初中数学竞赛教程及练习之整数解附答案

整数解

一、内容提要

1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.

求整数解常用的性质、法则：

①. 数的运. 算性质：

整数＋整数＝整数，整数－整数＝整数，

整数×整数＝整数，整数的自然数次幂＝整数,

整数÷（这个整数的约数）＝整数.

②. 整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a≠0) 只有当b 2－4ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x 1+x2与x 1x 1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.

③. 运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.

④. 用列举法.

3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法. 即设有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐一推出矛盾.

二、例题

例1. 求下列方程的正整数解：

① xy+x+y=5； ② x 2+y2＝1991.

解：①先写成关于x 的方程，

（y+1）x=5－y. 2.

x=5-y -y -1+66==-1+. y +1y +1y +1

当y+1取6的约数±1, ±2, ±3, ±6时，x 的值是整数.

∵－1＋6＞0，且x>0, y>0, y +1

∴ 1

∴原方程有正整数解⎨

①⎧x =2⎧x =1；或⎨. y =1y =2⎩⎩又解：把左边写成积的形式：

x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.

∵6＝1×6＝2×3，而正整数y+1>1, x+1>1.

∴⎨⎧x +1=3⎧x +1=2 或⎨

⎩y +1=2⎩y +1=3

⎧x =1⎧x =2解得 ⎨；或⎨. y =2y =1⎩⎩

②要等式成立，x, y必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b－1 (a,b都是正整数).