高三数学应用题专题

2014届高三数学应用题专题

1、某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均有1 km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．

（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？

2如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．

（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．

甲

乙

3．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x ≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

4、如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E 、F 分别在BC 、CD 上），根据规划要求∆ECF 的周长为2km ． A （1）试求∠EAF 的大小；

（2）欲使∆EAF 的面积最小，试确定点E 、F 的位置．

B

D

F

C

5、如图，∆ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2． ⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； ⑵求

S 1

的最小值. S 2

6、如图某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知AB =2km , BC =6km , AE =BF =4km , 其中AF 是以A 为顶点、

AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

7、如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排l 1，在路南侧沿直线排l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 603m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为α．矩形区域内的排管费用为W ． （1）求W 关于α的函数关系式；

（2）求W 的最小值及相应的角α． l 1

8、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． 于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入万元作为固定宣传费用，投入

l 2

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低

12

(x -600) 万元作为技改费用，投入506

1

x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 5

至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时．．．．．．商品的每件定价．

9、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米) 的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK

2⎫2⎛1

是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数y ＝ x ≤⎪的图象，另外的边缘是平行于正

3⎭9x ⎝3

方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l (宽度不计) ，直线l 与曲线段MN 相切(切点记为P ) ，并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，f (t ) 表示该地块在直路l 左下部分的面积． (1)求f (t ) 的解析式；

(2)求面积S ＝f (t ) 的最大值．

10、已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为S 1，草坪的面积为S 2，取∠ABC =θ． （1）用θ及R 表示S 1和S 2； （2）求

S 1

的最小值． S 2

BD BC CD sin(120︒-α)

==1、（1）在△BCD 中，∵，

∴BD =，．则CD =sin 60︒sin αsin(120︒-α) n s i αsin α

AD =1-

n s i 1(20) ︒-αn s i α

．

sin(120︒-α) cos α-4π2π

S

＝400⋅+100⋅[1-

．其中≤α≤． ]＝50-sin αsin αsin α33

（2

）S '=-

-sin α⋅sin α-(cosα-4)cos α1-4cos α

＝． sin 2αsin 2α11

．当cos α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数； 44

令S '＝0，得cos α=当cos α

1

时，S '＞0，S 是α的单调增函数． 4

∴当cos α=

1

时，S

取得最小值．此时，sin α=4

1

α+sin αsin(120︒-α) 1AD =1-=1-=

sin αsin α2

1

11＝ =22

2、解（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，

S △RST =

1

SH ⋅RT ． 2

由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离； RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2， 当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．

1

此时，场地面积的最大值为S △RST =⨯4⨯2=4（km 2）．

2

T

S

P

Q

甲

乙

R

（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有

S 四边形ABCD =1⨯2⨯2⨯sin θ⨯2+1⨯2⨯2⨯sin(π-2θ) =4(sinθ+sin θcos θ) 0

()

令y =sin θ+sin θcos θ，则y '=cos θ+cos θcos θ+sin θ(-sin θ) =2cos 2θ+cos θ-1．

若y '=0，cos θ=1，θ=π，又θ∈0π时，y '>0，θ∈ππ时，y '

故θ=

π时，场地面积取得最大值为km 2）．

3、解：（1）设商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获

利为f (x ) ，则依题意有f (x ) =(30-x -9)(432+kx 2) =(21-x )(432+kx 2) ，

()()

·22，于是有k =6， 又由已知条件，24=k

所以f (x ) =-6x 3+126x 2-432x +9072，x ∈[0，30]．

（2）根据（1），我们有f '(x ) =-18x 2+252x -432=-18(x -2)(x -12) ． 当x 变化时，f '(x ) 与f (x ) 的变化如下表：

故x =12时，f (x ) 达到极大值．因为f (0)=9072，f (12)=11264，

所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

4、解：（1）设∠BAE =α, ∠DAF =β，CE =x , CF =y (0

=2，即2(x +y ) -xy =2

tan α+tan β1-x +1-y 2-(x +y ) 2-(x +y )

tan(α+β) =====1

1-tan αtan β1-(1-x )(1-y ) x +y -xy x +y +[2-2(x +y )]

0

π

2

, ∴α+β=

π

4

，即∠EAF =

π

4

.

（2）由（1）知，

1111

S ∆AEF =AE ⋅AF sin ∠EAF =AE ⋅AF =⋅=244cos αcos β4cos αcos β

=

1111===

cos αcos(-α) 2cos α(sinα+cos α) sin 2α+2cos 2αsin 2α+cos 2α+1

4

=

1

α+) +1

4ππππ

0

AEF 1．

4428

π2tan π, ∴tan π=1，故此时BE =DF =1 tan =

41-

tan 28

8

所以，当BE =DF 1时，∆AEF 的面积最小．

5解：⑴

．

E 为AC 中点时，则AE =EC =

3, 233

+3

AB 上，则AE +AF =3-AE +4-AF +3, ∴AE +AF =5.

