数学归纳法的发展.原理及其在数学中的应用

数学归纳法的发展及其在数学中的应用

摘要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。本文叙述了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。本文也列举了几种常见的数学归纳法的形式，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法、螺旋式归纳法。在了解数学归纳在数学中的应用后，本文重点叙述了数学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明几何问题、探索与正整数有关的问题中的具体应用过程。通过本文，能使读者更加深入的了解数学归纳法，并且能更好的运用数学归纳法解决数学学科中的一些问题。

关键词：数学归纳法发展原理应用

一、数学归纳法的发展

（一）数学归纳法名称的发展

“数学归纳法”名称是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用推广。在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根。1838年在伦敦出版的《小百科全书》中，德摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法”。但在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法，这是我们所能看到这一术语的最早使用。无论是毛罗利科还是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的数学家们，虽然都在不断地使用数学归纳法，但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称。只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作，才引进了“归纳法”这一名称。并

(1)以特此获得一般结论的沃利斯方式(2)在两种截然不同的意义上应用于数学：

指定的步骤论证，并且影响了其后的数学家们，使这种混用状态大约持续了140年。到l9世纪上半叶，英国的数学家皮科克在他的《代数学》的排列与组合部分，谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意数，是从预攫f 意义上以沃利斯方式使用归纳法的。后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳法。

皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特的《代数》(1866年第4版)所采用并因而得到广泛传播。他在该书中介绍这种证明方法时，使用了两个名称“数学归纳法”和“证明归纳法”，但该章的题目却用的是前者。

这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯以及菲科林所使用，后者宣称是受惠于托德亨特。随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，如英国教育家、数学家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的《代数》第2卷以及霍尔(H．S．Hal1) 和纳特(s．R．KmgM)台著的《代数》(1898)、奥尔迪斯的代数教科书(Textbook0f Algebra．1887)等都只用数学归纳法而不再使用“证明归纳法”。

（二）数学归纳法的历史

1.数学归纳法最早的使用

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。

数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文林翻译的美国数学史教授V •J •Katz 在《数学史通论》中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维•本•热尔森（Levi ben Gerson ，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。

2.莫洛里科斯解开数学归纳法之谜但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494-1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。他只是利用递推关系巧妙的证明出证明了前n 个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n 属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础:证明当n =1时表达式成立。

递推的依据:证明如果当n =m 时成立，那么当n =m +1时同样成立。这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

3.帕斯卡明确数学归纳法的两步

真正明确数学归纳法证明两步的应该是17世纪的数学家帕斯卡(B.Pascal, 1623~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。

4.数学归纳法的建立

然而严格意义上的数学归纳法的建立，是在数的理论充分发展及对无穷概念有较深刻的认识后才得以完成的。十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法。至1889年意大利数学家C •皮亚诺(C. Peano , 1858~1932) 发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础。

二、数学归纳法的原理

（一）良序原理

所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数（或计算值）：1，2，3，4，5……一一对应的过程，我们用N 表示自然数这个无限集合，这里值得注意的是关于N 的定义并未达成共识，有些数学家把0也归入N 。但这两种不同定义并不会引起太大的冲突，哪一种使用方便即可选择哪一种。自然数N 的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N 的公理. 对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题. 为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设. 尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”。

良序原理：自然数集N 的每个非空子集都有一个最小元素。

显而易见，自然数N 的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合，该定理依然有效. 例如，当X 和Y 可取任意整数时，考虑12X+28Y所表示的所有自然数集合. 从定义看该集合的范围并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数。（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事。注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它。）

