利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角
1.二面角的概念:
二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二l,两个面分别为,的二面角记为
l.
2.二面角的平面角:
过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线
OA,OB,则AOB叫做二面角l
3、二面角的大小
(1)二面角的平面角范围是[0,180];
(2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直
4、用法向量求二面角
如图所示,分别在二面角α-l-β的面α,β内,并且沿α,β延伸的方向,作向量n1⊥l,n2⊥l,则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角。
如图,设m1⊥α,m2⊥β,则角与该二面角相等或互补。
C
5、面面角的求法
(1)法向量法:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角
(2)方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。
coscosAB,CD
ABCDABCD
小结:
1.异面直线所成角:2.直线与平面所成角:
3.二面角:
ABCD
coscosAB,CD
ABCD
二.求二面角的平面角:
例1:在正方体AC1中,求二面角D1—AC—D的大小?
例2:如图,三棱锥P-ABC中,面PBC⊥面ABC,⊿PBC是边长为a的正三角形,∠ACB= 90°, ∠BAC=30°,BM=MC。(1)求证: PB ⊥AC (2)二面角C-PA-M的大小 。
例1:在棱长为1的正方体AC1中,求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角正弦值大小.
解:过C1作C1OBD于点O, ∵正方体AC1,∴CC1平面ABCD,
∴COC1为平面C1BD与平面ABCD所成二面角的平面角, C1BDC可以求得:sinCOC1
A1
,所以,平面C1BD与底面ABCD所成 3
6 3
二面角C1BDC的平面角的正弦值大小为
例2.如图,AB平面BCD,BDCD,若ABBC2BD,求二面角BACD解:过D作DFBC于F,过D作DEAC于E,连结EF,则AC垂直于平面DEF, FED为二面角BACD的平面角, 又AB平面BCD,
∴ABDF,ABCD,
A∴DF平面ABC, ∴DFEF
又∵ABCD,BDCD,
∴CD平面ABD,∴CDAD,
B
设BDa,则ABBC2a,
在RtBCD中,
SBCD
1
1BCDFBD
CD,∴DF 22DF同理,
Rt
ACD中,DE ,
∴sinFEDDE所以,二面角BACD的正弦值为
. 5
通过观察探究利用法向量解决: 例1:解:建立空间直角坐标系得:
DC1(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0)
设平面C1BD的法向量n1(x1,y1,z1),平面CBD的法向量n2(x2,y2,z2),可得
n1(1,1,1),n
2(0,0,1),
例2:解:建立空间直角坐标系得: (0,2,2),(0,0,2),(
6,即二面角的平面角sin 33
31
,,2) 22
设平面BAC的法向量n1(x1,y1,z1),平面DAC的法向量n2(x2,y2,z2)得:
n1(0,0,1),n
2(1,
33,), 335
. 所以,二面角BAC
D
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