北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第三,四节)

第一章 随机事件的概率

第三节 条件概率与乘法公式

一、 条件概率的概念

在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A 发生的概率P (A ) ，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A 发生的概率P (A ) ；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A 发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B 已经发生”的条件下，事件A 发生的概率。一般地说，这两种概率未必相同。为了区别起见，我们把后者叫做条件概率， 记为P (A |B ) ，读作：在条件B 下事件A 的概率。

条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。

例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为S ={bb , bg , gb , gg }，

g 代表女孩，bg 其中b 代表男孩，

表示大的是男孩、小的是女孩。其他样本点可类似说明。

在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。

（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 3显然P (A ) =4；

（1） 若已知事件B =“家中至少

有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，

2P (A |B ) = ； 3

32（3）P (B ) =4，P (AB ) =4，

2P (AB ) P (A |B ) ===3P (B ) 。

为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。

例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。试求

（1） 取得的是一级品的概率；

（2） 已知取得的是合格品，它又

是一级品的概率。

解：令A =“取得的产品是一级品”,

B =“取得的产品是合格品”。

（1） 由于50件产品中有30件一

级品，因此，按古典概率定义得 303 P (A ) =50=5 ;

（2） 因为40件合格品中，一级

品恰好有30件，故

303P (A |B ) == , 404

可见 P (A |B ) ≠P (A ) .

一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算P (B ) 与P (AB ) 。由于50件产品中有40件合格品，故

404P (B ) == ; 505

因AB 表示“取得的产品是合格品并且是一级品”。而50件产品中只有30件既是合格品又是一级品，故

303P (AB ) ==, 505

通过简单的运算可得

3P (AB ) P (A |B ) =4==P (B ) , 由上式的启发，我们定义条件概率如下：

定义7 设A , B 为试验E 的两个事件，且P (B ) >0, 则称

P (AB ) P (A |B ) =P (B ) , (1.6)

为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

条件概率也具有一般概率的性质。当P (B ) >0时有：

(1) 对任意事件A , P (AB ) 0≤P (A |B ) =P (B ) ≤1 ；

P (SB ) P (S |B ) ==1； P (B )

(2) 若A 1, A 2, ⋅⋅⋅, A i , ⋅⋅⋅互不相容，

A i |B ) =∑P (A i |B ) ; 则 P (∑i =1i =1

P (∑A i |B ) =∑P (A i |B ) ， i =1i =1∞∞n n

(3) 对任意事件A , P (A |B ) =1-P (A |B ) , P (A B ) P (B -AB ) 事实上P (A |B ) =P (B ) =P (B ) P (B ) -P (AB ) P (AB ) =1- =P (B ) P (B )

=1-P (A |B ) ,

等等，这里不一一列举。

记P B (A ) =P (A |B ) ，（A ∈F ）， 则P B 也是定义在(S , F ) 上的一个概率测度函数（与B 有关）。

(S , F , P B ) 也是一个概率空间。

例2 10件产品中有6件正品，4件次品。从中任取4件，求至少取到1件次品时，取到的次品不多于2件的概率。

解：

设 A =“取到的次品不多于2件”, B =“至少取到1件次品”, B i =i =0, 1, 2 ; “恰好取到i 件次品”，则所求概率为

P (AB ) P (A |B ) =P (B ) ,

4C 613而P (B ) =P (B 0) =1-P (B 0) =1-C 4=14, 10

i C 4C 64-i P (B i ) =C 4

10 ,

事件AB 表示所取4件产品中恰好有1件次品或恰好有2件次品，

即有

AB =B 1+B 2, 且B 1B 2=∅,

故由概率的有限可加性及概率的古典定义得

P (AB ) =P (B 1) +P (B 2)

1322C 4C 6C 4C 68917=+=+=, 44212121C 10C 10

于是，所求概率 34P (AB ) == P (A |B ) =P (B ) 39 .

二、 乘法公式

由条件概率的定义得

P (AB ) 若P (B ) >0, 由P (A |B ) =P (B ) , 得

P (AB ) =P (B ) P (A |B ) ,(P (B ) >0) (1.7)

若P (A ) >0, 由P (B |A ) =P (AB )

P (A ) , 得

P (AB ) =P (A ) P (B |A ) ,(P (A ) >0) (1.8) 上述式(1.7)和式(1.8)均称为乘法公式。它在概率的计算中有重要作用。

乘法公式可推广到任意有限多个事件的情形, 即当P (A 1A 2⋅⋅⋅A n -1) >0时, 有

P (A 1A 2⋅⋅⋅A n ) =P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) ⋅P (A 3|A 1A 2)

⋅⋅⋅P (A n |A 1A 2⋅⋅⋅A n -1) , (1.9) 事实上

P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) ⋅P (A 3|A 1A 2)

⋅⋅⋅P (A n |A 1A 2⋅⋅⋅A n -1)