例2.1.1用良序原理证明算法的正确性. 整除算法说：若a 是整数而且d 是正整数，则存在唯一的整数q 和r 满足0≤r

证明设S 是形如a-dq 的非负整数的集合，其中q 是整数。这个集合非空，因为

-dq 可以任意大（取q 是绝对值很大的负整数）。根据良序性，S 有最小元r =a -dq 0。整数r 非负而且r

a =dq 0+r 。为了看出这一点，假设r ≥d 。因为，所以a -d (q 0+1)

a -d (q 0+1) =a -dq 0-d =r -d ≥0。因此，存在满足0≤r

（二）数学归纳法

1对任何正整数n，5+8+11+... +(3n +2) =(3n 2+7n ) 2

因为存在无限多个正整数，所以，在证明这个断言时，不能通过对n 的每个值逐一验证等式是否成立。有一种规范的方法可用来证明命题对所有的正整数都成立，这种方法称为数学归纳法原理。

定理2.2.1假设要证明的命题能写成∀n ≥n 0P (n ) ，其中n 0是某个固定整数，即：假设希望证明对所有整数n ≥n 0都有P (n ) 为真，那么如下方法可以说明如何做到这一点.。假设（a）P (n 0) 为真,和(b)如果对任一k ≥n 0只要P (k ) 为真，那么P (k +1) 也一定为真.于是对所有n ≥n 0，P (n ) 为真.这种方法称作数学归纳法原理。

因此，用数学归纳法原理证明命题：∀n ≥n 0P (n ) 为真，必须首先用直接法证明第一个命题P (n 0) 为真，称其为归纳法的基础步骤，并且通常来讲该步是非常容易的。然后必须证明对n ≥n 0的任何选择，P (k ) ⇒P (k +1) 是一个重言式。因为一个蕴涵为假的惟一情况是如果前提为真而结论为假，做这一步通常是证明如果P (k ) 为真，那么P (k +1) 也一定为真。注意，它同假设对某个k 值P (k ) 为真不一样。这一步称作归纳步骤，并且某些工作通常要求证明蕴涵恒为真。

（三）第二数学归纳法

与上述数学归纳法略有不同的形式在某些证明当中更易于使用。第二数学归纳法或强归纳法中，其归纳步骤是证明

(∀k )(P (n 0) ∧P (n 0+1) ∧P (n 0+2) ∧... ∧P (k )) ⇒P (k +1) 是一个重言式。同前面一

样，需要检验的唯一情况是如果每个P (j ) ，j =n 0,..., k 为真，那么P (k +1) 为真. 强归纳法与数学归纳法是等价的，在一个证明中使用哪一个取决于方便性。

a 2... p s a s ，其中p i 是素数且例2.3.1证明：每个正整数n >1能惟一地写成p 1a 1p 2

p 1

证明基础步骤这里n 0=2，显然P (2)为真，因为2是素数。

归纳步骤使用P (2)，P (3)，…，P (k ) 证明P (k +1) ：k +1能惟一地写成a 2p 1a 1p 2... p s a s ，其中p i 是素数且p 1

b 2a 2... q s b s r 1c 1r 2c 2... r u c u =p 1a 1p 2... p s a s ，其中每个利用P (l ) 和P (m ) ，得k +1=lm =q 1b 1q 2

p i =q j 或r k ，p 1

（四）数学归纳法的有效性

为什么数学归纳法是一种有效的证明方法？原因在于良序原理。假定知道P (1)为真，而且对所有正整数n 来说命题P (n ) →P (n +1) 为真。为了证明对所有正整数来说P (n ) 都为真，假定至少存在一个P (n ) 为假的正整数。那么使P (n ) 为假的正整数S 非空。因此，根据良序性，S 有一个最小元，把它表示成k 。可以知道k 不是1，因为P (1)为真.因为k 是正的而且大于1，所以k -1是一个正整数。另外，因为k -1小于k ，它不属于S ，所以P (k -1) 必然为真.因为蕴涵式

所以实际情况必然是P (k ) 为真。这与对k 的选择相矛盾。P (k -1) →P (k ) 也为真，

因此对每个正整数n 来说P (n ) 必然为真。

三、数学归纳法几种常见方式

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n 取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，

