相似多边形讲义

平行线分线段成比例及相似多边形讲义

【知识点拨】

1、相似多边形的定义：

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2、相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．

3、平行线分线段成比例定理： （1）如图, 设三条平行线l 1∥l 2∥l 3, 则理, 它的逆定理仍然成立.

A

D E AB DE

=. 此定理称为平行线分线段成比例定BC EF

l 1l 2l 3

B C

（2）平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE ∥BC ，则AD AE DE

==

A AB AC BC E D

B

C B

C

D

（3） 平行的判定定理：如上图，如果有

AD AE DE ==，那么DE ∥ BC 。 AB AC BC

【知识点及配套练习】

考点一：相似多边形

1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为 。

2、两个相似六边形的周长分别是l 1，l 2，面积分别是S 1，S 2，若 l1：l 2=2︰3，S 2-S 1 =30，则S 1= ______，S 2=_____.

3. 如图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和α、β的大小．

考点二：平行线分线段成比例定理

1、如图，DE ∥BC ，且DB =AE , 若AB =5，AC =10，求AE 的长。

A

D

C

B

2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =a ，BC =b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，

AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

A E

D

B

F

C

3. 如图，在∆ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE =延长，交BC 的延长线于D ，则

1

AB ，连接EM 并4

BC

=_______. CD

A

E

B

C

D

【课堂练习】

1、如图1－4－11，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A．甲和乙 B．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙

2、如图，求作线段x ，使x =

2bc

，下面各种作法中正确的是（ ） a

3、已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且

AE 1AF

=，求的值。 BE 3FC

4、如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。

【知识综合练习】

一、选择题：

1、如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．AD DB =AE EC B ．AB AD =AC

AE C ．AC EC AB =DB D ．AD DB =DE

BC

2、如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CE =1

3

CD ，AD ＝12，那么CF 的长为（ A．4 B．6 C．3 D ．12

3如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3 B．6

）

C ．12 D．16

4、如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5

C. 4 D. 3

5、. △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( )

A.4∶9 C.2∶3 原来的 ( )

A.9倍 C.81倍

B.3倍 D.18倍

B.9∶4 D.3∶2

B

C

6、. 将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为

7、

ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm2，则S △CBF 等于( )

A.12 cm2

B.24 cm2 C. 54 cm2

D.15 cm

2

8、如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）

A.2∶1

B. 3∶1

C. 2∶1

D.4∶

1

二、填空题

1、如图，l 1//l 2//l 3，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；

2、如图，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝_____ ，EG ＝________；

3、如图△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，

4、. △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是3∶4，△ABC 的周长是27 cm，则△A ′B ′C ′的周长为________.

5、. 两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________.

6、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，则较小的三角形的周长为________

1

ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF

2

交BC 于G 交AD 于H ，则△BEG 与△CFG 的面积之比是

________. 7、如图，在

8、如图，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD=3S△ABD ，则AB ∶AC 等于

________.

三、解答题

1、如图， 已知△ABC 中AB=AC，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm，求AP 的值.

2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝15，CD ＝30，点E 、F 分别为AD ，BC 上一点，且EF ∥AB ，若梯形AEFB ∽梯形EDCF ，试求线段EF 的长。

3、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．

4、△ABC ∽△A ′B ′C ′，

积是64 cm2，求：

（1）A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； （2）△A ′B ′C ′的周长 （3）△ABC 的面积

AB 1

=, 边上的中线CD ＝4cm ，△ABC 的周长为20cm ，△A ′B ′C ′的面A 'B '2