P (A 1A 2⋅⋅⋅A n ) P (A 1A 2) P (A 1A 2A 3) =P (A 1) ⋅⋅⋅⋅⋅P (A 1) P (A 1A 2) P (A 1A 2⋅⋅⋅A n -1)

=P (A 1A 2⋅⋅⋅A n ) ，（证毕）

还成立如下形式的乘法公式：

P (A 1A 2A 3) =P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) ⋅P (A 3|A 1A 2) ， P (A 1A 2|B ) =P (A 1|B ) ⋅P (A 2|A 1B ) ， P (A 1A 2A 3|B ) =P (A 1|B ) ⋅P (A 2|A 1B ) ⋅P (A 3|A 1A 2B ) 。

例3 袋中有5个白球和4个红球。从中作不放回抽取两次，每次任取一个球。试求：

（1） 取到两个白球的概率；

（2） 取到两种颜色球的概率。 解：令A =“取到两个白球”,

B =“取到两种颜色球”, A i =“第i 次取到白球”，

（1） 因为A =A 1A 2，故由乘法公式

得

P (A ) =P (A 1A 2) =P (A 1) ⋅P (A 2|A 1) 545 =9⨯8=18 ,

(或直接求P (A ) =

5⨯45=9⨯818)

（2） 由于B =A 1A 2+A 1A 2， 且A A 与A 1A 2互不相容， 12

故由概率性质及乘法公式得

P (B ) =P (A 1A 2) +P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2|A 1) +P (A 1) P (A 2|A 1) 54455 =9⨯8+9⨯8=9 .

11C 5C 45(或直接做P (B ) =C 2=9, 9

5⨯4+4⨯55或P (B ) =9⨯8=9 )

例4 已知P (A ) =0. 6，P (B ) =0. 8, P (A |B ) =0. 35, 求P (B -A ) 和P (A |B ) 解：由P (A |B ) =0. 35, 得

P (A |B ) =1-P (A |B ) =0. 65,

P (AB ) =P (B ) P (A |B ) =0. 8⨯0. 65=0. 52, P (B -A ) =P (B A ) =P (B +A ) =1-P (A +B )

=1-[P (A ) +P (B ) -P (AB )]

=1-P (A ) -P (B )[1-P (A |B )] =1-P (A ) -P (B ) P (A |B )

=1-0. 6-0. 8⨯0. 35=0. 4-0. 28=0. 12, (或P (B -A ) =P (B A ) =P (A -B ) =P (A -A B ) =P (A ) -P (A B ) =1-P (A ) -P (B ) P (A |B ) =1-0. 6-0. 8⨯0. 35=0. 4-0. 28=0. 12) P (A |B ) =P (A B ) P (A -AB ) = P (B ) P (B )

P (A ) -P (AB ) 0. 6-0. 52===0. 4. 1-P (B ) 0. 2

例 设P (A ) =a , P (B ) =b , (b >0) , 试证 P (A |B ) ≥

证明 由 a +b -1. b

1≥P (A +B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =a +b -P (AB ) , 得 P (AB ) ≥a +b -1 ,

于是

P (AB ) a +b -1P (A |B ) =≥ . P (B ) b

第四节 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式是概

率论中的两个基本公式，在概率计算和理论推导中起着重要作用。

一、 全概率公式

定理一 设事件组B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 满足：

B i （1）∑i =1n =S ；

（2）B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 互不相容；

（3）P (B i ) >0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ，则对任意事件A ，恒有

P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) , (1.10) i =1n

式（1.10）称为全概率公式。

B i =∑(AB i ) , 证：A =AS =A ∑

i =1i =1n n

互不相容知

AB 1, AB 2, ⋅⋅⋅, AB n 亦互不相容，故由概率

的有限可加性及乘法公式得 B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n

P (AB i ) =∑P (B i ) P (A |B i ) . P (A ) =∑i =1i =1n n 由

从形式上看，全概率公式似乎把问题复杂化了，其实不然。在实际中，当事件A 比较复杂不容易计算其概率P (A ) 时，如果P (B i ) 和P (A |B i ) 都比较容易计算，那么，应用全概率

公式就容易把P (A ) 计算出来。运用全概率公式的关键往往在于找到满足定理中条件的事件组B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 。一般地说，事件组B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 是可能导

致事件A 发生的全部“原因”。

B i 注:（1）定理一中的条件∑i =1

B i ⊇A ; 可减弱为∑i =1n n =S

（2）事件组可以是可列无穷多个事件:B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n , ⋅⋅⋅ .