但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也

成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n 命题P(n）成立，

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出

P(k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

四、数学归纳法的具体应用

(一)证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。下面举例说明。

例1111n ++ +=(n ∈N *) 1⨯33⨯5(2-1) ⨯(2+1) 2+1

1111=，右边==1⨯332⨯1+13证明：(1)当n =1时，左边=∴左边=右边

(2)假设n =k 时，等式成立．即

111k ++ +=1⨯33⨯5(2-1) ⨯(2+1) 2+1

当n =k +1时，

1111++ ++⨯⨯-⨯+++k 1=++++k (2k +3) +1=(2+1)(2+3)

(2k +1)(k +1) =(2+1)(2+3)

k +1=2(k +1) +1

∴当n =k +1时，等式也成立。

由(1)(2)知，等式对任何n ∈N *都成立。

例2已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证：cos A 是有理数；

（2）求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．

AB 2+AC 2-BC 2

证明：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知cos A =是2×有理数。

sin nA 都是有理数。①当n =1时，由（1）(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ×

知cos A 是有理数，从而有sin A ⋅sin A =1-cos 2A 也是有理数。②假设当

sin kA 都是有理数。当n =k +1时，由n =k (k ≥1) 时，cos kA 和sin A ×

cos(k +1) A =cos A ⋅cos kA -sin A ⋅sin kA

sin A ⋅sin(k +1) A =sin A ⋅(sinkA ⋅cos A +cos kA ⋅sin A )

=(sinA ⋅sin kA ) ⋅cos A +(sinA ⋅sin A ) ⋅cos kA

由①和归纳假设，知cos(k +1) A 与sin A ⋅sin(k +1) A 都是有理数。

即当n =k +1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数。

（二）证明不等式

应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种。严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可。对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“³”或“£”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“A =B ”成立，也要说明A B ) 成立。只有如此，才能更充分地体现非严格不等式A 常B (A 另一种观点认为：在第一步中，只要证明A =B 或A B ) B ) 成立。

B ) 成立。事实上，用数学归纳法有一个成立，即可说明非严格不等式A 常B (A

证明非严格不等式时，A =B 是A ³B 或A £B 的基础。

例1求证：(a 1+a 2+ +a n )(111++ +≥n 2(a n ≥0) 12n

证明：（1）当n =1时，不等式成立。

（2）假设当n =k (k ∈N ) 时命题成立，即

(a 1+a 2+ +a k )(111++ +≥k 2

a 1a 2a k

那么当n =k +1

(a 1+a 2+ +a k +a k +1)(

=(a 1+a 2+ +a k )(1111++ ++a 1a 2a k a k +11111111++ ++(a 1+a 2+ +a k ) +a k +( ++11a 1a 2a k a k +1a 1a 2a k

≥k 2+≥k 2++1

=k 2+2k +1

=(k +1) 21即当n =k +1时，命题成立。

根据（1）和（2），可知命题对任何n ∈N *都成立。

11113++ +>(n ≥2, n ∈N ) +1+[1**********]=>证明：（1）当n =2时，左边=+==右边例2求证：∴不等式成立

（2）假设当n =k (k ≥2) 时命题成立，即

11113++ +>k +1k +22k 24111++ +令S k =k +1k +22k 11111++ +++那么当n =k +1时，令S k +1=+2+322+12+2

则有S k +1-S k =

∴S k +1>S k 1111+-=>02+12+2+12(+1)(2+1)

由归纳假设知，S k >1313，则S k +1>即当n =k +1时，命题成立。

根据（1）和（2），可知命题对任何n ∈N *都成立。

有时候，我们要证明的不等式无法直接运用归纳法解决，这时，我们则考虑将不等式加强以便运用归纳法。而不等式加强的形式是多样的，其中规律有法可循——根据要证不等式的形式进行构造。

（三）证明整除问题

应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。在做这一部分题时，应从整除的基本含义入手，通过添项去项进行“配凑”，使之能够获

