20**年-7-A(答案)概率论与数理统计试卷和答案

华东理工大学2008–2009学年第二学期

《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共

12

分）设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度函数为

⎧ke -x -2y , x >0, y >0

f (x , y ) =⎨，

其他⎩0,

（1） 求常数k （3分）； （2） 求P {X >Y }（3分）；

（3） 证明：X 与Y 相互独立（6分）。

解：（1）

⎰⎰

∞∞

-∞-∞

f (x , y ) dxdy =1，……………………………………….2’

⎰⎰

∞∞

ke -x -2y dxdy =1，k =2；………………………………………1’

（2）P {X >Y }=

⎰

∞

dx ⎰2e -x -2y dxdy ……………………………….2’

x

=1-

12

=………………………………………………1’ 33

∞⎧⎪⎰2e -x -2y dy ,

（3）f X (x ) =⎨0

⎪0, ⎩∞⎧⎪⎰2e -x -2y dx ,

f Y (y ) =⎨0

⎪0, ⎩

x >0y >0

⎧e -x , x >0

，……………………………..2’ =⎨

0, x ≤0x ≤0⎩

y >0y ≤0

…………………………………2’

⎧e -2y , =⎨y ≤0⎩0,

因为f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) ，所以X 与Y 相互独立。………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？ 解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则Y =g (X ) ，且

1. 5a , ⎧

Y =⎨

⎩1. 5X -0. 5(a -X ),

X ≥a

⎧1. 5a , =⎨

X

X ≥a X

………………2’

⎧1⎪, x ∈(300, 500)

……………………..1’ X 的概率密度函数为 f (x ) =⎨200

⎪其他⎩0,

∞a 50011

dx +⎰1. 5a ⋅dx EY =⎰g (x ) f (x ) dx =⎰(2x -0. 5a ) ⋅

300a -∞200200

1=(-a 2+900a -3002) ……………………………………………………3’ 200dEY 1令=(-2a +900) =0，…………………………………………………2’

da 200

， a =450（唯一驻点）

d 2EY 1

=-

100da

所以，当a =450吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。

... ……….2’ . 三、（11分）已知相互独立的随机变量X ，Y 的概率密度分别为：

⎧e -y , y >0⎧2x , 0≤x ≤1

f (x ) =⎨，g (y ) =⎨，

其他⎩0, ⎩0, 其他

求Z =X +Y 的概率密度ϕ(z ) 。

⎧2xe -y , 00

解一：（X ，Y ）的联合概率密度为f (x , y ) =f (x ) g (y ) =⎨…..2’

其他⎩0,

由卷积公式，ϕ(z ) =

⎰

1

∞

-∞

f (x ) g (z -x ) dx =⎰2xg (z -x ) dx ……………… ..2’

z

1

当z ≤0时，ϕ(z ) =0；…………………………………………………….. …..2’ 当01时，ϕ(z ) =

⎰

2xe -(z -x ) dx =2(e -z +z -1) ；……………………2’

-(z -x )

⎰2xe

dx =2e -z ，……………………………………2’

0, z ≤0⎧

⎪-z

即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0

-z ⎪2e , z >1⎩

解二：F (z ) =P {X +Y ≤z }=

当z ≤0时，F (z ) =

x +y ≤z

⎰⎰f (x , y ) dxdy ………………………………..2’

z -x

z

x +y ≤z

⎰⎰0dxdy =0，ϕ(z ) =0；………………………….2’

z 0

z

当0

⎰

=⎰2xdx -e ⎰2xe dx =z

-z

z

x

0-z

dx ⎰2xe dy =⎰2x (1-e -(z -x ) ) dx …………….2’

2

-y

-2z +1-2e -z ，……..1’

ϕ(z ) =F '(z ) =2(e +z -1) ；……………………………….1’

当z >1时，

F (z ) =⎰dx ⎰

1z -x

2xe dy =⎰2x (1-e

-y

1

-(z -x )

) dx =⎰2xdx -2e

1

-z

⎰

1

xe x dx =1-2e -z

…………………………………………………………………………………………2’ ϕ(z ) =F '(z ) =2e -z ，……………………………………………………………...1’

