直线与直线的位置关系

学案48 直线与直线的位置关系

导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

自主梳理

1．两直线的位置关系

平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．

(1)两直线平行

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

l1∥l2⇔________________________.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，

l1∥l2⇔________________________.

(2)两直线垂直

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

l1⊥l2⇔k1·k2＝____.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.

2．两条直线的交点

两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．

3．有关距离

(1)两点间的距离

平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.

(2)点到直线的距离

平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.

(3)两平行线间的距离

已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：

①求一条直线上一点到另一条直线的距离；

②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________. 自我检测

1．(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3

A．7 B．－7 C．3 D．－3

2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )

A．(0,4) B．(0,2)

C．(－2,4) D．(4，－2)

am3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，＝－1是直线l1⊥l2的( ) bn

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )

A．1或3 B．1或5

C．3或5 D．1或2

5．已知2x

＋y＋5＝0x＋y的最小值是________.

探究点一 两直线的平行与垂直

例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：

(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．

变式迁移1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，

(1)试判断l1与l2是否平行；

(2)l1⊥l2时，求a的值．

探究点二 直线的交点坐标

例2 已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．

变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．

探究点三 距离问题

例3 (2011·厦门模拟)已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：

7x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是10

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

1②点P到l1的距离是点P到l2的距离的； 2

③点P到l1的距离与点P到l325.

若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

转化与化归思想的应用

例 (12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

【答题模板】

解 (1)设A′(x，y)，再由已知

33

4∴A′－13，13.[4分]

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则630得M′13，13.[6分]

设直线m与直线l的交点为N，则由

得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[8分]

(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，

如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上， 易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分]

再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]

方法二 ∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0 (C≠1)，

∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得

|－2＋6＋C||－2＋6＋1|＝，解得C＝－9，[10分] 22＋3222＋32

∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]

方法三 设P(x，y)为l′上任意一点，

则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，[10分]

∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.[12分]

【突破思维障碍】

点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．

【易错点剖析】

(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．

(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0( )

A．平行 B．垂直

C．重合 D．关于直线y＝－x对称

2．(2011·六安月考)若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是( )

A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0

3π3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线4

l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )

A．－4 B．－2 C．0 D．2

4．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝02，则P点坐标为( )

A．(1,2) B．(2,1)

C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)

5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0

1的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) 8

212， B.2，4221212， D.，222

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．

7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．

8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

其中正确答案的序号是________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2011·福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．

10．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．

11．(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．

学案48 直线与直线的位置关系

自主梳理

ABC＝ (2)－1 0 A2B2C2

2．解 交点 唯一解 x2－x1＋y2－y1

|Ax0＋By0＋C||C1－C2|(2) (3)②A＋BA＋B自我检测

1．D 2.B 3.A 4.C

5.5

课堂活动区

例1 解题导引 运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．

解 (1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.

若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.

又l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，

∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.

a若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a. b

a由l1⊥l2，得k1k2＝－a)＝－1. b1．(1)k1＝k2且b1≠b2

由l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，

解之得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，

a∴k1＝k2，即1－a. b

又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，

4∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即b. b

2a＝2，a＝3解之得或 b＝－2b＝2.

2∴a、b的值为2和－2或2. 3

变式迁移1 解 (1)方法一 当a＝1时，

l1：x＋2y＋6＝0，

l2：x＝0，l1与l2不平行；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；

a当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－－3， 2

1l2：y＝x－(a＋1)， 1－a

a1－21－a，l1∥l2⇔ 解得a＝－1， －3≠－a＋1，

综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．

方法二 由A1B2－A2B1＝0，

得a(a－1)－1×2＝0.

由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，

2aa－1－1×2＝0a－a－2＝0，∴l1∥l2⇔2⇔2 aa－1－1×6≠0aa－1≠6.

∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．

(2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；

a当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3， 2

1l2：y＝x－(a＋1)， 1－a

a12－1⇒a＝. 由21－a3

方法二 由A1A2＋B1B2＝0，

2得a＋2(a－1)＝0⇒a. 3例2 解题导引 ①转化思想的运用

三条直线l1、l2、l3l1、l2、l3交于一点或至⇐⇐ 不能构成三角形少有两条直线平行

三条直线l2与l3的交l2与l3对应方程组⇐⇐ 交于一点点在l1上的解适合l1的方程

②分类讨论思想的运用

本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，

不重不漏．

解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．

①三条直线共点时，

mx＋y＝0，由2x＋3my＝4， x＝2－3m得－4my＝2－3m4 2 (m2≠， 3

即l2与l3的交点为4，－4m， 2－3m2－3m

－4m4代入l1的方程得4×－4＝0， 7×2－3m2－3m1解得mm＝2. 3

4②当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝ 7

7当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝ 6

6当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝3

6147∴m取集合－，，，2中的元素时，三条直线不能构成三角形． 33376

变式迁移2 解 可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，

则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为

3y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1， 2

即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.

3x＋2y－7＝0由，得B(7，－7)， x＋y＝0

x－y＋1＝0由，得C(－2，－1)， 2x－3y＋1＝0

所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.

例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．

如本例中求两条直线2x－y＋a＝0与－4x＋2y＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化

1为－4x＋2y－2a＝0，或将后一条直线化为2x－y－＝0后，再应用平行线间的距离公式． 2

解 (1)∵l1：4x－2y＋2a＝0 (a>0)，l2：4x－2y－1＝0，

|2a＋1|∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝， 5

|2a＋1|75102又a>0，可解得a＝3.

(2)设点P的坐标为(x，y)，

由条件①，可知x>0，y>0.

由条件②和③，

|2x－y＋3||4x－2y－1|545可得|2x－y＋3||x＋y－1|52，

4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1|化简得， |2x－y＋3|＝|x＋y－1|

于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|， 也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，

1解得y＝，或8x＋2y－5＝0. 2

1当y＝|2x－y＋3|＝|x＋y－1|， 2

2解得x＝－3

8x＋2y－5＝0由， |2x－y＋3|＝|x＋y－1|

8x＋2y－5＝08x＋2y－5＝0化简得，或， x－2y＋4＝03x＝－2

x9解得37y＝181x＝－3或31y＝62 (舍去)．

137即存在满足题设条件的点P，其坐标为9，18.

变式迁移3 解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．

当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，

y＝kx－3＋1，3k－21－4k. 由 解得Ak＋1k＋1x＋y＋1＝0，

y＝kx－3＋1，3k－71－9k. 由解得Bk＋1k＋1x＋y＋6＝0，

由两点间的距离公式，得

3k－23k－72＋1－4k－1－9k2＝25， k＋1k＋1k＋1k＋1



解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.

综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.

方法二 因为两平行线间的距离

|6－1|52d 22

如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，

设直线l与两平行线的夹角为θ，

，所以θ＝45°. 2

因为两平行线的斜率是－1，

故所求直线的斜率不存在或为0.

又因为直线l过点P(3,1)，

所以直线l的方程为x＝3或y＝1.

课后练习区

1．B 2.C 3.B 4.C 5.D

6．－1 7.3x－2y＋5＝0 8.①⑤ 则sinθy＝kx＋3k－29．解 由x＋4y－4＝0 12－12kx＝4k＋1，得7k－2y＝4k＋1 .(5分)

∵两直线的交点在第一象限，

12－12k4k＋1∴7k－24k＋1>0 2，分) 7

2时， 7

两直线的交点在第一象限．(12分)

10．解 设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，

(1)当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为

5－3y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分) －4－2

(2)当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.(10分) ∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. (12分)

11．解 设点A(x，y)在l1上，

x＝3，x＋2由题意知y＋y2＝0，BB ∴点B(6－x，－y)，(6分)

2x－y－2＝0，解方程组 6－x＋－y＋3＝0，

x＝3，

得16y＝311 16－03 ∴k＝8.(12分) 11－33

∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. (14分)