证。

例1用数学归纳法证明：x2n +y2n (n ∈N *)能被x +y 整除（对于多项式A ，B ,如果AB =C , C 也是多项式，那么A 能被B 整除）

证明：（1）当n =1时，x 2-y 2=(x +y )(x -y ) ，x 2-y 2能被x +y 整除。

（2）假设当n =k (k ÎN *) 时，x 2k -y 2k 能被x +y 整除，

那么当n =k +1时，

x 2(k +1) -y 2(k +1)

=x 2x 2k -y 2y 2k

=x 2x 2k -x 2y 2k +x 2y 2k -y 2y 2k

=x 2(x 2k -y 2k ) +y 2k (x 2-y 2)

因为x 2k -y 2k 与x 2-y 2都能被x +y 整除，所以上面的和

x 2(x 2k -y 2k ) +y 2k (x 2-y 2)

也能被x +y 整除。

这就是说，当n =k +1时，x 2(k +1) -y 2(k +1) 能被x +y 整除。

根据（1）和（2），可知命题对任何n ∈N *都成立。

（四）证明几何问题

应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。数学家华罗庚曾在其《数学归纳法》一书中指出；“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”不少与正整数有关的几何问题，也可以用数学归纳法证明，但是在证明之前要找出规律，获得公式，然后才能用数学归纳法证明结论。

例2求证凸n 边形的内角和f (n ) =(n -2) p (n 纬N 且n 3) 。

证明：（1）当n =3时，f (3)=(3-2) p =p

∵三角形内角和等于p

∴当n =3时，命题正确。

（2）假设n =k (k ³3) 时命题成立，即f (k ) =(k -2) p

当n =k +1，连结k +1边形有公共顶点的两条线段AB 、AC 的两端点得到线段BC ,则BC 与除AB 、AC 外的k -1条线段组成一个k 边形，AB 、AC 与BC 组成一个三角形。

∴f (k +1) =(k +2) p +p =[(k +1) +1]p

∴当n =k +1时，命题成立。

由（1）、（2）可知，命题成立。

（五）用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法。在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要。

例1已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论。

解：∵f （n ）=f （n －1）+lga n －1，令n =2，则f （2）=f （1）+f （a ）=－lg a +lga =0

又f （1）=－lg a ，

1⎧α=, ⎪⎧α+β=011⎪2∴⎨∴⎨∴f （n ）=（n 2－n －1）lg a 22⎩2β+4α=1. ⎪β=-1. ⎪2⎩

证明：（1）当n =1时，显然成立

（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（k 2－k －1）lg a ，

则n =k +1时，

f （k +1）=f （k ）+lga k =f （k ）+k lg a

=（k 2－k －1+k ）lg a =［（k +1）2－（k +1）－1］lg a

∴当n =k +1时，等式成立

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f （n ）=（αn 2+1

[**************]

βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立

五、后记

从以上的内容中，我们了解了数学归纳法的发展历史、原理、分类以及在一些数学中的应用。也看到了数学归纳法在数学学科中的重要地位。从数学归纳法的应用中，我们也可以得到如何应用数学归纳法的借鉴。但是，应当指出，并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。

参考文献：

[1]张奠宙，张广祥.中学代数研究[J].北京高等教育出版社，2006.

[2]叶立军.初等数学研究[J].上海华东师范大学出版社，2008.

[3]华罗庚.数学归纳法[J].北京科学出版社，2002.

[4]李浙生.数学科学与辩证法[J].北京首都师范大学出版社，1995.

[5]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999,(02),102-106.

[6]冯进.数学归纳法的发展历程[J].常熟理工学院学报,2008, (08),19-26.

[7]李宗俊.数学归纳法的本质[J].宜宾师范高等专科学校学报,2001, (02),46-47.

[8]黄万徽.数学归纳法原理及其应用[J].高等函授学报(自然科学版),1999, (04),12-14.

[9]唐子周.关于数学归纳法的一点探索[J].中国科技信息, 2008, (03),238-239.

[10]黄崇智.第一及第二数学归纳原理的推广[J].内江师范学院学报,2008,

(10),11-12.