∴AF =

72

在三角形AEF 中，EF 2=AE 2+AF 2-2AE ⋅AF cos A

=, ∴EF =

2 即小路一端E 为AC 15

. ⑵若小路的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE =x , CF =y , 则x +y =5

S 1S ABC -S CEF S ABC

==S 2S CEF S CEF =

1

CA ∙CB sin c -1=1

CE ∙CF sin c 2

99115

x =y =，当时取等号. -1≥-1=2

2xy 25⎛x +y ⎫

⎪⎝2⎭

F 分别在一腰若小路的端点E 、（不妨设腰AC ）上和底上，设AE =x , AF =y , 则x +y =5

S 1S ABC -S AEF S ABC 1212235

x =y =, 当时取等号. ==-1=-1≥-1=2

2S 2S AEF S AEF xy 25⎛x +y ⎫

⎪⎝2⎭

答：最小值为

11. 25

6、解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则A (0,0),F (2,4)，

2

由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y =ax 2(a >0) ，由4=a ⨯2得，a =1，

∴AF 所在抛物线的方程为y =x 2，又E , 40, ) (62) , (

C ，∴EC 所在直线的方程为y =x +4，

设P (x ，x 2)(0

2232

∴工业园区的面积S =(4-x +4+x -x ) ⋅x =-x +x +4x (0

1212

∴S '=-3x +x +4, 令S '=0得x =

2

4

或x =-1（舍去负值）， 34(, 2) 3

-

当x 变化时，S '和S 的变化情况如下表：

x

4(0,) 3'

+

4 3

0 极大值

↑

104

27

↓

4104时，S 取得最大值． 327

104

答：该高科技工业园区的最大面积．

27

由表格可知，当x =

7、解：（1）如图，过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意得∠MEF =α(0≤α≤

π

3

) ，

60

， AE +FC =-60tan α， cos α

60sin α-2

⨯2=603-60所以W=(603-60tan α) ⨯1+。 cos αcos α

sin α-2π

（2）设f (α) =，(0≤α≤)

cos α3

cos αcos α-(-sin α)(sinα-2) 1-2sin α

=则f '(α) =．

cos 2αcos 2α

1π

令f '(α) =0得1-2sin α=0，即sin α=，得α=．

26

故有MF =60tan α，EF =

列表

所以当α=

6

时有f (α) max =W min =

答：排管的最小费用为万元，相应的角α=8、解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有(8-

π

6

．

x -25

⨯0.2) x ≥25⨯8， 1

2

整理得x

-65x +1000≤0，解得25≤x ≤40．

121

(x -600) +x 有解, 等价于x >25时，65

∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′

（2）依题意，x >25时，

不等式ax ≥25⨯8+50+

a ≥

15011

+x +有解, x 65∴a ≥10.2.

1501+x ≥10(当且仅当x =30时，等号成立) , x 6∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于

原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′

22

9、解：(1)因为y ＝，所以y ′＝－2

9x 9x

2224

所以过点P 的切线方程为y －＝－(x －t ) ，即y ＝－分)

9t 9t 9t 9t

4

令x ＝0，得y ＝y ＝0，得x ＝2t .

9t

4⎛所以切线与x 轴交点E (2t, 0) ，切线与y 轴交点F 0，.(4分) ⎝9t ⎭

⎧4⎪1，①当⎨9t

12t ≤⎪⎩33，⎧4⎪1，

②当⎨9t

12t ≤⎪⎩33，

2t ≤1，

41

即≤t ≤ 92

144

所以f (t ) ＝×2t ×＝(6分)

29t 9

2t ＞1，

12

＜t ≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 23

144t －24t －1f (t ) ＝2·1＝；(8分) 9t ⎭2⎝9t 9t ⎧4⎪1，③当⎨9t

12t ≤⎪⎩33，2t ≤1，

214≤t ＜时，切线左下方的区域为一直角梯形， 3914t －9t 92＋2t ⎫所以f (t ) ＝·1＝2t －t . ⎪2⎝24⎭⎧⎪441综上f (t ) ＝⎨≤t ≤，2⎭9⎝924t －11⎪t ≤⎩9t ⎝23⎭. 4⎫92⎛12t －t ≤t ＜⎪，9⎭4⎝3 (10分)

149294⎫244(2)t ＜时，f (t ) ＝2t －t －⎪＋＜(12分) 3944⎝9⎭99

124t －11⎛1⎫244当＜t ≤时，f (t ) ＝2 2⎪＋，(14分) 239t 9⎝t ⎭99

4所以S max ＝分)

10、（1）为∠ABC =θ，则AC =2R sin θ, BC =2R cos θ， 1AC ⋅BC =2R 2sin θcos θ=R 2sin 2θ． 2

设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则MO ⊥AC , NO ⊥BC ． 则S 2=

易得三角形AMC 的面积为R 2sin θ(1-cos θ) ，三角形BNC 的面积为R 2cos θ(1-sin θ) ， ∴S 1=R 2sin θ(1-cos θ) +R 2sin θ(1-cos θ) =R 2(s i θn +c o θs -． s ) 2θs i n θc o

S 1R 2(sinθ+cos θ-2sin θcos θ) sin θ+cos θ（2）∵==-1，

S 22R 2sin θcos θ2sin θcos θ

S t 12令sin θ+cos θ=t ∈(1，则2sin θcos θ=t -1．∴1=2-1=-1． 1S 2t -1t -t

S ∴11． S

2

11