定理一＇设事件组B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n , ⋅⋅⋅满足：

（1）∑B i =S ； i =1∞

（2）B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n , ⋅⋅⋅互不相容；

（3）P (B i ) >0, i =1,2, ⋅⋅⋅, n , ， 则对任意事件A ，恒有

P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) , (1.10) ＇ i =1∞

式（1.10）＇称为全概率公式。

例1 某厂用三台机床生产了同样规格的一批产品, 各台机床的产量分别占60%,30%,10%,次品率依次为4%,3%,7%.现从这批产品中随机地取一件, 试求取到次品的概率. 解 令A =“取得次品”,

B i =“取到第i 台机床生产的产品”,

i =1, 2, 3 ;

显然, 事件组B 1, B 2, B 3是可能导致事

件A 发生的全部“原因.

B 1+B 2+B 3=S , 且B 1, B 2, B 3互不相容. P (B 1) =6030P (B ) = , 2100100, P (B 3) =10

100, 734又已知P (A |B ) =100, P (A |B ) =100, P (A |B ) =100, 123

故由全概率公式得

P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) i =13

604303107=⨯+⨯+⨯=0. 04 . [***********]

例2 设某昆虫产k 个卵的概率e -λλk

为k ! ,(λ>0为常数), k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅. 每个卵能孵化成幼虫的概率为p (0

解 设A =该昆虫有后代,

B k = 该昆虫产k 个卵,

k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅,

易知, 事件组B 0, B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n , ⋅⋅⋅满足定理一的条件,

e -λλk

P (B k ) =k ! , k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅,

A = 该昆虫没有后代

= 每个卵都没孵化成幼虫,

P (A |B k ) =(1-p ) k , k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅,

由全概率公式得

P (A ) =∑P (B k ) P (A |B k ) k =0+∞

k +∞e -λλk [λ(1-p )]k -λ=(1-p ) =e ∑ ∑k ! k ! k =0k =0+∞

-λλ(1-p ) -λp =e ⋅e =e ,

从而 P (A ) =1-P (A ) =1-e

+∞-λp . k x x e =∑（这里用到了公式： ） k ! k =0

k P (A |B ) =p (有人这样作, k =1, 2, ⋅⋅⋅ k

e -λλk k P (B k ) P (A |B k ) =∑p P (A ) =∑k ! k =1k =1+∞+∞

=e -λ⋅(e λp -1) .

两种结果不一样，谁对谁错,

错在哪里？

P (A |B k ) =p k 是要求该昆虫产的

k 个卵都孵化幼虫了, 其实该昆虫产的k 个卵中至少有一个孵化幼虫

k 就能使该昆虫有后代, P (A |B k ) ≠p ，

正确的应该是

P (A |B k ) =∑C k i p i (1-p ) k -i =1-(1-p ) k , i =1k

k =1, 2, ⋅⋅⋅,

e -λλk

P (A ) =∑P (B k ) P (A |B k ) =∑1-(1-p ) k ] k ! k =1k =1+∞+∞

=e -λ⋅[(e λ-1) -(e λ(1-p ) -1)]

=1-e -λp .)

二、 贝叶斯(Bayes)公式

上例1的另一方面的问题是:

假设“取得一件产品是次品”这一事件A 已经发生了, 问这件次品是第i 台机床生产的概率多大？即求P (B i |A ) ,i =1, 2, 3 .

由上例知P (A ) >0, 故由条

件概率定义、乘法公式及全概率公式得

P (AB i ) P (B i |A ) ==P (A ) P (B i ) P (A |B i )

∑P (B j ) P (A |B j )

j =13 ,

i =1, 2, 3;

由于上式右端各项概率都是已知的, 因此概率P (B i |A ) 也就可求得. 把上述计算 条件概率的方法一般化便得到所谓的 贝叶斯公式.

定理二 设事件组B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 满足：

B i （1）∑i =1

n =S ；

（2）B 1, B 2, ⋅⋅⋅, B n 互不相容；

（3）P (B i ) >0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ，

则对任意事件A (P (A ) >0) ，有 P (B i |A ) =P (AB i ) =P (A ) P (B i ) P (A |B i )

∑P (B ) P (A |B ) j j

j =1n ,

i =1, 2, ⋅⋅⋅, n , (1.11) 式(1.11)称为贝叶斯公式.

例3 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下的效果:以A 表示“试验反应为阳性”, C 表示“被诊断者患有癌症”, 则P (A |C ) =0. 95, P (A |C ) =0. 95. 现对一大批人进行癌症普查, 设被试验的人中患有癌症的概率为0.005, 即P (C ) =0. 005, 求试验反应为阳性者患有癌症的概率P (C |A ) .

解 已知

P (A |C ) =0. 95, P (A |C ) =0. 95

P (A |C ) =1-P (A |C ) =0. 05,

P (C ) =0. 005, P (C ) =0. 995,

由贝叶斯公式 P (C ) P (A |C ) P (C |A ) =P (C ) P (A |C ) +P (C ) P (A |C )

0. 005⨯0. 95==0. 087 . 0. 005⨯0. 95+0. 995⨯0. 05

结果表明, 虽然P (A |C ), P (A |C ) 都很大, 但试验反应呈阳性的人确患癌症的可能性还是比较小的.