0, z ≤0⎧

⎪-z

即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0

⎪2e -z , z >1⎩

⎧2x

⎪0

五、（12分）设总体ξ的概率密度为 ϕ(x ) =⎨θ2

⎪其他⎩0

其中，θ>0 是未知参数，(X 1, X 2, , X n ) 是来自ξ的一组样本，

ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（1）求θ的矩法估计θ（本小题5分）

M

M

ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（2）求θ的极大似然估计θ（本小题7分） L L

解：（1）E ξ=

⎰

θ0

x ⋅

2x

θ2

dx =

23θ2

x

3θ0

=

2θ

=X ，…………………………2’ 3

ˆ=因此θM

3

X . …………………………1’ 2

ˆ是θ 的无偏估计。……………2’ ˆ=3E X =3⋅2θ=θ，所以此矩估计θE θM M

223

（2）似然函数L (θ) =

∏ϕ(x ) =

i

i =1n i =1

n

2

n

∏x

i =1

2n

n

i

θ

，0

…………………………2’

ln L (θ) =n ln 2+∑ln x i -2n ln θ，

d ln L 2n

=-

…………………………1’

ˆ=max{X }=X …………………………1’ θ越小，L 越大，故θL i (n )

x ≤0⎧0,

2⎪⎪x

ξ的的分布函数为F 1(x ) =⎨2, 0

⎪θ

x >θ⎪⎩1,

ˆ=max{X }的分布函数为F (z ) =[F (z )]n θL i 1

⎧2nz 2n -1

, 0

⎪其他⎩0,

………………………1

ˆ=E θL ⎰zf (z ) dz =⎰z ⋅

-∞

∞θ

2nz 2n -1

θ2n

dz =

2n

θ≠θ，故θˆL 不是θ的无偏估计。 2n +1

…………………………2’ 六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）

1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N (μ, σ) ，且标准差σ=12，今对该地旅游者的

日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要调查 62 人。（U

1-

2

α

2

=U 0.975=1.96）

2．在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。已知事件A 至多发

1

。则p = 1/3 。 2

7

3．设事件A , B 相互独立，且P (A ) =P (B ) ，P (A B ) =，P (A ) =P (B ) ，

16

生一次的条件下，事件A 至少发生一次的概率为则P (A ) = 0．25

4．某种体育彩票的奖金额ξ由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额 5383．2 万。（Φ(1. 645) =0. 95）

π⎧

⎪sin x , 0

5．设随机变量ξ的密度函数是p (x ) =⎨2。对ξ独立地随机观察6

⎪其它⎩0,

次，η表示ξ的观察值大于

π

的次数，则E η= 3 。 3

⎧5e -5x , x >0

6．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨, 用切比雪夫不等式估计

x ≤00, ⎩P {X -EX ≥2}≤7．将一枚硬币重复投掷n 次, 设ξ，η分别表示正面向上和反面向上的次数, 则ξ与η的相关系数为

8.

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁回家的概率为 9/13 。

八、选择题（共21分，每小题3分，共7小题）

，X 6为来自总体X ~N (0，1．已知X 1，X 2，4) 的一组样本。设

Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，且CY ~χ2分布，则C= （ A ）

A ．

1111 B ． C ． D ． 12632

2．已知随机变量X 与Y 独立同分布，记U =X +2Y ，V =X -2Y ，则cov(U , V ) =

（ D ）

A ．-

33

B ． C ．3DX D ．-3DX 55

3．现把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，则最强的两个队分在不同组内的

概率为 （ D ）

A ．

11015

B ． C ． D ． 1019219

4．设随机变量ξ密度函数为p (x ) ，则η=3ξ-1的密度函数p η(y ) 为 （ A ）

A 、

1y +1y +11y -1p () B 、3p () C 、p (3(y +1)) D 、3p () 33333

5．设总体ξ~N (μ, 1) ，(X 1, X 2, X 3) 是ξ的样本，则下列μ的无偏估计中最有效的估计为 （ D ）

ˆ1= (A ) μ

111122

ˆ2=X 1+X 2+X 3 X 1+X 2+X 3 (B ) μ

[1**********]1ˆ3=X 1+X 2+X 3ˆ4=X 1+X 2+X 3(C ) μ(D ) μ

236 333

6．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是 （ C ）

A ．若AB =∅，则A ，B 一定不独立； B．若AB ≠∅，则A ，B 一定独立； C ．若AB ≠∅，则A ，B 有可能独立； D．若AB =∅，则A ，B 一定独立 7．设随机变量ξ的概率密度为f (x ) ，且f (-x ) =f (x ), 则对任意实数a ，ξ的分布函数

F (x ) 满足 （ B ）.

a

a

A. F (-a ) =1-

⎰f (x ) dx ， B. F (-a ) =0. 5-⎰f (x ) dx ,

C. F (-a ) =F (a ) ， D. F (-a ) =2F (a ) -1.