二维形式的柯西不等式
不等式选讲第11课时
二维形式的柯西不等式
学习目标:1。认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义;
2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法 重点难点:柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。
教学过程:
一、引入:
除了前面已经介绍的贝努利不等式外,本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛,而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式:
定理1:(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数,则
(a2b2)(c2d2)(acbd)2,
其中等号当且仅当adbc时成立。
证明:略。
推论:
1. a2b2c2d2|acbd|(当且仅当ad=bc时,等号成立.)
2.(ac)(bd)(ac)2.(a,b,c,dR)(当且仅当ad=bc时,等号成立.)
3.a2b2c2d2|ac||bd|(当且仅当|ad|=|bc|时,等号成立)
例1:已知a,b为实数,求证(ab)(ab)(ab) 4422332
说明:在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算。所以,经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2:求函数y5x12x的最大值。
分析:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。(|acbd|a2b2c2d2)
解:函数的定义域为【1,5】,且y>0
y5x12x
52(2)2(x1)2(x)2
27463
当且仅当2x155x时,等号成立,即x
课堂练习:1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2
2.求函数y3x56x的最大值.
例3.设a,b是正实数,a+b=1,求证127时,函数取最大值63 27114 ab
111111分析:注意到(ab)(),有了(ab)()就可以用柯西不等ababab
式了。
课堂练习: 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.
几何意义:设,为平面上以原点O为起点的两个非零向量,它们的终点分别为A(a,b),B(c,d),那么它们的数量积为acbd, 而||a2b2,||c2d2,
所以柯西不等式的几何意义就是:||||||,
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
2、定理2:(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则
||||||,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
3、定理3:(三角形不等式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则:
(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 分析:(课件)
思考:三角形不等式中等号成立的条件是什么?
小结:灵活运用类似a+b=1等式子,把问题化成可以应用柯西不等式的结构,是解决问题的关键。
作业:P37页,4,5, 7,8,9
不等式选讲第12课时
一般形式的柯西不等式
学习目标:1。认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义;
2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法 重点难点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。
教学过程:
一.复习:
定理1:(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数,则
(a2b2)(c2d2)(acbd)2,其中等号当且仅当adbc时成立。
定理2:(柯西不等式的向量形式)设,则||||||,为平面上的两个向量,
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
定理3:(三角形不等式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则:
(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2
二.新课
类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入,可得到
(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 , 共线时,
即 β0 ,或存在一个实数k,使得aikbi(i1,2,3)时,等号成立.
这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
4、定理4:(一般形式的柯西不等式):设n为大于1的自然数,ai,bi(i1,2,…,222222n)为任意实数,则:ai
i1n2bi(aibi)2,其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时a1a2an
成立(当ai0时,约定bi0,i1,2,…,n)。
证明:构造二次函数:f(x)(a1xb1)(a2xb2)(anxbn) 222
即构造了一个二次函数:f(x)(ai)x2(aibi)xbi 222
i1i1i1nnn
由于对任意实数x,f(x)0恒成立,则其0,
即:4(ab)ii
i1
2n24(ai)(bi)0, 22i1i1nnn
即:(aibi)(ai)(bi), 22
i1i1i1nn
等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0, 即等号当且仅当
。 n)bb1b2n时成立(当ai0时,约定bi0,i1,2,…,a1a2an
如果ai(1in)全为0,结论显然成立。
二、典型例题:
例1、 已知a1,a2,…,an都是实数,求证:1222(a1a2an)2a1a2an n
分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例2、 已知a,b,c,d是不全相等的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.
分析:由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。
练习:1.设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求149的最小值。 xyz
2.已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。
3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,求3a2b的最大值。
选做:4.已知a,b,c为正实数,且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08广一模)
5.已知a,b,c为正实数,且a+2b+c=1,求111的最小值。(08东莞二模) abc
6.已知x+y+z=25,则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
三、小结:重点掌握三维柯西不等式的运用。
五、作业:P41习题3.2 2,3,4,5
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