.

分析 仿例2.3.14，2.3.15及2.3.16解之.

证 f (z ) 的支点是z =0, 1, 在沿[0, 1]割开的z 平面的区域D 内，f (z ) 能分出三个单值解析分支.

i θi θ

证一 令1-z =r 1e 1，z =r 2 e 2

f k (z ) =r 1(z )[r 2(z )]e

i

θ1+2θ2+2k π

3

当z =2时，θ1=π, θ2=0, r 1=1, r 2=2. 由已知arg f k (z ) π定k , k =1. 然后计算

f 1(i ) =-2e

7πi 12

证二 作图2.0.4. 由2到i ，取路线C 1. ∆c 1arg f (z ) =

7π

（2.25）计算f (i ) , 再按公式

1217

证三 作图2.0.4. 由2到I , 取路线C 2, ∆c 2arg f (z ) =-π. 再按(2.25)计算f (i ) .

12

(二)

1.

设

f (z ) =

试

z 1-z 2

, 证

.

2. 设f (z ) =

z

1-z

, 试证 Re ⎡⎢⎣

1+z f ''(z ) ⎤f '(z ) ⎥⎦>0, (z

3. 若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析. 证一设z 0、z 分别为下半z 平面内的定点及动点，可证

(z ) -f (z 0)

z lim

f →z z -z =f '(z 0) .

由z 0的任意性及解析的定义得证.

证二f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在上半平面(y >0) 内解析

⇒1) u (x , y ), v (x , y ) 在y >0可微，且

2)

∂u (x , y ) ∂∂x =v (x , y )

∂y

, ∂u (x , y ) ∂y =-∂v (x , y )

∂x

(y >0) (*) 考查f (z ) =u (x , -y ) -iv (x , y )(y

Re ⎡⎢⎣z f '(z ) ⎤f (z ) ⎥⎦

>0, (z

z f '(z ) 1+z 21-z 4

=2i I m z 2f (z ) =1-z 2

=

(

-z

22

1) u (x , -y ), -v (x , -y ) 在y

∂u [x , -y ](*) ∂[-v (x , -y ) ]， ∂x (-y >0) ∂y

∂u [x , (-y ) ]∂[-v (x , -y ) ]. =-∂y ∂x

4．(形式导数)(1)设二元函数u (x , y ) 有偏导数. 此函数可以写成z =x +iy 及z 的函数

u =u (

试证(形式地)

z +z z -z

, ). 22i

∂u 1⎛∂u ∂u ⎫∂u 1⎛∂u ∂u ⎫

⎪ ⎪= -i , =+i ⎪ ⎪∂z 2⎝∂x ∂y ⎭∂z 2⎝∂x ∂y ⎭

(2)设复变函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) , 且u (x , y ) 和v (x , y ) 都有偏导数. 试证(形式地):对于f (z ) , 柯西—黎曼(Cauchy-Riemann)条件可以写成

∂f ∂u ∂v

=+i =0 ∂z ∂z ∂z

(由此可见, 解析函数是以条件而是z 一数的函数.)

证 （形式地）（1）由于x =

∂f

=0为其特征的. 因此, 我们不妨说, 一个解析函数与z 无关, ∂z

11

(z +z ), y =(z -z ) . 22i

这里视z , z 为两个独立变量. 根据复合函数求偏导的法则，即可形式地得证。

（2）

∂f ∂u ∂v 1⎛∂u ∂v ⎫

=+i (1) -⎪+ ∂z ∂z ∂z 2⎝∂x ∂y ⎪⎭i ⎛∂u ∂v ⎫

+⎪. 2⎝∂y ∂x ⎪⎭

∴

∂u ∂v ∂u ∂v ∂f

=, =-(C . -R .) ⇔=0. ∂x ∂y ∂y ∂x ∂z

5. 试证Im z ≤sin z ≤e

Im z

.

证 设z =x +iy . 由本章习题（一）18（3）可证得前一不等式sin z ≥shy ≥y =Im z ；后一要证不等式可应用sin z 的定义及三角不等式来证明。

6. 若z ≤R 试证sin z ≤chR , cos z ≤chR

证 应用：本章习题（一）18（3）；17（1）. 8. 试证多值函数f (z ) =

(1-z ) 3(1+z ) 在割去线段[-1, 1]的z 平面上可以分出四个单

值解析分支. 求函数在割线上岸取正值的那个分支在点z =±i 的值. 分析 类似本章习题（一）26.

证 因f (z)的支点为-1,1, 取支割线[-1,1],作图2.0.5. 1) ∆c 1arg f (z ) =-

π

8

,

π(2. 25) -i

f (i ) 2e 8e i ⋅0.

2) ∆c 2arg f (z ) =-

115π

. πi , ∆c 3arg f (z ) =

88

f (-i ) =2e

9. 已知f (z ) =

5π

i 8

.

(1-z )(1+z 2) 在z=0的值为1. 令z 描绘路线OPA （如图2.0.6）.A 点为

2. 试求f (z)在A 点的值.

分析 类似本章习题（一）26

解 f (z)的支点为±i , 1及∞，支割线可取：沿虚线轴割开[-i , i ]; 沿实轴割开[1, +∞)路线OPA 未穿过支割线。记路线OPA 为C.

1

[∆c arg(1-z ) +∆c arg(z -(-i )) +∆c arg(z -i ) ] 2

1π

=[-π+0]=-.

