-异面直线所成角-的求法

浅谈”异面直线所成角”的求法

摘要：求异面直线所成的角，是高考常考的一个知识点。本文通过对”异面直线所成角”求解的探讨，对”异面直线所成角”求解的两种通法的基本思路、关键点进行分析，以达到灵活运用它们。 关键词：异面直线所成的角，传统几何法， 直角坐标向量法

【中图分类号】g633.6一、 两种求”异面直线所成角”的通法。

1.传统几何法

依据：两异面直线所成角的定义

步骤： 作角--证明--求角

关键点：异面直线所成角的顶点的选取。

取点技巧：在图形中选定两个平面，使这两个平面各自含有一条异面直线，则两异面直线所成角的顶点可在两平面交线上选取。2.直角坐标向量法

依据：异面直线所成的角与这两条异面直线方向向量所成的角相等或互补。

步骤：

1.建立空间直角坐标系

2.求相关点的坐标，并求出两异面直线的方向向量。

3.两异面直线所成角θ满足：二、 举例说明 例1.如图，正三角形abc的边长为3，过其中心g作bc边的平行线，分别交ab、ac于b1、c1．将δab1c1沿b1c1折起到δa1b1c1的位置，使点a1在平面bb1c1c上的射影恰是线段bc的中点m．求：

（1）二面角a1-b1c1-m的大小；

（2）异面直线a1b1与cc1所成角的大小（用反三角函数表示）． 解（1）（略）

（2）解法一

分析：取平面a1b1c1与平面bcc1b1，它们的交线为b1c1，故可在b1c1和选取一恰当的点作为两异面直线所成角的顶点。

详解：过b1作c1c的平行线交bc于p，则∠a1b1p等于异面直线a1b1与cc1所成的角．由pb1c1c是平行四边形得b1p=c1c=1=bp，pm=bm-bp=a1b1=ab1=2．∵a1m⊥面bb1c1c于m.∴a1m⊥bc，∠a1mp=90°．在rt△a1gm中，a1m=a1g·在rt△a1mp中，在△a1b1p中，由余弦定理得，∴异面直线a1b1与cc1所成角的大小为arccos 方法二.

分析:建立空间直角坐标系，利用向量求解.

详解：如图，以m为坐标原点o，ｍａ１为ｚ轴，bc所在直线ｘ轴，am所在直线为y轴建立空间直角坐标系.并设异面直线a1b1与cc1所成角为θ. ∵g为等边△abc的中心，b1c1//bc.∴∴∴∴异面直线a1b1与cc1所成角的大小为arccos

剖析：技巧性大，灵活性强是使用传统几何法求异面直线所成的角的特征，体现在如何在空间中选取恰当的点作为两异面直线所成角的顶点，很多学生对此都无所适从，所以点的选取是解决此类问题的关键，也是难点之一。依据定义，作出异面直线所成的角，主要是通过平移两异面直线来实现，所以应在图形中选取各包含一条

异面直线的两个相交平面，则我们就在两平面的交线上选取所需要的点。如例题中，a1b1、cc1分别是平面a1b1c1各平面bcc1b1内的直线，平面a1b1c1∩平面bcc1b1= b1c1，因此，选取点b1 ，并过b1作cc1的平行线，则∠a1b1p为异面直线a1b1与cc1所成的角（或补角）。

相对于传统几何法，空间直角坐标向量法避开了作出两异面直线所成的角，从而降低了解决问题的思维性。当然，这取决能否建立适当的空间直角坐标系并可求出相关点的坐标。例题中的直线a1m垂直于平面abc，直线am垂直于直线bc，这两个条为我们提供了建立空间直角坐标系的条件。

传统几何法与向量法相辅相成，各有所长，在应用时要依据题设来灵活选用。

习题：

如图，棱长为a的正四面体a-bcd中，e，f分别为ad，bc的中点，连接af，ce，求异面直线af和ce所成角的余弦值。（答案：cosα=）

参考文献[1]罗增儒.《中学数学解题方法与技巧》[2]吴雷霆，聂文喜，异面直线所成角的向量求法《数学通讯》2003年第08期[3]楼海文，异面直线所成角的向量求法《中学生数学》2004年11期