正弦定理.余弦定理及其应用

正弦定理、余弦定理及其应用

一、 求解斜三角形中的基本元素

1.ABC中，A

3，BC＝3，则ABC的周长为（ ）

A．4sinB

3 B．4sinB3 36

C．6sinB

3 D．6sinB3 36

2.在ABC 中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c

，若ab2,sinB

cosB则角A的大小为 _____________.

(2010山东) 在ABC 中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若ab,s,iBn2cBo

则角A的大小为 _____________.

4.(2010广东) 在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a

,b,c， 若a1 ,bA+C=2B,则sinC_____.

5.(2009四川）在ABC中，A,B为锐角，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cos2

A3,Bsin 5（1）求A

B的值；

（2）若ab1,求a,b,c的值. 466,cosB，AC边上的中线BD=，求sinA的值． 366.在ΔABC中，已知AB

niC7.如图，在△ABC

中，D是边AC上的点，ABCD,2AB,BC2BD，则s

的值为 (

)

A

B

C

D

判断三角形的形状

1.在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是______三角形.

2.在△ABC中，cosAbcos，判断△ABC的形状。

3.若

4．在 中， 是______三角形 ，则三角形的形状为（ ）

a2tanA5.在△ABC中，若2，试判断△ABC的形状。 tanBb

最值问题

1.在

ABC中，B60,ACAB2BC的最大值为 。

2.若

，则SABC的最大值

．

3.在不等边△ABC中，a为最大边，如果abc，求A的取值范围。

4.在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC222，求abc的值。sinAsinBsinC∴abc239 2RsinAsinBsinC3

5.在△ABC中，c62，C＝30°，求a＋b的最大值。843。

6.在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c已知sinAsinCpsinBpR,且

15acb2.（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值；(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围； 44

7.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)求cosAsinC的取值范围.

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC． （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）当b

＝

时，求的最大值．

（2007山东文）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为

a，b，c，tanC

（1）求cosC；

5（2）若CBCA，且ab9，求c 2

（2007天津文）（本小题满分12分）在△ABC中，已知AC2，BC3，cosA（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin2B

4． 5的值 6

4、的内角A、B、C

所对的边分别为

，若成等比数列，且，

（1

）求

的值； （2） 若=3，求的值。

2[2012·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝3，

sinB5cosC.

(1)求tanC的值；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

[2012·课标] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC3asinC－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC3，求b，c.

(2010浙江) 在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知cos2C

（1）求sinC的值；

（2）当a2，2sinAsinC时,求b及c的长.

1. 4

正余弦定理解三角形的实际应用

例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一

岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得

∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河

的宽度。

A D B 图1

（二.）遇险问题

例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

北

南 图2

（三.）追击问题

例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45° 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

°

图3

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现

，CD测得BCD，BDC

ABABBCtanACBC测得塔顶A的仰角为，求塔高s，并在点stansin sin()

（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

（1）证明 sincos20;

（2）若

求的值.

图3 如图，在ABC中，AC2，BC1，cosC

（1）求AB的值；

（2）求sin2AC的值.

3． 4