22∆c arg f (z ) =

∴f (2) =e

-i

2i ⋅0

π

e =-i .

z (1-z ) 在割去线段0≤Re z ≤1的z 平面上能分出两个单值解析分支.

10. 试证f (z ) =

并求出在支阁线[0,1]上岸取正值的那一支在z =-1的值, 以及它的第二阶导数在z =-1的值.

证 f (z) 的支点为0和1. 取支割线[0,1]（图2.3.8）. 按复合函数求导法则：

f '(z ) =

1f (z ) d

[z (1-z ) ]

2z (1-z ) dz =

11⎫⎛1f (z ) -⎪, 2⎝z 1-z ⎭

f ''(z ) =

11⎫⎛1

f '(z ) -⎪ 2z 1-z ⎝⎭

'11⎫⎛1+f (z ) -⎪ 2⎝z 1-z ⎭

11⎫⎛1=f (z ) -⎪ 4z 1-z ⎝⎭

2

-

取路线C 如图2.3.8. ∆c arg f (z ) =

⎡111⎤f (z ) ⎢2+⎥ 2(1-z ) 2⎦⎣z

π

2

, 并由(2.25)得

π

i

f (-1) =2e 2e i ⋅0=2i .

2) 代入（1）得f ''(-1) =-Ⅲ. 类题或自我检查题 1. 证明:f (z ) =

2

i 16

Im z 2 的实.(0,0)点满足C.-R. 条件, 但f (z ) 在z =0不可微.

2. 设f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 再区域D 内解析，试证：在D 内

2

2

2

2

u x u y

v x u y

=f '(z ) .

2

3. 设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) , 问a , b , c , d 取何值时, f (z ) 在z 平面上

解析?

(答:a =d =2, b =c =-1)

4. 设(1)f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域D 内解析;(2)在D 内Re ⎨z

内为常数.

5. 设f (z ) =z , =⎨z Re z ≥

3

⎧f '(z ) ⎫

⎬=0. 则f (z ) 在D f (z ) ⎩⎭

⎧⎩1⎫1

. 取z =(1-i ) , 通过计算⎬12⎭2

[f (z 1) -f (z 2) ]/(z 1-z 2) , 验证中值定理在复数域内不成立.

6. 设z =x +iy ,

f (z ) =(xe x cos y -ye x sin y +

x y x x

) +i (xe sin y +ye cos y -). 问

x 2+y 2x 2+y 2

f (z ) 在哪些点对z 可导？并求出f '(z ) .

(答:f (z ) 在z ≠0的点可导.)

7. 证明:(1+i ) ctg (α+β) +(1-i ) ctg (α-i β) =2

sin 2α+sh 2β

.

ch 2β-cos 2α

8. 解方程(1)sin z +cos z =2; (2)sin z =ish 1.

(答:(1)z =(2k +) π+i ln(2+1), (2)z =⎨9. 试证:cos z ≥

14

⎧2k π+i

)

⎩(2k +1) π-i , k =0, ±1, ±2,

1-y

e -e y (z =x +iy ). 2

10. 设区域D 是沿负虚轴割破的z 平面, ω=z 确定在D 内, 求在D 内满足-1=-1的单

值连续解析分支在z =1-i 处之值.(答:f (1-i ) =2e 11. 求(-3)

5

1103πi 4

)

的一切值.(答:

(-3)

=3

12

[5(2k +1) π) +i (2k +1) π) , (k =0, ±1, ))

]

12. 求Arc cos 的一切值.(答:Arc cos

1ππ

=-i ⋅i (±+2k π) =2k π±, (k =0, ±1, )) 233

13. 设下列函数f (z ) 在z =2是的辅角为零, 求当z 从2出发绕以原点为中心的圆周C 回到

2时(反时针方向) f (z ) 的辅角. (1)f (z ) = (5)f (z ) =

z -1; (2)f (z ) =z -1; (3)f (z ) =z 2-1; (4)f (z ) =z 2+2z -3;

z -12π

. (答(1)π; (2); (3)2π;(4)π;(5) 0.) z +13

14. 求下列多值函数的支点. 这些多值函数在怎样的区域内可以分出单值解析分支?

(1)互不相同, n >2;

n

(2)f (z ) =

3

k =1

∏(z -a k ) , a 1, a 2, a 3, a n 互不相同, n ≥3;

z

;

(z -1)(z -2)

(3)f (z ) =

(4)f (z ) =Ln (5)f (z ) =3

(z -a )(z -b )

,a,b,c 互不相同;

z -c

(z +1)(z -1) 2(z -2) 3

.

z 4(z +3) 4

(提示:参看本章3,6段所叙述的判断方法.)

15. 设f (z ) =

⎡1⎤⎡1⎤

(1-z 2)(1-k 2z 2) (0

⎣k ⎦⎣k ⎦

开的平面上, f (z ) 可分出两个单值解析分支, 并求在z =0取正值的那一支在出的值.(答:

2(1+k 2) )

16. 设有函数f (z ) =

z 2+2z +2, 并设在z =-1时, f (z ) =-1. 若由此点出发, 沿下列路线

至终点1+2i , 求f (z ) 在终点处之值.(1)当路线为直线段;(2)当路线为半圆周.(答:

f (1+2i ) =-8i +1); (2)f (1+2i ) =i +1)