杜海龙 211020**年 计算电流线圈产生的磁场

求截面为矩形的圆线圈周围产生的磁场

一、数值方法

（一）数学模型：所研究的电流圆线圈产生磁场的问题在柱坐标系下研究， 根据磁场强度跟矢势之间的关系，得到磁场；

磁场为B ，矢势为A

B =∇⨯A

A =A

r e r +A θe θ+A z e z =A θe θ=A θ(r , z ) e θ（由A 具有轴对称得到）

所以B =∇⨯A =∇⨯A

θe θ ⎧

⎪f = f

r e r +f θe θ+f z e z

⎪(∇⨯f ) =1∂f z -∂f θ

⎪r

在柱坐标系中，由公式⎪r ∂θ∂z

⎨⎪(∇⨯f ) ∂f r ∂f z -得

⎪θ=∂z -∂r

⎪⎪⎩(∇⨯f ) z =1∂

r ∂r (rf 1∂f

θ) -r

r ∂θ

B =∇⨯A =-∂f θ 1∂

∂z e r +r ∂r (rf ) e

θz 即B ∂A 1∂

r =-θ

∂z ，B z =r ∂r (rA θ)

（1）先求矢势A

A =μ0

4π ⎰Idl

L r

一个电流为I ，半径为a 的线圆环周围空间产生的磁场，其矢势表示为

A r , z ) =μ0Ia 2πcos ϕ

θ(4π⎰0r 2+z 2+a 2-2ar cos ϕϕ

推广到截面为矩形的圆环线圈中

R 2z 2

A =μ0I 2πr 'cos ϕ

θ(r , z ) 4πs ⎰R ⎰z ⎰0

11r 2+(z -z ') 2+r '2-2r 'r cos ϕϕdz 'dr '

其中S 为矩形截面的面积，R 1, R 2为矩形截面的两边距圆环中心的距离，矩形截面的上下面的z 轴坐标。

（二）数值模型离散化（均匀网格有限差分）

（1）高斯方法计算三重积分（参考书:徐士良常用算法程序集第二版）z 1, z 2为

（2）根据一阶三点公式来求解磁场的分布：

磁场分量B r , B z

B r =-∂A θ(A θ) i , j -1-(A θ) i , j +1= ∂z 2∆z

B z =

对于r →0点处

lim B z =lim r →0

2(A θ) i +1, j -(A θ) i -1, j (A θ) i , j 1∂ (rA θ) =+r ∂r 2∆r r i , j -(A θ) i -1, j A ∂A ∂A (A ) 1∂(rA θ) =lim(θ+θ) =2θ=θi +1, j r →0r ∂r r →0r ∂r ∂r ∆r 2B =B r +B z

二 数值计算程序

SUBROUTINE FGAUS(N,JS,X,FS,F,S,Z,R)

DIMENSION JS(N),X(N)

DIMENSION T(5),C(5),D(2,11),CC(11),IS(2,11)

DATA T/-0.90617,-0.538469,0.0,0.538469,0.90617/

DATA C/0.2369,0.47862,0.568889,0.4786,0.2369/

M=1

D(1,N+1)=1.0

D(2,N+1)=1.0

10 DO 20 J=M,N

CALL FS (J,N,X,DN,UP)

D(1,J)=0.5*(UP-DN)/JS(J)

CC(J)=D(1,J)+DN

X(J)=D(1,J)*T(1)+CC(J)

D(2,J)=0.0

IS(1,J)=1

IS(2,J)=1

20 CONTINUE

J=N

30 K=IS(1,J)

IF(J.EQ.N)THEN

P=F(N,X,Z,R)

ELSE

P=1.0

ENDIF

D(2,J)=D(2,J+1)*D(1,J+1)*P*C(K)+D(2,J)

IS(1,J)=IS(1,J)+1

IF(IS(1,J).GT.5)THEN

IF(IS(2,J).GE.JS(J)) THEN

J=J-1

IF(J.EQ.0) THEN

S=D(2,1)*D(1,1)

RETURN

ENDIF

GOTO 30

ENDIF

IS(2,J)=IS(2,J)+1

CC(J)=CC(J)+D(1,J)*2.0

IS(1,J)=1

ENDIF

K=IS(1,J)

X(J)=D(1,J)*T(K)+CC(J)

IF(J.EQ.N) GOTO 30

M=J+1

GOTO 10

END

EXTERNAL FS,F

DIMENSION

JS(3),X(3),Z(30),R(30),a0(30,30),BB(30,30),BR(30,30),BZ(30,30) DATA JS/4,4,4/

N=3

c=1

H=0.5

Z(1)=1.5

DO I=1,29

Z(I+1)=Z(I)+H

ENDDO

R(1)=1.5

do j=1,29

R(J+1)=R(J)+H

ENDDO

DO I=1,30

DO J=1,30

CALL FGAUS(N,JS,X,FS,F,S,Z(I),R(J))

a0(i,j)=c*s

WRITE(1,*)Z(I),R(J),S

OPEN(1,FILE='DUHAI.DAT')

ENDDO

ENDDO

! 求解磁场的Br

do i=1,30

Br(i,1)=(-3*A0(i,1)+4*A0(i,2)-A0(i,3))/2*h

Br(i,30)=(A0(i,28)-4*A0(i,29)+3*A0(i,30))/2*h

do j=2,29

Br(i,j)=(A0(i,j-1)-A0(i,j+1))/2*h

end do

end do

! 求解磁场的Bz

do j=1,30

Bz(1,j)=(-3*A0(1,j)+4*A0(2,j)-A0(3,j))/2*h+A0(1,j)/r(1)

Bz(30,j)=(A0(28,j)-4*A0(29,j)+3*A0(30,j))/2*h+A0(30,j)/r(30) do i=2,29

Bz(i,j)=(A0(i+1,j)-A0(i-1,j))/2*h+A0(i,j)/r(i)

end do

end do

do i=1,30

do j=1,30

BB(i,j)=sqrt(Br(i,j)**2+Bz(i,j)**2)

end do

end do

do i=1,30

do j=1,30

write(*,*)z(i),r(j), bb(i,j)

write(2,*)z(i),r(j), bb(i,j)

open (2,file='cichang.dat')

enddo

Enddo

End

SUBROUTINE FS(J,N,X,DN,UP)

DIMENSION X(N)

IF(J.EQ.1) THEN

DN=0.5

UP=1.0

ELSEIF(J.EQ.2)THEN

DN=0.5

UP=1.0

ELSEIF(J.EQ.3) THEN

DN=0.0

UP=2*3.1415926

ENDIF

RETURN

END

FUNCTION F(N,X,Z,R)

DIMENSION X(N)

f=x(2)*cos(x(1))/sqrt((z-x(3))**2+R**2+x(2)**2-2*R*x(2)*cos(x(1))) RETURN

END

三 计算结果 矢势A 的分布如下：

磁场B 的分布如下

四 结果讨论

由上面的计算的结果可以看出磁场是随着r , z 的增加而减小，反之，随着小而增加，当增加到一定的程度上，几乎是趋向于零；

r , z 减